第四十三讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

第四十三讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是( )

解析：选项A得到的是空心球；D得到的是球；选项C得到的是车轮内胎；B得到的是空心的环状几何体，故选C.

答案：C

2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( ) A．角的水平放置的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等

D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.

答案：D

3．下图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )

A．(1)不是棱柱 B．(2)是棱柱 C．(3)是圆台

D．(4)是棱锥

解析：显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3)中两底面不互相平行，故选D. 答案：D

4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

A．①② C．①④

B．①③ D．②④

解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.

答案：D

5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为( )

A．2 C．22

B.2 D．4

解析：设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.则原梯形的上底为x，下底为y，高为22h，故原梯形的面积为4，选D.

答案：D

6．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( )

A．22 C．4

B．23 D．25

解析：构造长方体，将棱BH构造为长方体的体对角线，由题意知BH的正视图的投影为CH，BH的侧视图的投影为BG，BH的俯视图投影为BD.

设AB＝x，AD＝y，AE＝h，

则由CH＝6?DC2＋DH2＝6?x2＋h2＝6， 又BH＝7?BC＝1，即y＝1. BH侧视图的投影为BG＝y2＋h2， BH俯视图的投影为BD＝x2＋y2， ∴y＋h＋x＋y≤2当x＝h时，取等号． 答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写

2

2

2

2

(y2＋h2)＋(x2＋y2)

＝4，

2

序号)．

解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.

答案：①②③

8．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．

解析：因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H、E、O、P四个字母，故能说明S的反面是D，翻转图②使P调整到正前面，S调整到正左面，则O为正下面，所以H的反面是O.

答案：O

9．有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，问它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？________.

解析：如图(1)三棱锥S—A′B′C′有四个暴露面，如图(2)四棱锥V—ABCD有五个暴露面，且它们的侧面都是完全相同的正三角形．

如图(3)当三棱锥S—A′B′C′的底面A′B′C′与四棱锥V—ABCD的侧面AVD完全重合后，四点S，A，B，V共面，同样四点S，D，C，V也共面，此时，新几何体共有5个面．

答案：5

10．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为取值范围是________．

解析：如图1，四面体ABCD中，AB＝BC＝CA＝1，DA＝DC＝是可以变动的．

13，只有棱长BD2

13，则第三条侧棱长的2

设M为AC的中点，则MD＝

?13?2－?1?2＝3，MB＝3.但是要构成三棱锥，如?2??2?2

333

，BD2＝3MB＝， 22

图2所示，必须BD1

333

即

答案：

?333?

?2，2?三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步

骤．)

上底面、下底面、截面的相似比为S1:S2:S.

设PO2＝h，O1O2＝x， 则S1S＝PO2

＝PO

hm

h＋x·m＋n

＝h(m＋n)

，

h(m＋n)＋mx

S2S＝

PO1＝PO

h＋x(h＋x)(m＋n)

＝. mh(m＋n)＋mx

h＋x·m＋n＝nh(m＋n)m(h＋x)(m＋n)(hn＋hm＋mx)(m＋n)

＋＝＝m＋n，

h(m＋n)＋mxh(m＋n)＋mxh(m＋n)＋mx

∴nS1S＋

mS2S即S＝mS2＋nS1

.

m＋n

mS1＋mS2S1＋S2

＝.

m＋m2

当m＝n时，则S＝

评析：由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体，台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体，利用锥体的一些性质解决台体问题，如利用平行于锥体底面的平面截锥体，则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的高的比的平方，截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等．

13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．

解：设正方体的棱长为a，球的半径分别为R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径a

和正方体的棱长相等，如图1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝；

2

球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD＝2R2＝2a，所以R2＝2a； 2

当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF＝2R3＝3a，

所以R3＝

3a. 2

故三个球的半径之比为1:2:3.

第四十四讲 空间几何体的表面积与体积

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )

A.1:2 B.1:3 C.1:4

D.1:5

解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,则棱锥的体积V1=

13×

12abc=

16abc.长方体的体积V=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc-

16abc?56abc,

所以V1:V2=1:5,故选D.

