2.2_整式的加减_教材详解及典例分析

2.2整式的加减

生活中的数学：漫画创意：一群学生在植树，他们觉得要把植树任务分一分，就要计算一下需要植树的面积，地方是一个不规则四边形，可以分割成三角形、长方形等几何图形，先用代数式表示出这块土地的面积，然后再通过度量一些边长，代入代数式求面积。 2.2 整式的加减 1、同类项，合并同类项的概念；??知识频道 2、整式的加减运算、求代数式的值．??例题频道 3、准确、迅速去括号、合并同类项。??方法频道

一、知识频道 概念内涵 概念外延 概念缘由 整式加减的有关概念

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。如： 6x2y2和-4x2y2就是同类项，－3和5也是同类项；但4ab与3ab就不是同类项，因为相同字母的指数不相同。

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。如：6x2y2＋（-4x2y2）＝2x2y2

说明：①只有同类项才可合并，不是同类项的不能合并； ②合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数不变； ③合并同类项后若其系数是带分数，要把它化成假分数；

④多项式中，如果两同类项的系数互为相反数，合并后这两项互相抵消，结果为0。

去括号法则：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号。如：A+（5A+3B）—（A—2B）＝A+5A+3B-A+2B＝5A+5B。

说明：去括号法则相当于乘法分配律的应用，如：A+（5A+3B）—（A—2B）＝A+1×(5A+3B)+

22- 1 -

（－1）×(A-2B)＝A+5A+3B+(-1)A+(-1)×(-2B)＝A+5A+3B-A+2B=5A+5B。如果括号前面有数字因数，就按乘法分配律去括号。如：

1333（3a2-2ab+4b2）-2(a2-ab-3b2) =a2-ab+2b2-a2+2ab+6b2=ab+8b2

4222添括号法则：给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号。

说明：去括号与添括号是互逆的过程，它们的依据是乘法分配律的顺逆运用。 可把+（a-b）看作（+1）（a-b），把-（a-b）看作（-1）（a-b）则有+（a-b）=a-b， -（a-b）= -a+b，这样乘法分配律的一个应用便是去括号；添括号可理解为乘法分配律的逆用。

整式加减法法则

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项.。

说明：整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0，不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉，在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求：

①结果按照某个字母的降幂或升幂排列； ②每一项的数字系数写前面；

③结果不出现带分数；带分数要化成假分数； ④结果不出现“÷”号，“÷”改写成分数的形式； ⑤结果中不再有括号（一般情况）。

探究引导：小陈在购买股票时，先购买了甲种股票a股，后来股票上涨，他就卖掉（2c+b）股，这时他手中有甲种股票【a－（2c+b)）】股；如果小陈先购买了甲种股票a股，后来股票上涨，他就连续卖了两次甲种股票，一次2c股，一次b股，此时他手中有甲种股票（a－2c－b）股；实际上小陈进行这样两次操作后他手中所持甲种股票数是一样多的，由此可见a－(2c+b)=a－2c－b。这就是去括号法则中的括号前是负号，把括号和括号前的负号都去掉，括号中的每一项都要变号。

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二、方法频道 由解题理解知识，由知识学会解题

1、同类项的概念及合并同类项的注意点

例1 (2006年成都毕业会考题)已知代数式

是同类项，那么a、

b的值是( ) A.

B.

C.

D.

解：依题意得故选A.

知识体验：要使含字母的单项式是同类项，则必须满足两个条件：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数也相同．这里两个单项式都含有字母x，y，因此还需满足x的指数和y的指数分别相等。

例2 三角形的周长为48，第一边长为3a+2b,第二边的2倍比第一边少a-2b+2,求第三边长是多少？

解：48-（3a+2b）- =48-3a-2b-

1[(3a+2b)-(a-2b+2)] 21(2a+4b-2) 2 =48-3a-2b-a-2b+1=49-4a-4b. 答：第三边长为49-4a-4b.

