浙江专版2018高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合教师用书

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”第二节 排列与组合

1．排列与组合的概念 名称 排列 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素 定义 按照一定的顺序排成一列 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cn表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

(1)An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝公式 Ann(2)C＝m＝Ammnnmmmmn！ n－m！＝n－n－m！n－m＋n！ m！n－m！性质 (1)0！＝1；An＝n! (2)Cn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn

mn－mmmm－11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (3)若组合式Cn＝Cn，则x＝m成立．( )

(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言( )

A．1 560条 B．780条 C．1 600条 D．800条

xm从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”A [由题意，得毕业留言共A40＝1 560条．]

3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 C．60

D [第一步，先排个位，有C3种选择； 第二步，排前4位，有A4种选择．

由分步乘法计数原理，知有C3·A4＝72(个)．]

4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．85 C．49

B．56 D．28

12

1

4

4

1

2

B．48 D．72

C [法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C7C2种方法， 甲、乙两人只有1人入选，有C2C7种方法， 由分类加法计数原理，共有C2C7＋C2C7＝49种选法． 法二(间接法)：从9人中选3人有C9种方法， 其中甲、乙均不入选有C7种方法，

∴满足条件的选排方法有C9－C7＝84－35＝49种．]

5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种. 【导学号：51062328】

60 [5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半， 15

∴满足条件的不同排法共A5＝60种．]

2

3

3

3

3

21

1212

同的排法共有( )

A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

排列应用题 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

(1)B (2)36 [(1)第一类：甲在左端， 有A5＝5×4×3×2×1＝120种方法； 第二类：乙在最左端，

有4A4＝4×4×3×2×1＝96种方法，

45

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”所以共有120＋96＝216种方法．

(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A2A3种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A2A3C3＝2×6×3＝36种不同的摆法．]

[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．

2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．

[变式训练1] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )

A．34种 C．96种

1

231

23

B．48种 D．144种

C [程序A的顺序有A2＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A2A4＝48种结果，

由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]

24

同的取法共有( )

A．60种 C．65种

组合应用题 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不B．63种 D．66种

(2)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )

A．18个 C．14个

B．16个 D．12个

(1)D (2)C [(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，

∴不同的取法共有C5＋C4＋C5C4＝66种．

(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C6＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C4＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，

1

3

4

4

22

a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”

共有20－6＝14(种)．

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”故共有14个．故选C.]

[规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．

[变式训练2] 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．

472 [第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C4C12＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C12－3C4＝220－12＝208种．

由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]

3

3

12

?角度1 简单的排列与组合的综合问题

排列与组合的综合应用 (2017·杭州质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比

40 000大的偶数共有( )

A．144个 C．96个

B．120个 D．72个

13

B [当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C2A4＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C3A4＝72个，

所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．] ?角度2 分组分配问题

(2017·浙江名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通

大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( ) 【导学号：51062329】

A．240种 C．150种

B．180种 D．540种

13

C [5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．

1223

当5名学生分成2,2,1时，共有C5C3A3＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有

2C5A3＝60种方法．

由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]

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从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”[规律方法] 1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．

2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．

[思想与方法]

1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路： (1)特殊元素、特殊位置优先原则．

(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．

(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．

2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”

[易错与防范]

1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．

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