答案:D

2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE?△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )

A.C.2343B.D.33 32解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥. 在梯形ABFE中,易知BN=

32,

∴S△BCN=

12BC·HN=

12×1×22?24.

故该几何体体积为

24×1+2×?3124?12?23,选A.

答案:A

3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( )

A.4?C.3?22B.2?D.6122 解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为2×答案:C

×1×1+2×12+2×1=3+2,选C.

4.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED?EC向上折起,使A?B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为( )

A.C.43?2768B.D.6?26?24 ?解析:由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.

作PF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中点. 取EC中点G,连接DG?PG, 过球心O作OH⊥平面PEC. 则垂足H为△PEC的中心. ∵PG=32,PF??3?631???,PH?. ?3??33??23∴OP=

PG?PHPF?2?6333?64.

∴外接球体积为答案:C

43π×OP3=

43×π×6643?68π.

5.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( )

A.1+B.1+C.1+

babaab且a+b>h 且a+bh

D.1+

ab且a+b

解析:设酒瓶下底面面积为S,则酒的体积为Sa,酒瓶的体积为Sa+Sb,故体积之比为1+

ba,显然有a

答案:B

6.(原创题)设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( )

解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,选项B符合题意.故选B.

答案:B

二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________cm3.

解析:该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体. 其体积为23+答案:8+π

8.(精选考题·烟台检测)已知三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,E是棱CC1上一点,三棱锥E—ABC的体积是V1,则三棱锥E—A1B1C1的体积是________.

解析:如图,过E作AC?BC的平行线EF?EG,分别与AA1?BB1交于F?G,连接FG.

12×π×2=(8+π) cm3.

∵三棱锥E—ABC的体积是V1,∴三棱柱EFG—CAB的体积是3V1, ∴三棱柱EFG—C1A1B1的体积是V-3V1, ∵VE—A1B1C1=VEFG—C1A1B1,

3311∴VE—A1B1C1= (V-3V1)=答案:

V3V3 -V1.

-V1

9.(精选考题·广州模拟)如图为一几何体的展开图,其中ABCD是边长为6的正方

形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及点P,D,C,R共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P,Q,R,S四点重合,则需要________个这样的几何体,可以拼成一个棱长为6的正方体.

解析:由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥P—ABCD(如图),其中PD⊥平面ABCD,因此该四棱锥的体积V=V=6×6×6=216,故需要

2167213×6×6×6=72,而棱长为6的正方体的体积

?3个这样的几何体,才能拼成一个棱长为6的正方体.

答案:3

评析:几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容,通过折叠与展开问题,可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时,关键是弄清楚折叠与展开前后,位置关系和数量关系变化的情况,画出准确的图形解决问题.

10.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V=________.

解析:该几何体形状如图所示,是一个正方体与正四棱锥的组合体,正方体的体积是1,

正四棱锥的体积是

26,故该凸多面体的体积为1?26.

答案:1?26

三?解答题:(本大题共3小题,11?12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.

分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可. 解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.

可知AA′=BB′=CC′=4 cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为23cm, 23sin60?∴正三角形ABC的边长为|AB|==4(cm), ∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×|AA′|=

121222

×4sin60°=(48+83)(cm),体积为V=S底?

×42sin60°×4=163 (cm3).

23

故这个三棱柱的表面积为(48+83)cm,体积为163 cm.

评析:(1)注意:侧(左)视图中的数据23cm为底面正三角形的高,不要误认为是正三角形的边长.(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也体现了新课标的思想,应是高考的新动向,希望引起大家注意.

12.如图,在三角形ABC中,若AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.

解:如图所示,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为AB=5.底面半径等于CO=

AC?BCAB13?125,所以所得旋转体的表面积S=π·OC·(AC+BC)=π·

13125·(3+4)=

845π;

其体积V=·π·OC2·AO+·π·OC2·BO=

13·π·OC2·AB=

485π.

评析:求一些组合体的表面积和体积时,首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题.