知识体验：本题已知三角形的周长和一边，又已知第二边的2倍比第一边少a-2b+2,，所以可以用代数式表示第二边，用周长减去第一边的长，再减去第二边的长就得到第三边的长。运算过程用到去括号、合并同类项，其中去括号就是乘法分配律的应用。

解题技巧：在运算中，遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。要注意是同类项才能合并成一项，不是同类项不能合并，就照抄下来即可。 2、求代数式值要注意的问题 （1）化简求值法

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例3．若x??1，求代数式 62(3x3?4x2?5x?6)?7(3x2?5x?7)?10(?3x3?2x2?4x?5)的值？

解：2(3x3?4x2?5x?6)?7(3x2?5x?7)?10(?3x.3?2x2?4x?5)

?6x3?8x2?10x?12?21x2?35x?49?30x3?20x2?40x?50 ??24x3?9x2?5x?13

当x??

知识体验：求代数式的值的常用方法是先化简再把字母的值代入化简式求值。本题

11312125时，原式??24?(?)?9?(?)?5?(?)?13??13 666636x??1是个分数，代数式又比较繁琐，如果直接代入计算，运算量很大而且易错，所以要6先化简再代入求值。这种求代数值值的方法叫“化简求值法”。

解题技巧：先化简再代值是求代数式值的一般方法。化简时用乘法分配律去括号，要注意括号外面的因数要与括号内的每一项相乘，不要只与首项相乘，忘了与其它项相乘。

（2）整体代入法 例4 若

a?b5(a?b)a?b?4，求代数式?的值？ a?ba?b2(a?b)a?ba?b15(a?b)a?b117?4时，? ，所以??5?4???19 a?ba?b4a?b2(a?b)248解：当

知识体验：本例题中并没直接给出a，b的值，观察到

a?ba?b与互为倒数，可把a?ba?ba?ba?b,分别看作一个“整体”，将“整体”的值直接代入求值式，这样就可以避免求a?ba?b其中字母的值，简化了求值过程。这种求代数式值的方法叫整体代入法。

解题技巧：求代数式的值，一般用化简求值法，只有当所给的题目有一定的特殊

性，我们观察到含未知数的部分可以看成一个整体时，我们用整体代入法，这样会使运算简便，问题得解。

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三、例题频道 (一）题型分类全析 1、整式加减类型题

整式包括单项式和多项式，因此，整式的加减就包括单项式与单项式、单项式与多项式及多项式与多项式的加减.。求两个多项式的和或差时，要把每个多项式应作为一个整体，用括号括起来，再进行加或减，然后去掉括号，合并同类项，化简。整式的加减实际上就是合并同类项，在运算中，有括号要先去括号.去括号时一定要注意括号前的符号，如（x2+x）-(1-3x+2x2)=x2+x-1+3x-2x2=-x2+4x-1,要特别注意括号前是负号的时候，不要只对括号中的首项变号，其他项也要变号。

例1：求3x?6x?5与4x?7x?6的和与差。

思维直现：本题有两问，一问是求两个多项式的和，一问是求两个多项式的差，就和时将两个多项式相加即可，求差时要把每个多项式看成一个整体，加括号相减，然后去括号合并同类项。

解：（1）3x?6x?5与4x?7x?6的和：

2222(3x2?6x?5)?(4x2?7x?6)

?3x2?6x?5?4x2?7x?6

?(3?4)x2?(?6?7)x?(5?6)

?7x2?x?1

（2）3x?6x?5与4x?7x?6的差：

22(3x2?6x?5)?(4x2?7x?6)

?3x2?6x?5?4x2?7x?6

?(3?4)x2?(?6?7)x?(5?6)

??x2?13x?11

阅读笔记：审题要清晰，本题有两问，不要漏掉一问。求差将两个多项式相减时要给多项式加括号，然后再去括号，括号前是负号，去括号时，每一项都要变号，不要只变首项，

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其余项不变。

题评解说：本题是多项式的加减法的常规题，解题时要注意把每个多项式看成一个整体加括号，然后再相加减。后面去括号、合并同类项要要一步一步的算，不要着急不写步骤出错。

建议：去括号时一定要看清括号前是正号还是负号，按去括号法则运算，遇到括号前是负号，一定要注意去掉括号后，括号中的每一项都要变号。

例2：.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2, 并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式. 思维直现：已知A+B+C=0,还知道A和B的多项式，求C表示什么多项式，这里C就是(A+B)的相反数，所以求A+B,再取相反数就可以了。

