华中科技大学 微积分 极限习题课及答案

例1 求极限 （1）limcosn???2cos?2?cos2?2n，

解 ??0时，极限为1； ??0时（n充分大时，sin?2n，原式?lim?0）

sin?2sinnn???2n?sin??。

（2）lim(1?n??1n1n?1n1n2)

n解 先求

n??limnln(1??)?limn(2n??1n?1n2)?1，

所以原式=e 另法 利用1??1?1n?1?1n?1n2?1?1n?1

（3）limx?

?x?x?0??解 因为

1?1?1?1??1?1，即有?1? ???1?x?x?x??x??xx???????1??1?当x?0时，1?x?x?，由夹挤准则得limx?， ?x??1?x??1x?0?????同理limx????1，故原极限为1。

x?0?x???1?（4）limx?0x?cos1?x lncosx?lim?x?0 解 先求limx?01xx(cosx?1)??12，

原极限为 e?1/2。

e（5）limx?ex?exx?e.

解 原式?limeexlnx?eex?ex?e?elimeeexlnx?e?1x?ex?e

elnx?ex?e)

?elim ?2e

exlnx?ex?ex?e?e(limxlnx?elnxx?ex?e?limx?e（6）lim31?cosxcos2x?cos3xx?0x2.

13lncos3x)

解 分子为1?exp(lncosx?~?(lncosx?1212lncos2x?13lncos2x?lncos3x),

原式??limx?0???lncosxx2?1lncos2x2x2?1lncos3x? 2?3x??cosx?11cos2x?11cos3x?1? ??lim???222?x?0x2x3x???12?1?2?3??3.

xnx 练习（1）limnn(tann???sinxn) （答案

12x）

3（2）limeesinx?eex?0sinx?x （答案e）

（3）lim1?cosxcos2x?ncosnxx12x?02 （答案n(n?1)）

41 （4）lim(ex?0x?x)sinx （答案e?1）

3n （5）lim(1?x)(1?x)?(1?n?1x)x?1(1?x） （答案

1n!）

（6）lim（sinx???x?1?sinx) （提示和差化积，极限为0）

?)，an?（7）设a0?(?1,112?12an?1?,n?1，求lima1a2?an。

n??（提示：令a0?cos?,???0,??，则an?cos?2n。）

例2 设x0???R，xn?sinxn?1,n?1，求limxn

n??解 考虑x1?sin????1,1?，分三个情形： （1）若x1?0，极限为0.

（2）若x1?0，则x2?sinx1?x1，易得xn?sinxn?1?xn?1,n?1，故数列单调递减

有下界，极限存在。对xn?sinxn?1两边求极限得 l?sinl，从而l?0。

（3）x1?0时，同理求得l?0。 综上极限为0.

例3设x1?a?0,y1?b?0,a?b，且 xn?1?xnyn,?yn?1?12(xn?yn)

证明 limxn?limyn。

n??n??分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。 证 由于xn?0,?yyn?1?12n?0，且

xnyn?xn?1,?

(xn?yn)?x?n?1?12xnyn?xnxn?xn,?

12(yn?yn)?yn,

yn?1?(xn?yn)? 可知?xn?为单调增加数列，?yn?为单调减少数列，且a?xn?yn?b,?故数列?xn??yn?极限都存在，设极限分别为A,B，对yn?1?A?B。

12(xn?yn),?两边取极限得B?(A?B)/2，故

注 此题变化为：x1?a?0,y1?b?0,a?b，且 xn?1?2xnynxn?yn,yn?1?xnyn,?

则limxn?limyn。

n??n??例4 求下列函数的间断点并判断类型： （1）. f(x)?x(x??)sinxx （2）. f(x)?(1?e1?x)?1

解 （1）无定义的点x?k?,k为整数.

??因为f(0)??,f(0)???，所以x?0是跳跃间断点；

因为limf(x)??limx??x??sin(??x)x?????,所以x??是可去间断点；

k?0,1时，x?k?是第二类间断点。

思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？ （2）无定义的点x?1及x?0.因为

x limf(x)?1/lim(1?ex?0x?01?x)??,

故x?0是f(x)的无穷间断点.又由于

x??f(1)?1/lim?(1?e1?x)?0，?因????

x?1?1?x??xx??f(1)?1/lim?(1?e1?x)?1，?因????

x?1?1?x??x故x?1是f(x)的跳跃间断点.

例5 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，f(0)?f(1)。证明存在x0?[0,1]，使得

f(x0)?f(x0?13)。

13)，0?x?23证 令g(x)?f(x)?f(x?其最小值与最大值为m,?M，则由条件知g(x)在[0,]上连续，设

32。则

m?1?12?g(0)?g()?g()??M ?3?33?又直接计算得知

1211122[g(0)?g()?g()]?[f(0)?f()?f()?f()?f()?f(1)]?0 333333332故由连续函数的介值定理，在区间[0,]内g(x)必能取到值0。亦即存在x0?[0,1]，

31使得f(x0)?f(x0?13)。

同型练习题：设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，f(0)?f(1)。证明存在x0?[0,1]，使得f(x0)?f(x0?

例6 设函数f(x)在实轴上连续，且f(f(x))?x。证明?c，使f(c)?c。

1n),n?1。

（用反证法）

例7 设f(x)在x?1连续，且?x?0：f(x)?f(x2)，证明：x?0时，f(x)是常数。

11n1n证 对任x?0，f(x)?f(x)?f(x4)???f(x2).令n??，利用x2?1及连续性条件得，

1n1nf(x)?limf(x2)?f(limx2)?f(1)，即f(x)恒等于f(1).

n??n??同型练习题：设f(x)在x?0连续，且f(x)?f(2x)，证明：f(x)是常数。

i?1,2,?n为常数，若不等式 例8 设ai?a1sinx?a2sin2x???ansinnx?x

对所有x?R成立,证明

a1?2a2???nan?1。

例9 设f(x)在(??,??)内连续，且任给x,y?R，有 f(x?y)?f(x)?f(y)

试证f(x)为线性函数f(x)?ax，其中a?f(1)。

证 显然f(0)?0，f(?x)??f(x)，即f(x)为奇函数。 又f(k)?f(1?1???1)?kf(1)，

111)?nf()，即f()?f(1)。

nnnnnnm1mf(1)，故对有理数x都有f(x)?f(1)x。 从而f()?mf()?nnnf(1)?f(????111 任给x?(??,??)，存在有理数数列?xn??x，利用f(x)的连续性，得

f(x)?f(limxn)?limf(xn)?limf(1)xn?f(1)x。

n??n??n??

注 此题条件改为f(x)在x?0处可导，且任给x,y?R，有 f(x?y)?f(x)?f(y)

则证法改变为 f?(x)?limf(x?y)?f(x)y?limf(y)?f(0)y?f?(0)，

y?0y?0记f?(0)为a，从而f(x)?ax?b，由f(0)?0得b?0,f(x)?ax。

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