13.在右图所示的几何体中,平面PAC⊥平面

ABC,PM∥BC,PA=PC,AC=1,BC=2PM=2,AB=5,若该几何体的侧视图(左视图)的面积为34.

(1)求证:PA⊥BC;

(2)画出该几何体的正视图,并求其面积S; (3)求出多面体A—BMPC的体积V. 解:(1)证明:AC=1,BC=2,AB=5, ∴AC2+BC2=AB2.

∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴BC⊥平面PAC.又∵PA?平面PAC,∴PA⊥BC. (2)设几何体的正视图如图所示:

∵PA=PC,取AC的中点D,连接PD,则PD⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC, ∴PD⊥平面ABC. ∴几何体侧视图的面积=

1212AC·PD

=×1×PD=34.

∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.

∴正视图的面积是上?下底边长分别为1和2,PD的长为高的直角梯形的面积. ∴S=

1?2232334.

??(3)取PC的中点N,连接AN,由△PAC是边长为1的正三角形,可知AN⊥PC,由(1)知BC⊥平面PAC,

∴AN⊥BC,∴AN⊥平面PCBM. ∴AN是四棱锥A—PCBM的高,且AN=由BC⊥平面PAC,可知BC⊥PC.

由PM∥BC,可知四边形PCBM是上?下底边长分别为1和2,PC的长1为高的直角梯形. 其面积S′=

3232.

,∴V=

13S′·AN=34.

新课标高一数学同步测试（2）—1.1空间几何体

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）

A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台

2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）

A B C D 3．下列说法正确的是

（ ）

A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形

D．正方形的直观图可能是平行四边形

4．如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．正三角形 5．下列几种说法正确的个数是（ ）

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等

②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A．1 B．2 C．3 D．4

6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为

A．

634 B．

34 C．2 D．62

7．哪个实例不是中心投影

A．工程图纸 B．小孔成像 C．相片

D．人的视觉 8．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同 B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D．斜二测坐标系取的角可能是135°

9．下列几种关于投影的说法不正确的是

A．平行投影的投影线是互相平行的 B．中心投影的投影线是互相垂直的影

C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上 D．平行的直线在中心投影中不平行 10．说出下列三视图表示的几何体是

A．正六棱柱 B．正六棱锥 C．正六棱台

D．正六边形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．平行投影与中心投影之间的区别是_____________；

）

） ）

）

）

（（（（（12．直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为

菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm2．

x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________． 14．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平

行光线照射，其投影是一个最长的弦长为

5米的椭圆，则这个广告气球直径是 米．

13．等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB=2 , 下底AB=3，按平行于上、下底边取

高一数学下—1.3空间几何体的表面积与体积（答案）

一、选择题：

1．过正三棱柱底面一边的截面是

A．三角形

B．三角形或梯形

D．六棱锥 D．3

（ ） （ ） （ ） （ ）

C．不是梯形的四边形 D．梯形

2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于

A．

12 B．1 C．2

4．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了

A．6a2

B．12a2

C．18a2

D．24a2

5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，

AD，则三棱锥A—A′BD的体积

A．

1612a

3 C．

312a3

D．

112a3（ ）

B．

36a3

6．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（ ）

A． B．1 C．2 D．3

7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ） A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9

8．直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可

铸成这样的小球的个数为

A．5 B．15

?2

C．25

?4

D．125

?3（ ） （ ）

9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为

A．

B．

?6 C． D．

10．中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ）

A．11：8

B．3：8

C．8：3

D．13：8

二、填空题：

11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，直平行六面体的侧面积

为_____________．

12．正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为43cm，则它的侧面积为_________． 13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 14．已知正三棱锥的侧面积为183 cm,高为3cm. 求它的体积 ． 三、解答题：

15．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱． 已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；

②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.

已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．

216．四边形A，绕y轴旋转一周，求所得 BCD，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3) 旋转体的体积．

17．如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，h1? 圆锥内水面高为h，求h. 22

h3,若将圆锥倒置后，

18．如图，三棱柱 A上一点，求 V． BC?ABC中，P为AA????:VP?BBCCABC?ABC?????