解: ∵A+B+C=0 ∴ C=-(A+B) 又∵A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2 ∴ C=-[(a2+b2-c2)+(-4a2+2b2+3c2)] =-[a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2] =-[-3a2+3b2+2c2]=3a2-3b2-2c2 ∴ C是3a2-3b2-2c2

阅读笔记：已知多项式的和及其中几个加数，求另一个加数的问题，用减法解决，即用和减去每一个加数。实质就是多项式的减法，要分清被减数和减数，去括号时要注意去括号法则。

题评解说：本题虽然考的也是多项式的加减法，但问法不同，要学生自己思考出多项式之间的运算关系，然后计算。在进行运算时要注意把每个多项式当作一个整体，这是整体思想；要把A用a2+b2-c2代替，这是换元的思想，本题用到的数学思想要仔细体会。

建议：把多项式作为整体代换时，特别应注意各项符号的变化.

例3 已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红年龄的

1还多1岁，求这三名同学的年龄之和是多少？ 21还多1岁，可以用含m的代数式2 思维直现：已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，可以用含m的代数式表示小红的年龄；小华的年龄比小红年龄的

表示小华的年龄，这样三个人的年龄和就是三个多项式的和。

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解：m+(2m-4)+[

1(2m-4)+1] 2 =m+2m-4+m-2+1=4m-5

答：这三名同学的年龄之和是（4m-5）岁.

阅读笔记：要用含m的代数式把小红、小华的年龄都表示出来，才能求三个人的年龄和。审题时要注意，小红的年龄与小明的有关，小华的年龄与小红的有关，所以要先用代数式表示小红的年龄，再用代数式表示小明的年龄，然后求三个代数式的和。

题评解说：本题用到了多项式求和的知识，但要先理解题意列代数式，所以考了两个知识点，有一点的综合性。很多学生难在列代数式上，由于审题不仔细列错了代数式，以为小华的年龄也是与小明有关。

建议：列式要体现问题的实际意义，然后进行化简.结果4m-5要加括号，再写单位。

2、求代数式值的题型

例4 已知：|x+2|+(y+1)2 =0

求 ?3(x?2y)3?2(2x?y)3的值。

思维直现：求代数式值的题目一般先化简再求值，需要知道字母的值。本题没有给出字母的值，需要先求出字母的值。

解：∵|x?2|?(y?1)?0 ∴x+2=0，y+1=0 ∴x=-2，y=-1 当x=-2，y=-1时，

原式??3[?2?2(?1)]?2[2(?2)?(?1)]

332??3[?2?2]3?2[?4?1]3

??2?(?27) ?54

阅读笔记：绝对值和平方数都是非负数，几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零，这样就得到了关于字母的方程，可以求出字母的值，然后先化简再代值计算。整个过程书写要有步骤。

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题评解说：本题是要用化简求值的方法求代数式的值，条件是要知道代数式中字母的值，而字母的值已知中没有直接给出，要先通过所给你的已知求出。在求字母值时要用到“几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零”这个知识点，所以本题有一点综合性。

建议：理解和熟记“几个非负数的和为零，这几个非负数应该同时为零”，有很多问题解决时要用到这个结论。

例5．设a= -0.7，b=0.49，求代数式的值：

2348(a?2b?0.28)?(a2?b)?5(3a?b) 3789思维直现：本题要是先化简再求值，数字很奇怪，运算量会很大，而且都是分数和小数的运算，所以观察代数式，发现如果直接代值，前面两个括号的值为0，这样使计算变得简单起来。

解：∵a=-0.7，b=0.49 ∴a+2b-0.28=-0.7+0.98-0.28=0

a2?b?0.49?0.49?0

3a-b=3×(-0.7）-4.9= -2.59 ∴原式?=12.95

阅读笔记 本题求代数式的值是先代入求值的方法。即根据求值式的结构特征，直接代入求值。如果先将求值式化简，反而破坏了代数式的结构特征，失去化简求值过程的时机。所以，观察代数式的特征，选择适当的方法可以简化运算，提高准确率。

