2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题

第一试（A）

一、选择题（每小题7分，共42分）

2222221．设实数a，b，c满足：a?b?c?3，a2?b2?c2?4，则a?bb?2?c?c2?a?c?a2?b?（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9

2．若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（ ） A. 8

B. 12

C. 16

D. 24

3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（ ） D C

A．415 B．15 F

E

C．221

D．102

A

B

4．已知O为?标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?1x(x?0)的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数y??4x(x?0)的图象上?且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ） A．

122 B．2

C．1

D．2

5．已知实数x（y满足关系式xy?x?y?1，则x2?y2的最小值为（ ） A．3?22

B．6?42

C．1 D．6?42 6．设n是小于100的正整数且使5n2?3n?5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ） A．285 B．350 C．540 D．635 二、填空题（每小题7分，共28分）

7．设a，b是一元二次方程x2?x?1?0的两根，则3a3?4b?2a2的值为 . E 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .

9．已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD、 A △ACD的外心，若AB＞AC，EF＝BC，则∠C－∠B＝ .

F

B O D C

10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从

左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .

第一试（B）

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．设实数a，b，c满足：a?b?c?3，a2?b2?c2?4，则

a2?b2b2?c22?c2?a?c2?a2?2?b?（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3

2．若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（ ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则

EF＝（ ） A．415 B．15 C．221 D．102 4．已知实数x，y满足关系式x2?xy?y2?3，则(x?y)2的最大值为（ ）

A．3

B．6

C．9

D．12

5．已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?1x(x?0)的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数y??4x(x?0)的图象上，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ） A．

122 B．2

C．1

D．2

6．设n是小于100的正整数且使2n2?3n?2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ） A．784

B．850

C．1536

D．1634

二、填空题（每小题7分，共28分）

7．设a，b是一元二次方程x2?x?1?0的两根，则3a3?4b?2a2的值为 . D 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .

C 9．C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分∠BAC，AB＝20， AD＝415，则AC的长为 .

A O B 10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd＋de＋ea

最小，则这个最小值为 .

第二试（A）

1．（20分）关于x的方程x2?m?2x2?1?x有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC. 过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. （1）证明：∠BAD＝3∠DAC； F （2）如果

BF?DFCDBD?AC，证明：MN＝MD. A M

D E

P N

B C 3．（25分）设正整数m，n满足：关于x的方程(x?m)(x?n)?x?m?n至少有一个正整数解，证

明：2(m2?n2)?5mn. 第二试（B）

1．（20分）若正数a，b满足ab＝1，求M?111?a?1?2b的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC＝BD. 过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N. （1）证明：∠BAD＝3∠DAC；

（2）如果MN＝MD，证明：BF＝CD＋DF. F A M B N E D C

3．（25分）若关于x的方程x2?34x?34k?1?0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值.

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试（A）

1. 解：D. 提示：∵a?b?c?3，a2?b2?c2?4，

a2?b2b2?c2∴

2?c?2?a?c2?a22?b?4?c22?c?4?a22?a?4?b22?b?(2?c)?(2?a)?(2?b) ?6?(a?b?c)?9.

2. 解：C. 提示：依题意，有n?m2?bm?c?(m?8)2?b(m?8)?c，于是可得b?8?2m. ∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，

∴b2?4c?0，∴c?14b2?(4?m)2.

因此n?m2?bm?c?m2?(8?2m)m?(4?m)2?16.

3. 解：C. 提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE. 延长FA，EB交于点G. D C

∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，

E ∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，

F ∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6， A B

∴GF＝11，GE＝10，∴EF?GE2?GF2?221.

G

4. 解：A. 提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D. 由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD， ∴?ABO?OAS?AOCOC|xA?yA|OB?S??AC?y?1?1. ?OBDOD?BD|xB?B||?4|25. 解：B. 提示：设x?y?t，则由题设条件可知xy?x?y?1?t?1， ∴x，y是关于m的一元二次方程m2?tm?t?1?0的两个实数根， 于是有：??t2?4(t?1)?0，解得t?2?22或t?2?22. 又∵x2?y2?(x?y)2?2xy?t2?2(t?1)?(t?1)2?3， ∴当t?2?22（即x?y?1?2）时，x2?y2取得最小值， 最小值为(2?22?1)2?3?6?42. 6. 解：D. 提示：∵5n2?3n?5是15的倍数， ∴5|(5n2?3n?5)，∴5|3n，∴5|n. 设n?5m（m是正整数），

则5n2?3n?5?125m2?15m?5?120m2?15m?5(m2?1).