19．如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底

面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个

棱锥的高，并指出有解的条件．

20．（14分）已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积；

（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．

参考答案（三）

一、BDDBC BDDBA

二、11．2Q12?Q22； 12．30三、15．①解：?母线l?2r

3 cm2； 13．8； 14．93cm.

3

?S侧?c?l?2?r?2r?4?r?S全?4?r

②解：?母线l?2r

22?2?r2?6?r

2

?S侧??rl??r?2r?2?r?S全?2?r16．解：V圆锥?22??r2?3?r

2

13?r2h?13??2?2?283?

1712222???1?(2?1?2?1)?? V??h(r?R?Rr)圆台333?V?V圆锥?V圆台?5?

17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原

圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.

hV833S?AB解： ?()?VS?CDh272

1

?V水V锥?1927倒置后：V水:V锥?193?3?h2:h??h2??h??2727??33193193h

?V小结：此题若用 V计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用h1?水台13h导出来，

?V?V，而V与V我们用 V的体积之间有比例关系，可以直接求出. 水锥空空锥18．解法一：设 S的距离为 h，则V?Sh ?S,AA到平面BBCC???P?BBCC??BBCC??13 BC?ABC接补成以DDCC和BBCC把三棱柱 A为相邻侧面的平行六面体，此平行???????六面体体积为原三棱柱体积的两倍.

1

?VABC?ABC???VP?BB?CC?1?3?Sh?1VABC?A?B?C?22Sh?Sh23

解法二： V ?V?VV?P?BBCCABC?ABCP?ABCP?ABC????????设S?ABC?m，棱柱的高为n，则三棱柱的体积?m?n

n)?23mn

VP?BB?C?C?VABC?VP?AB?C?C:VABC?A?B?C??VP?ABC?VP?A?B?C??mn??2313m?n(P到两底距离之和为

?A?B?C? 小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，

有利于体积变换.

19．分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，

要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解.

解：如图，过高O得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，O和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，1设OO?h，所以 1S锥侧?1212?4b?EO1?2bEO1(4a?4b)?EE1?2(a?b)?EE1?2bEO1?2?a?b?EE1①OE?2

S台侧?

由于OO1E1E是直角梯形，其中由勾股定理有EE122b2，O1E1?a22?ab??b?22?h????，EO1?h???②?22??2? ①式两边平方，把②代入得：

22?2b?2?2?ab??b?h????a?b??h??????22??4?????2

22解得h?2a(2b?a)4a(a?2b)222所以h?1a(2b?a)2a?2b

，b?0显然，由于a?0，所以此题当且仅当a?2b时才有解.

小结：在棱台的问题中，如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱

有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直

角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一.

20．解：（1）设内接圆柱底面半径为r.

S圆柱侧?2?r?x①?rR?H?xH?r?RH(H?x)②

②代入①

S圆柱侧?2?x?RH(H?x)?2?RH??x2?Hx(0?x?H)

?2?R2?R2 （2）S???x?Hx圆柱侧HH???????22H?H???x????

2?4??? ?x?H2时S圆柱侧最大??RH2

一、选择题

1．如图所示茶杯，其正视图、左视图及俯视图依次为（ ）

2．由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别为视图）、

（俯视图），则该几何体是（ ）

（正视图）、

（右

3．如图，如下放置的四个几何体中，其正视图为矩形的为（ ）

4．如图，如下放置的几何体中，其俯视不是圆的是（ ）

5．如图，如下放置的几何体（由完全相同的立方体拼成）中，其正视图和俯视图完全一样的是（ ）

6．如图，下面几何体正视图和左视图类似的是（ ）

7．如图，下列选项不是几何体的三种视图为（ ）

8．将两个圆盘、一个茶叶桶、一个皮球和一个蒙古包模型按如图所示方式摆放在一起，其正视图是（ ）

9．如图，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正体的个数是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．如下图物体的三视图的是（ ）