题评解说：本题介绍了一种先代入求值的方法，根据求值式的结构特征，直接代入求值。题目不难，关键是学习这种方法，让学生意识到求值的方法很多，要根据题目的特征选择合适的方法。

建议：知道先代入求值的方法。要明白为何不化简而直接代值，目的只有一个就是简化运算，提高准确率。

例6：已知：A?5a?3b，B?3a?2ab，C?a?7ab?2，当a=1,b=2时， 求A-2B+3C的值，

22222348?0??0?5?(?2.59) 3789- 8 -

思维直现：此题有两种解法，一种为将a与b的值代入A、B、C中，可以得到A、B、C的值，再将A、B、C的值代入A-2B+3C中可以得到所求值，但这种做法，计算步骤多，容易出错，不如用第二种方法。

第二种方法为：将A、B、C代入A-2B+3C，先化简得到关于a，b的式子，再将a，b的值代，用一步计算就可以算出所求的值。

解：选用第二种方法，先化简再求值：

∵A?5a?3b，B?3a?2ab，C?a?7ab?2， ∴A?2B?3C?(5a?3b)?2(3a2?2a2b)?3(a2?7a2b?2) ?5a?3b?(6a2?4a2b)?(3a2?21a2b?6) ?5a?3b?6a?4ab?3a?21ab?6 ?25ab?3a?5a?3b?6 ∵a=1,b=2

∴原式?25ab?3a?5a?3b?6

?25?1?2?3?1?5?1?3?2?6 =50-3+5+6-6 =52

阅读笔记：这种所求代数式中字母又是一个多项式的求值题，要先观察如果将值代入字母中，先求字母的值是否简单（比如0），如果值不简单，运算也比较复杂，那就应该先将字母用多项式代替，将代数式先化简，再代入求值，这样可以少一次具体的计算，可以减少出错的机会，提高准确率。

题评解说：本题解法很多，但要选择简便一点的计算方法，是要仔细观察和动手先算一算的。所以选择合适的方法是本题的难点，另一个难点是运算量较大。题目不是难而是运算较复杂。

建议：要注意方法的选择，要学会如何选择较为简便的方法。

22222222222222

（二）思维重点突破

例7 两个多项式的次数都是n，这两个多项式的差的次数能否小于n？为什么？

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思维直现：本题没有给出具体的多项式，如果用特例判断差的次数能否小于n，可以回答第一问，却不能完整回答第二问，所以要先把多项式的一般情况设出来，通过计算说明问题。

解：次数为n的多项式可表示为：a0xn+a1xn-1+?+an-x+an, 由题意设第一个多项式为：a0xn+a1xn-1+?+an-1x+an, 第二个多项式为：b0xn+b1xn-1+?+bn-1x+bn 两个多项式的差为：

（a0xn+a1xn-1+?+an-1x+an,）-（b0xn+b1xn-1+?+bn-1x+bn） =(a0-b0)xn+(a1-b1)xn-1+?+(an-1-bn-1)x+(an-bn). 当a0=b0时，两个多项式差的次数小于n; 当a0≠b0时，两个多项式差的次数等于n.

阅读笔记：问答题如何答？只用特例回答可以吗？特例法在解答填空和选择题时可以用，在问答题里要严密回答问题就不可以了，所以本题设多项式的一般形式，这种方法要掌握。

题评解说：这是一道没有给具体的多项式，但给了多项式和的次数，判断差的次数的题目。如果只回答第一问，可以用特例法帮助思考回答，但本题还要回答问什么，这就要有推理判断的过程了，这样题目的难度就加大了许多。

建议：仔细体会本题的解答过程，掌握问答题的答题步骤。 例8．已知2a?3a?5?0 求4a?12a?9a?10的值？

思维直现：本题是求代数式值的题目，没有给代数式中字母的值，而且字母的值也不好求，所以考虑能否用整体代入法解此题。

解：∵2a?3a?5?0 ∴2a?3a?5

∴4a?12a?9a?10

432224322?4a4?6a3?6a3?9a2?10

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