2019年高考数学全国2卷理科第21题第2问解答

21．已知点A （?2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为?21．记M 的轨迹为曲线C ．

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．

（i ）证明：△PQG 是直角三角形；

（ii ）求△PQG 面积的最大值．

（1）1242

2=+y x )2(±≠x

（2）（i ）设),(11y x P ，),(22y x G ，则),(11y x Q --)0,(1x E ，

又设直线QG 方程为1x my x += ，其中1

1

2y x m = )0,0(11>>y x

???=++=42221

y x x my x

消x ，得：42)(2

21=++y x my

整理，得：042)2(2

1122=-+++x y mx y m 所以：222121+-=+-m mx y y ，24

22

121+-=-m x y y

1

1

x y k PQ =

注意到：122x my x += ，从而有：212my x x =- 所以2

21

22112121

)22(122y m x

my m mx x x y y k QG ?+-=?+-=--= 故22111

1)22(y m x x y k k QG PQ ?+-?=?2

122

11

22y y m y ?+-=

)42(22212

22

1-+-?+-=x m m y 4

2212

1

-=x y

因为422

121=+y x 所以1-=?QG PQ k k 故PG PQ ⊥

这就证到了△PQG 是直角三角形

（ii ）由（i ）可知△PQG 面积||||2

1PG PQ = 21212||y x PQ += 注意到：1

12y x m = 所以42)2(2||212121+=+=m m

x m x x PQ 而||)2(1||122y y m QG -+=224212+?+=m mx m m )

2(42221++=m m m x △PQG 面积)2(42422122121++?+?=m m m x m m x )

2()4(22221++=m m m x 由112y x m =及422121=+y x 可得8

422

21+=m m x ，代入上式，得到： △PQG 面积)

8)(2()4(8222+++=m m m m 因为1016)4(8)8)(2()4(8)8)(2()4(822222+++=+++=+++m

m m m m m m m m m m m m m 2)4()4(82+++

=m m m m 可设)0(4>+=m m m t ，易知4≥t 所以△PQG 面积9

1642

482

8282=+≤+=+=t t t t （因为对勾函数t t y 2+

=在),4[+∞上是单调递增的，当4=t 时t t y 2+=取得最小值）

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