二、填空题

11．一个几何体，无论我们从哪个方向看，看到的结果都是一样的，则该几何体必定为______．

12．如图所示，桌上放着一个半球，则在它的三视图及从右面看到的图中，有三个图相同，一个不同，这个不同的图应该是_________．

13．如图所示的积木是由16块棱长为1cm的正方体堆积而成的，则它表面积为________．

14．一个立体图形的三视图一般包括______图、_______图和_______图．

15．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如下图，则该几何体由_________块小正方体木块搭成．

16．如图（1），E、F分别是正方体的面ADDlAl，面BCClB1的中心，则四边形BFDlE正在该正方体的面上的射影（即本节所指的正投影）可能是图（2）中的_________（把可能的序号都填上）．

三、简答题

17．试作出下面几何体的三视图

18．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．

19．添线补全下列三视图

20．画出如下所示物体的三视图．

21．如下图是由小立方块搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的正视图和左视图．

参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．A 8．D 9．B 二、填空题

11．球 12．俯视图

13．48cm2

14．正视图，左视图，俯视图 15．7 16．②③ 三、解答题 17．解：

18．解：（3），（4），（6），（1），（8），（5），（2），（7）．

19．解：略 20．解：

．C 1021．解：

高一数学下1.1空间几何体的结构特征

一、选择题：

1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 （ A．平面 B．曲面 C．直线 D．锥面 2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成 （ A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体 3．有关平面的说法错误的是

（ A．平面一般用希腊字母α、β、γ?来命名，如平面α? B．平面是处处平直的面

C．平面是有边界的面 D．平面是无限延展的 4．下面的图形可以构成正方体的是

（

A B C D 5．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 6．A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有 （ A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个 7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有

（ A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列命题中正确的是

（ A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥

B．棱锥的高线可能在几何体之外

） ） ） ）

） ） ） ）

C．仅有一组对面平行的六面体是棱台

D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C′的最短矩离是

B．7

C．29

D．37

（ ） （ ）

9．长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到

A．5 平行六面体}，则

10．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直 A．A?B?C?D?F?E

C．C ?A?B?D?F?E二、填空题：.

B．A ?C?B?F?D?ED．它们之间不都存在包含关系

11．线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移

动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′，依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.

①该长方体的高为 ；

②平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为 ； ③A到面BC C′B′的距离为 .

12．已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所

得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题： ①如果A在多面体的底面，那么哪一面会在上 面 ；

②如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个 面会在上面 ；

③如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一 个面会在上面 .

14．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，

AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分) 15．（12分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．

16．（12分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题

是否正确，说明理由．

17．（12分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高．

18．（12分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.

求：圆锥的母长．

19．（14分）已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积．

20．（14分）有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF

把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P. 问：

①依据题意制作这个几何体；

②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形； ③若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少．

参考答案（一）

一、DBCCA DDBAB

二、11．①3CM②4CM③5CM； 12．圆锥、圆台、圆锥； 13．①F②C③A； 14．5三、15．解：J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C.

16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去

截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.

小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途： ①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；

②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的； ③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.

OBE和?O?B?E?中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（OB,O?B?）内切圆半径（OE,O?E?）的差，特别是正三、正四、正六棱台.

略解：h ?OO?BF，h?EEB?G?????2．

17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形OO?B?B，OO?E?E和BEE?B?及两个直角三角形

BF?

222(b?a)BG?12(b?a)212?(b?a)

?h?c?222c?(b?a)22

h??c?214(b?a)2?124c?(b?a)

2218．解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R.

?

l?10ll?10l403??rR14

??l?403(cm) 答：圆锥的母线长为cm.