∵5n2?3n?5是15的倍数，∴m2?1是3的倍数， ∴m?3k?1或m?3k?2，其中k是非负整数.

∴n?5(3k?1)?15k?5或n?5(3k?2)?15k?10，其中k是非负整数.

∴符合条件的所有正整数n的和是

(5?20?35?50?65?80?95)?(10?25?40?55?70?85)?635. 7. 解：11. 提示：∵a，b是一元二次方程x2?x?1?0的两根， ∴ab??1，a?b?1，a2?a?1，b2?b?1， ∴3a3?4b?2a2?3a3?4b?2b2?3a(a?1)?4b?2(b?1)?3a2?3a?6b?2 ?3(a?1)?3a?6b?2?6(a?b)?5?11.

8. 解：

112. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（a?b?c）， 则3a?a?b?c?24，2a?a?(b?c)?24，∴8?a?12，

故a的可能取值为8，9，10或11，

满足题意的数组（a，b，c）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， ∴所求概率为

112. 9. 解：60°. 提示：作EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥EM于点P. ∵E、F分别为△ABD、△ACD的外心， E ∴M、N分别为BD、CD的中点. 又EF＝BC，∴PF＝MN＝

12BC＝12EF，∴∠PEF＝30°. A 又EF⊥AD，EM⊥BC，∴∠ADC＝∠PEF＝30°.

P F B O M D N C 又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋12(180°－2∠C)＝90°＋∠B－∠C，

∴∠C－∠B＝90°－∠ADC＝60°.

10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A，B，C，D，E，F.

∵A所在行前面需要填两个比A小的数字，∴A不小于3； ∵B所在行前面需要填两个比B小的数字，

且A及A所在行前面两个数字都比B小，∴B不小于6.

同理可知：C不小于9，D不小于12，E不小于15，F不小于18.

因此，第三列所填6个数字之和A＋B＋C＋D＋E＋F≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.

如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.

1 2 3 19 20 21 4 5 6 25 27 29 7 8 9 22 23 24 10 11 12 26 28 30 13 14 15 31 34 35 16 17 18 32 33 36

第一试（B）

1. 解：B. 提示：∵a?b?c?3，a2?b2?c2?4，

∴

a2?b2b2?c2c2?a22?c?2?a?2?b?4?c22?c?4?a22?a?4?b22?b?(2?c)?(2?a)?(2?b) ?6?(a?b?c)?9.

2. 解：C. 提示：依题意，有n?m2?bm?c?(m?8)2?b(m?8)?c，于是可得b?8?2m. ∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，

∴b2?4c?0，∴c?14b2?(4?m)2.

因此n?m2?bm?c?m2?(8?2m)m?(4?m)2?16.

3. 解：C. 提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE. 延长FA，EB交于点G. D C

∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，

E ∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，

F ∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6， A B ∴GF＝11，GE＝10，∴EF?GE2?GF2?221. G

4. 解：D. 提示：设x?y?t，则x?y?t，

代入题设等式得(y?t)2?(y?t)?y?y2?3，整理得3y2?3ty?t2?3?0. 由判别式??(3t)2?12(t2?3)?3得?23?t?23，故(x?y)2?t2?12. 5. 解：A. 提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D. 由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD， ∴?ABO?OAS?AOCOC|xA?yA|OB?S??AC??1?1. ?OBDOD?BD|xB?yB||?4|26. 解：D. 提示：∵2n2?3n?2是6的倍数， ∴2|(2n2?3n?2)，∴2|3n，∴2|n.

设n?2m（m是正整数），则2n2?3n?2?8m2?6m?2?6m2?6m?2(m2?1). ∵2n2?3n?2是6的倍数，∴m2?1是3的倍数，

∴m?3k?1或m?3k?2，其中k是非负整数.

∴n?2(3k?1)?6k?2或n?2(3k?2)?6k?4，其中k是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n的和是

(2?8?14??86?92?98)?(4?10?16???82?88?94)?1634. 7. 解：11. 提示：∵a，b是一元二次方程x2?x?1?0的两根， ∴ab??1，a?b?1，a2?a?1，b2?b?1， ∴3a3?4b?2a2?3a3?4b?2b2?3a(a?1)?4b?2(b?1)?3a2?3a?6b?2 ?3(a?1)?3a?6b?2?6(a?b)?5?11.

