2006电磁场与波期末试题和答案_

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

电子科技大学二零零 5 至二零零 6 学年第 2 学期期 末 考试

卷 （分钟） 考试日期 月 日

课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 分

一． 填空题（每空1分，共30分）

D1. 对于时谐电磁场，麦克斯韦第一方程的复数形式 H＝ J j,其物理意

义是 电流和变化的电场是磁场的源 ；第二方程的复数形式 E＝ j B其

物理意义是 变化的磁场是电场的源 。对于静态电磁场，这两个方程分别为 H＝

J E＝ 0 ，它们是各自独立的。

2. 时变电磁场中引入矢量位A，场量B＝ A

3. 线性和各向同性媒质的本构关系是D E;B H;J E

4. 瞬时能流密度矢量（或瞬时坡印廷矢量）S(r,t)＝ E H，其物理意义是

单位时间内流过与传播方向垂直的单位面积的电磁能量。

5. 镜像法的理论根据是 6.均匀平面波在自由空间（参数为 0

1 7

F/m, 4 10H/m, 0）的频率 09

4 9 10

f0＝100MHZ、波长 0＝3m、相速v0 3 108m/s，当其在介电常数 4 0的电介质中传播时，频率f＝ 100MHz ，波长 1.5m ，相速v 1.5×108m/s 。 7. 均匀平面波在导电媒质中传播时，电场和磁场的振幅将按指数规律 衰减 ，电场和磁

场的相位 不同 ，波阻抗为 复数；相速不仅与媒质参数有关，还与 频率 有关，这种现象称为 色散 。

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8.

临界角 c ，产生全反射的条件是 i c( 1 2) ，产生全透射的条件是 i b且平行极化 9.

布儒斯特角 b 10. 横截面尺寸为a×b的矩阵波导中能传输 TE 波和 TM

波，其截止频率

fc

f>fc时，这两种波才能传输。 11. 矩形波导的主模是TE10 c 2a

12. 电偶极子的远区辐射场的振幅与距离r成反比，辐射场有方向性，其方向性函数为

sin 。

二． 选择填空题（3选1，每小题1分，共10分）

1.空气（ 1 0）和电介质（ 2 4 0）的分界面是z＝0的平面。若已知空气中的电场强度

。 E1 ex2 ez4，则电介质中分界面上的电场强度E2＝（ a ）a.

ex2 ez ; b. ex2 ez4 ; c. ex0.5 ez

2.以下三个矢量函数中，只有（ b ）才是表示磁感应强度的矢量。

2 B eax ebya. 1 ; b. B2 exay eybx ; c. B3 exx eyxy xy

3.在导电媒质中，传导电流密度Jc与位移电流密度Jd的相位（ c ）。 a. 相同 ; b. 相差45° ; c. 相差90°

4.用场矢量的复数形式计算平均坡印廷矢量的正确公式是（ c ）。 1 1 * * 1 *

E H a. Sav Re ; b. Sav ReE H ; c. Sav ReE H 22 2

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5.只有（ c ）才是自由空间均匀平面波的电场的正确表示式。

88

a. E ex10cos(2 10t 2 z) ; b. E ex10cos(2 10t z)

2 8E e10cos(2 10t z) c. x

3

6.在良导体中，趋肤深度（或穿透深度）与波的频率以及媒质参数的关系式为（ b ）。 a. f ;

b.

;

c.

7.均匀平面波在良导体中传播时，衰减常数 和相位常数 的大小满足（ b ）。 a. ; b. ; c.

8.均匀平面波对理想介质分界面垂直入射时，反射系数为（ c ）。 a.

2 12 2

; b. ; c. 21 1 2 1 2 1 2

9.在矩形波导中，只有当工作波长 与波系的截止波长 c满足关系式（ a ），波才能传播。 a.

c ; b. c ; c. c

10.在电偶极子的远区，电磁波是（ a ）。

a. 非均匀球面波 ; b. 非均匀平面波 ; c. 均匀平面波

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三．计算题（1、2、3、4为必作题；5、6任选一题；共60分）

1. （12分）具有两层同轴电介质的圆柱形电容器，内导体半径r0=1cm；内层介质的相对介电常数 r1 3，外层介质的相对介电常数 r2 2，其横截面如图。为了使两层电介质中的最大电场强度相等，且内、外两层间的电压也相等，试确定两层电介质的厚度。

解：设外导体的内半径为b，内外两层电介质的分界面半径为a，设内导体上单位长度所带电荷为 l；利用高斯定理得

（2分） E1 e E e（2分） 2

l l

e

2 1 2 3 0 l l

e

2 2 2 2 0

r0 a

a b

（1分） 而 E1max

r0

l

6 0 10

2

（1分） E2

m x a

l

4 0a

2

由E1max E2max， 得a 1.5 10m 1.5cm

内、外两层间的电压分别为

1. 5 210 ll

d ln1.5 （2分） U1 rE1 d 10 2

06 0 6 0

a

（2分） U2 aE2 d 1.5 10由U1 U2，求得

b

b

2

l lb

d ln 4 0 4 0 1.5 10 2

lnb

4ln1.5 bln 1.5 10 2

6

故b 1.96 10 2 1.96cm

(1分) 则得：内介质层的厚度＝a－r0＝1.5-1＝0.5cm

外介质层的厚度＝b－a＝1.96－1.5＝

0.46cm

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2. (14分)同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b（外导体的厚度可忽略不计），材料为金属铜，磁导率为 0；内、外导体之间填充聚乙烯，其磁导率也为 0；设同轴线中的电流为I，横截面如图。