19．解：设底面正三角形的边长为a，在RT△SOM中SO=h，SM=n，所以OM=

n?l，又MO=

2236a，即

a=

63n?l22，?s?ABC?34a2?33(n?l)，截面面积为

22343(n?l)．

2220．解：①略．

②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形. ③由②可知，DE=DF=

5a,EF=

122a,所以，S△DEF=

32a2。DP=2a，EP=FP=a，

所以S△DPE= S△DPF= a2，S△EPF= a2．

高一数学下1.1空间几何体的结构特征

一、选择题：

1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成

A．平面

B．曲面

C．直线

D．锥面

（ ） （ ）

2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成

A．棱锥

B．棱柱

C．平面

D．长方体

3．下面的图形可以构成正方体的是

A

B

（ ）

C

D

（ ）

4．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是

A．等边三角形 C．顶角为30°的等腰三角形

B．等腰直角三角形 D．其他等腰三角形

5．A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有

A．一个

B．无穷多个

C．零个

（ ）

D．一个或无穷多个 D．4

（ ） （ ）

6．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有

A．1

B．2

C．3

7．下列命题中正确的是

A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组对面平行的六面体是棱台

D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

8．长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′

的最短矩离

A．5

B．7

C．29

D．37

9．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直

平行六面体}，则

（ ）

A．A?B?C?D?F?E C．C ?A?B?D?F?E二、填空题：.

B．A ?C?B?F?D?ED．它们之间不都存在包含关系

1．线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动

3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′,依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.

①该长方体的高为 ；

②平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为 ； ③A到面BC C′B′的距离为 .

2．已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所

得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 3．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题： ①如果A在多面体的底面，那么哪一面会在上 面 ；

②如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个 面会在上面 ；

③如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面 . 三、解答题：

．若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，

说明理由．

2．正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高．

3．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥

的母长．

空间几何体的结构特征以及三视图和直观图

课下练兵场

命题 报 告 难度及题号 容易题 知识点 空间几何体的结构特征 三视图 直观图及斜二测画法 一、选择题

1.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为 ( )

A.上面为棱台，下面为棱柱 B.上面为圆台，下面为棱柱 C.上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱

解析：结合图形分析知上为圆台，下为圆柱. 答案：C

2.(2009·上海高考)如图，已知三棱锥的底面是直角三角形， 直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于 底面，该三棱锥的正视图是 ( )

(题号) 1 2、3 4 中等题 (题号) 6 5、7、8 、9、12 稍难题 (题号) 10、11

答案：B

3.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 ( )

53

A.3 B. C.2 D. 22

解析：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长13

分别等于1和3，棱柱高等于3，故几何体的体积V＝×1×3×3＝. 22答案：D

4.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是 ( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析：由斜二测画法知△ABC为直角三角形. 答案：B

5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 ( )

35π

A.π B.π C.π D. 244

1

解析：由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为r＝，高h＝1，∴S侧＝2πrh＝π.

2答案：C

6.(2009·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”( )

的

面

的

方

位

是

A.南 B.北 C.西 D.下 解析：如图所示.

答案：B 二、填空题

7.(2010·广州模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形. 答案：①③④⑤

8.如图(1)，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(2)(3)所示，则其侧视图的面积为 .

解析：其侧视图是底为S＝2×3＝23. 答案：23

9.(2009·温州模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为 .

3×2＝3，高为2的矩形， 2

解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C－BD－A为直角二面角，其侧视图是一个两直角边长为1

答案： 4三、解答题

10.已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图. (2)求出侧视图的面积. 解：(1)如图.

21的直角三角形，其面积为. 24

(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，

侧视图中VA＝ ＝12＝23，

2342－(××23)2

32

1

∴S△VBC＝×23×23＝6.

2

11.如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积. 解：(1)正六棱锥 (2)其侧视图如图：

其中AB＝AC，AD⊥BC，

且BC的长是俯视图中正六边形对边的距离， 即BC＝3a，

AD的长是正六棱锥的高，即AD＝3a， ∴该平面图形的面积 S＝

133a·3a＝a2. 22

133(3)V＝·6·a2·3a＝a3.

342

12.(2009·广东高考)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积.

解：(1)该安全标识墩侧视图如图所示. (2)该安全标识墩的体积 V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH 1＝×40×40×60＋40×40×20 3

＝64 000(c空间几何体的结构

一、选择题

1．在棱柱中（ ） A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行

C．所有的面都是平行四边形

D．两底面平行，且各侧棱也互相平行

2．将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）

3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（ ）

A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、4、6 D．5、6、4 4．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）

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