8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（a?b?c）， 则3a?a?b?c?24，2a?a?(b?c)?24，∴8?a?12，

故a的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a，b，c）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD、OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F.

∵AD平分∠BAC，∴∠DOB＝2∠BAD＝∠OAC.

D 又OA＝OD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF，∴AC＝2OF＝2OE.

C 设AC＝2x，则OE＝AF＝x. F 在Rt△ODE中，由勾股定理得DE?OD2?OE2?100?x2. A O E B 在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，

即(415)2?(100?x2)?(10?x)2，解得x＝2.

∴AC＝2x＝4.

10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.

注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab?bc?cd?de?ea，不妨设a＝5.

a e 5 e 5 e 5 2 5 2 b d b d 1 d 1 e 1 d

c 1 b b e

图1 图2 图3 图4 图5 如果1和5的位置不相邻，不妨设c＝1（如图2），

此时的和式为P1?5b?b?d?ed?5e； 交换1和b的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为P2?5?b?bd?ed?5e.

∵P1?P2?5b?d?5?bd?(5?d)(b?1)?0，∴P1?P2.

因此，交换1和b的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d＝2，此时的和式为P3?5?b?2b?2e?5e；

交换e和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为P4?5?b?be?2e?10. ∵P3?P4?2b?5e?be?10?(5?b)(e?2)?0，∴P3?P4. 因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b＝2，此时的和式为P5?5?2?2d?ed?5e；

交换e和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为P6?5?e?ed?2d?10. ∵P5?P6?2?5e?e?10?4(e?2)?0，∴P5?P6.

因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.

当d＝3，e＝4时，和式的值为P7?5?4?12?6?10?3； 当d＝4，e＝3时，和式的值为P8?5?3?12?8?10?38. 因此，所求最小值为37.

第二试（A）

1. 解：将所给方程记为方程①，显然有x2?m且x?1.

若m?0，则x2?m?2x2?1?x，此时方程①无解，不符合题意，故m?0. 方程①变形得2x2?1?x?x2?m， 两边平方后整理得2x2?m?4??2xx2?m， 再平方，整理得8(2?m)x2?(m?4)2.

显然，应该有0?m?2，并且此时方程①只可能有解x?4?m8(2?m).

将x?4?m8(2?m)代入方程①，得(m?4)28(2?m)?m?2(m?4)28(2?m)?1?4?m8(2?m)?1，

化简整理得？？？，于是有0?m?43， 此时方程①有唯一解x?4?m8(2?m).

综上所述，所求实数m的取值范围为0?m?43. 2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得∠BAP＝∠DAC，

F 则△BAP≌△CAD，∴AP＝AD.

A 又AE⊥PD，∴△ADE≌△APE，∴∠PAE＝∠DAE， M ∴∠PAE＝∠BAP＝∠DAC，∴∠BAD＝3∠DAC.

Q D （2）设∠DAC＝α，则∠BAC＝2α，∠BAD＝3α，∠NDM＝90°－α. E 在FB上截取FQ＝FD，连接QD，则BQ＝BF－FQ＝BF－FD. P N B C 又

BF?DFCDBD?AC，∴BQCDBD?AC. 又∠QBD＝∠DCA，∴△QBD∽△DCA，∴∠QDB＝∠DAC.

又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠QDB＝∠DBC，∴QD∥BC，∴∠FQD＝∠ABC. 又AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°－α，∴∠FQD＝90°－α. 又FQ＝FD，∴∠BFD＝2α.

∵FN平分∠BFD，∴∠AFM＝α，

∴∠NMD＝∠AMF＝∠BAD－∠AFM＝3α－α＝2α， ∴∠MND＝180°－∠NMD－∠NDM＝90°－α＝∠MDN，∴MN＝MD. 3. 证明：方程即x2?(m?n?1)x?mn?m?n?0 ①，

方程①的判别式

??(m?n?1)2?4(mn?m?n)?(m?n)2?4mn?2(m?n)?1?(m?n)2?2(m?n)?1.