试求：（1）同轴线内导体中以及内、外导体之间的磁场强度分布；

（2）同轴线单位长度的外自感。

I解：（1）内导体中的电流密度J ez （2分）

a2据安培环路定律求得内导体中的电磁场强度为

I 1 I I2

e e （2分） Hi e

2 2 a22 a2

0 a

内、外导体间的磁场则为

IH e（2分） o

2

a

b

（2）穿过轴向为单位1、宽度为d 构成的面积元

ds e 1d e d 的磁通为

0I

d （2分） d 0 B0 dS 2

（4分） 故 0 d 0 a（2分） 则L0

b

0I Ib

0ln 2 2 a

0 0b

ln I2 a

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3.（14分）在无源的自由空间中，电场强度的表示式为

E(z,t) ex1000cos(1.26 108t kz) V/m

（1）写出电场强度的复数表示式E(z)；

（2）应用麦克斯韦方程求出与E(z,t)相应的磁场强度H(z,t)；

（3）求平均坡印廷矢量Sav。

解：（1）对自由空间，v v0 3 108m/s，故

1.2 6810

0.4r2ad/ m（2分） k0 8v03 10

（2分） 则 E(z) ex1000e j0.42zV/m

（2）据 E j 0H 得

H(z)

（4分）

1j 0

E(z) ey

Ez

j 0 x1

1000k jkz eye ey

ey2.65e j0.42zA/m

0

420 j0.42z

e

1.26 108 4 10 7

j t

（2分） 故H(z,t) Re[H(z)e] ey2.65cos(1.26 108t 0.42z)

A/m

1 1* j0.42zj0.42z2

S Re[E(z) H(z)] Re[e1000e e2.65e] e（4分） （3）avxyz1325w/m 22

4.（14分）无源空间中（媒质参数为 9 0, 0, 0），已知均匀平面波的电场复数表

j25x

示式为E(x) 10(ey jez)e v/m

（1）确定均匀平面波的传播方向和频率；

（2）求出与E(x)相应的磁场表示式H(x)； （3）描述该均匀平面波的极化形式；

（4）当该均匀平面波垂直入射到理想导体平面时，求该反射波的电场表示式，并

描述其极化特性。

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解：沿+x轴方向传播 （1分）

相速v

8

108m/s

而相位常数k 25rad/m

kv 25 180rads/

（2分） 故 25

f 108Hz

2 2

（2）据 E j 0H得

ex

11 H(x) E(x)

j 0j 0 x

ey yEy

ez

E Ey 1

( eyz ez) zj 0 x xEz

（4分）

Ey

j25x

{ ey[j10e( j25)] ez[j10e j25x( j25)]}

j 0 x

j25x25 10e j25x1

( jey ez) ( jey ez)eA/m

j 04

1

1

H(x) ex E(x)

或

x 10(ey jez)e j25x

101

( jey ez)e j25x ( jey ez)e j25x

40 4

A/m

式中

40

（2分） （3）沿+x轴方向传播的左旋圆极化波

（4）反射系数 1，故反射波电场为

j25x

（3分） Er(x) 10(ey jez)e

（1分） 可见，反射波是-x轴方向传播的右旋圆极化波。

5. (6分)有一正弦均匀平面波从空气中斜射入到z=0的理想导体平面上，如图示。已知入射

j(6x 8z)

波的电场为Ei(x,z) eg10e v/m

（1）求均匀平面波的波长 ； （2）求入射角 i；

（3）求入射波的磁场Hi(x,z)；

n

z

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（4）求反射波的电场Er(x,z)。

5. 解：（1）入射波的波矢量为

k e

iiki (exsin i ezcos i)

入射波的相位因子为

e jk i r

e

jk( e e xsin izcos i) (exx ezz)

e j(kisin ix kizcos i)

对此题给条件，得kisin i b，kicos i 8，

故ki 10 （2分） 则 2 2k 10

0.628m i

（2）由kix kisin i

（1分） 得sin kixi k 6

0.6，故 i＝36.9o i10

或 由kiz kicos i

得cos i

kiz8k 10

0.8，故 oi＝36.9 i（1分） （3）入射波传播方向的单位矢量为

e k iex6 ez8 i k 10 0.6ex 0.8ez

故 H 1

i(x,z) e1

i Ei(x,z)

120

( e e j(6x 8z)x8 z6)eA/m

（1分） （4）据斯耐尔反射定律， r i 36.9

而反射波波矢量k

r e

rkr kr(exsin r ezcos r) ex6 ez8 即 e

r krk e x6 ez8 e x0.6 e z0.8 r10

又在理想导体平面上，垂直极化波的反射系数 1

则 E j(6x 8z)

r(x,z) ey10e

V/m

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6.（6分）在接地的导体平面上有一个半径为a的半球形凸起部分，半球的球心在导体平面上，如图示。今在半球对称轴上离球心h处放一个点电荷q，若指定采用镜像法求解上半空

题6图

解：综合应用点电荷对接地导体平面和接地导体球面的镜像法，得

aqa2

,b （2分）q hh

'

1

'

（2分）q2 q

'

（2分）q3

q1

aqh

附录：圆柱坐标系和球坐标系下梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算公式

（a）圆柱坐标系

u u u

u e e ez( A ) A Az, , A

z z

e e ez

1 u 2u 2u2

A , u ( ) 22 2

z zA A Az

（b）球坐标系

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

u u u 2

u er e e (sin A ) A , A 2(rAr)

rr rsin rsin rsin r r

er re rsin e

A

1 1 u1 2u22 u, u 2(r ) 2(sin ) 22

r rsin 2r2sin r r rrsin

Ar rA rsin A

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