四川省宜宾四中2022届高三数学下学期第一次在线月考试题 理

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1 四川省宜宾四中2021届高三数学下学期第一次在线月考试题 理 注意事项：

答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．i 为虚数单位，复数2

1i z =+在复平面内对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.已知f(x)=1,0

0,01,0

x x x x x ->

??=??+

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

4．下列函数中，任取函数定义域内,x y ，满足()()x f f x f y y ??

=- ???，且

在定义域内单调递减的函数是

A ．2)(-=x x f

B ．x x f 2

1log )(=

C ．x e x f =)(

D ．x x e e x f -=-)(

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他

在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是

比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项

式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为

A ．15

B ．16

C ．47

D ．48

6．函数()()2

0622x x f x x -=<≤-的图象大致形状为

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2

7．已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2==，，则()2a b b +?= A ．64 B ．36

C ．8

D ．6 8．二项式2n x x ?- ?

?的展开式中第7项是常数项，则n 的值是 A ．8 B ． 9 C ．10 D ．11

9．函数()2sin23cos 2f x x x =+-的一条对称轴是

A ．π12x =

B ．π6

x = C ．π3x = D ．π2x = 10．若347log log log 2x y z ==<-，则

A ．347x y z <<

B ．743z y x <<

C ．437y x z <<

D ．734z x y <<

11．双曲线22:4C x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF =，则PFO ?的外接圆方程是

A ．22220x y x +-=

B ．2220x y x ++=

C ．22220x y x +-+=

D ．222220x y x +--=

12．若0x >，0y >，21x y +=，则2xy x y

+的最大值为 A ．14 B ．15 C ．19 D ．112

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x y +=______.

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3

14．已知向量a =（sin2α，1），b =（cosα，1），若a ∥b ， π02

α<<，则α=______． 15．已知公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，314S =，若2log n n b a =，

则数列11n n b b +??????

的前100项和为______．

16．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1) ……[4,4,5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求频率分布直方图中a 的值；

（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明

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4 理由。

18．（12分）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4tan 3A =，1tan 3B =，5a =.

（1）求tan C ；

（2）求ABC ?中的最长边.

19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ?向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .

（1）求证：'AD BE ⊥；

（2）求二面角'A BD E --的大小.

20．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点()2,0P -,直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(异于点P ).当直线l 经过原点时,直线,PA PB 斜率之积为34-

. (1)求椭圆C 的方程;

(2)若直线,PA PB 斜率之积为14-

,求AB 的最小值.

21．（12分）已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.

（1）求()f x 的单调区间；

（2）当2k =时，求证：对于1x ?>-，()()f x g x <恒成立；

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5 （3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知直线l

的参数方程是{2x y t =

=+（t 是参数），以坐标原点为原点， x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ??=+

???

. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；

（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.

23．（10分）已知函数()241f x x x =-++.

（1）解不等式()9f x ≤； （2）若不等式()2f x x a <+的解集为{}

2,|30A B x x x =-<，且满足B A ?，求实数a 的取值范围.

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6

2021年春四川省宜宾四中高三第一学月考试

理科数学参考答案

1．A

2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C

13．5 14．6π 15．100101 16

-

17．（1）由直方图，可得(0.080.160.400.520.120.080.04)0.51a a ++++++++?= ， 解得0.30a =.

（2）因为前6组频率之和为

0.080.160.300.400.520.300.50.880.85.+++++?=>（）

而前5组的频率之和为

0.080.160.300.400.520.50.730.85.++++?=<（）

所以2.53x ≤<.

由0.3 2.50.850.73x ?-=-（）

解得 2.9x =.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.

18．（1）因为()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B +=-+=--41333419

+=-=--. （2）由（1）知C 为钝角，所以C 为最大角， 因为4tan 3A =，所以4sin 5A =，又tan 3C =-

，所以sin C =

由正弦定理得：545=

c =. 19．

（Ⅰ）证明：∵AE BE ==，AB 4=，

∴222AB AE BE =+，∴AE EB ⊥，

取AE 的中点M ，连结MD '，则AD D E 2MD AE ''==?⊥，

∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，

∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ，

从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥

重点中学试卷 可修改 欢迎下载 7 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'， ()E 2,0,0，从而BA =（4,0,0），BD'312=-（，，），()BE 2,2,0=-. 设1n x y z)（，，=为平面ABD '的法向量，

则11n BA 40n BD'32x x y z

??==????=-+??可以取1n 0,2,1)=（ 设()2n x y z ，，=为平面BD E '的法向量， 则22

n BE 220n BD'320x y x y z ??=-=????=-+=??可以取2n (1,12=-，） 因此，12n n 0?=，有12n n ⊥，即平面ABD ' ⊥平面BD E '， 故二面角A BD E -'-的大小为90.

20．(1)当l 经过原点时,2121,x x y y =-=-,此时2211112211112244

PA PB y y y y K K x x x x --?=?==+-+--, 又2222111221,1444x y y b A b x +=?=--因为在椭圆上所以,223344

b b -=-?=所以所以椭圆方程为22

143

x y +=. (2)由()

22222

3463120143x my n m y mny n x y =+???+++-=?+=??, 122634mn y y m -+=+所以,21231234

n y y m -?=+,由()()1212121211422224

PA PB y y y y K K x x x x ?=-??==-++++, ()()12124220y y my n my n ?+++++=,

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8 ()()()()2

212124220m y y m n y y n ?++++++=,

()()()22222312

642203434n mn

m mn m n m m --+?++++=++所以,()12n n ?==-或舍,

:1l x my =+所以,l 所以恒过定点()1,0,

AB 所以

=12y -

234m +=213

4143344m ??-≥?= ?+??,

当0m =时,AB 的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,min ||3AB =.

21．（1）()()2'212f x x x =-++()

2231(2)2

x x x x -++=>-+，

当()'0f x <时，2310x x ++<.

解得2x -<<．

当()'0f x >

时，解得32x -+>．所以()f x

单调增区间为32,

2?-- ??

，

单调减区间为?

+∞????

．

（2）设()()()h x f x g x =-()()()22ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-， 当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，

()0h x <恒成立．()()2231'22x x h x x -++=-+()()

2312x x x -++

=+，

∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减．又()10h -=， ∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ?>-，()()f x g x <恒成立．

（3）因为()()

2231'2x x h x k x -++=-+()2

2622

2x k x k x ++++=-+．

由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，

即对于1x ?>-，()()()22ln 2121x x x +-+<+，

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9 不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ?>-，10x +>，

此时()()211x k x +<+．∴()()()()22ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；

当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同， 当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立．综上，k 的取值范围为(),2-∞．

22．（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l

的方程为y x =+

4cos 4πρθθθ??

=+=- ???，

2cos ρθθ∴=-，

∴曲线C

的直角坐标方程为220x y +-+=，

即(

(224x y ++=.

圆心到直线l

的距离为62d ==>，

∴直线l 与圆C 的相离.

（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为

==

≥

即切线长的最小值为23．（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，

即>2,

339x x ??-≤?或12,59x x -≤≤??-≤?或<1,339,

x x -?

?-+≤? 解得2<4x ≤或12x -≤≤，或2<1x -≤-；

不等式的解集为[]2,4-．

（Ⅱ）易知()0,3B =；

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10 所以B A ?，又241<2x x x a -+++在()0,3x ∈恒成立； 24<1x x a ?-+-在()0,3x ∈恒成立；

1<24<1x a x x a ?--+-+-在()0,3x ∈恒成立；

()()>30,305>350,35a x x a a a x x a ?-∈≥????≥??-+∈≥???

在恒成立在恒成立．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bk4q.html