不妨设m?n，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴?应为完全平方数. 注意到??(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?1)2?4n?(m?n?1)2，

??(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?3)2?(4m?8n?8)，

若4m?8n?8?0，即m?2n?2，则??(m?n?3)2，

从而有(m?n?1)2???(m?n?3)2，故只可能??(m?n?2)2， 即(m?n)2?2(m?n)?1?(m?n?2)2，整理得m?3n?32， 这与m，n均为正整数矛盾.

因此m?2n?2，从而可得m?2n，∴mn?2. 又∵mn?1?12，∴有(m?1m2)(n?2)?0，整理即得2(m2n?n2)?5mn.

第二试（B）

1. 解：∵ab?1，∴b?1a， ∴M?11?a?11?2b?11?a?11?2?11?a?a2?a?1?11?a?22?a?1?aa2?3a?2. a设N?a2?3a?222a，则N?a?a?3?(a?a)2?3?22?3?22， 当a?2时取得等号. ∴0?1N?113?22?3?22，M?1?N?1?(3?22)?22?2. 因此，当a?2，b?22时，M?111?a?1?2b取得最小值22?2. 2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得∠BAP＝∠DAC， 则△BAP≌△CAD，∴AP＝AD.

F 又AE⊥PD，∴△ADE≌△APE，∴∠PAE＝∠DAE， A ∴∠PAE＝∠BAP＝∠DAC，∴∠BAD＝3∠DAC. （2）设∠DAC＝α，则∠BAC＝2α，∠BAD＝3α. Q M ∵AC⊥BD，∴∠NDM＝90°－α.

∵MN＝MD，∴∠MND＝∠MDN＝90°－α， B P N E D ∴∠NMD＝180°－∠MND－∠NDM＝2α，∴∠AMF＝2α， C ∴∠AFM＝∠BAD－∠AMF＝3α－2α＝α.

B C E? ∵FN平分∠BFD，∴∠BFD＝2∠AFM＝2α.

在FB上截取FQ＝FD，连接QD，则∠FQD＝90°－α. 又AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°－α，∴∠FQD＝∠ABC， ∴QD∥BC，∴∠QDB＝∠DBC.

又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠QDB＝∠DAC.

又∵DB＝AC，∠QBD＝∠DCA，∴△QBD∽△DCA，∴BQ＝CD， ∴BF＝BQ＋FQ＝CD＋DF.

3. 解：设方程的两个根为x1，x2，且x1为正整数， 则x1?x2?34，x1x2?34k?1.

由x1?x2?34知x2?34?x1，∴ x2也是整数.

由k为正整数及x1x2?34k?1可知x2?0，∴x2是正整数. 注意到(x1?1)(x2?1)?x1x2?x1?x2?1?34(k?1)， ∴17|(x1?1)(x2?1)，∴17|(x1?1)或17|(x2?1).

若17|(x1?1)，则由x1?1?x1?x2?34知：x1?1?17或x1?1?34. 当x1?1?17时，x1?16，x2?18，此时34k?1?16?18，k无整数解； 当x1?1?34时，x1?33，x2?1，此时34k?1?33?1，解得k＝1. 若17|(x2?1)，同样可得k＝1. ∴满足条件的正整数k＝1.

B C E? ∵FN平分∠BFD，∴∠BFD＝2∠AFM＝2α.

在FB上截取FQ＝FD，连接QD，则∠FQD＝90°－α. 又AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°－α，∴∠FQD＝∠ABC， ∴QD∥BC，∴∠QDB＝∠DBC.

又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠QDB＝∠DAC.

又∵DB＝AC，∠QBD＝∠DCA，∴△QBD∽△DCA，∴BQ＝CD， ∴BF＝BQ＋FQ＝CD＋DF.

3. 解：设方程的两个根为x1，x2，且x1为正整数， 则x1?x2?34，x1x2?34k?1.

由x1?x2?34知x2?34?x1，∴ x2也是整数.

由k为正整数及x1x2?34k?1可知x2?0，∴x2是正整数. 注意到(x1?1)(x2?1)?x1x2?x1?x2?1?34(k?1)， ∴17|(x1?1)(x2?1)，∴17|(x1?1)或17|(x2?1).

若17|(x1?1)，则由x1?1?x1?x2?34知：x1?1?17或x1?1?34. 当x1?1?17时，x1?16，x2?18，此时34k?1?16?18，k无整数解； 当x1?1?34时，x1?33，x2?1，此时34k?1?33?1，解得k＝1. 若17|(x2?1)，同样可得k＝1. ∴满足条件的正整数k＝1.

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