2011级概率统计期中统考试卷答案

厦门大学《概率统计A》课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师： 试卷类型：（A卷） 答题说明：

理工类学生从前九个题中选八个题答

旅游、企管、财务系学生答七、八题以外的八个题。

以下解题过程需要用到以下数据：(?(1.667)?0.95，?(0.84)?0.8)

一、(15分) 抓阄问题的公平性问题

抓阄是在机会稀缺时人们公平获得机会的常用方法，假定n个人抓阄，n个阄中只有一个 阄是“中奖”的，其它都不中奖，常见的抓阄方式有： （1）同时开阄：抓阄时每个人先按任意顺序抓一个阄，全部抓完后，再同时将n个阄打开看，

看其是否中奖； （2）即时开阄：n个人按任意顺序依次抓阄，每个人抓完阄后立即打开看，当某个人抓到“中

奖阄”时，整个抓阄过程就结束了。

试问这两种抓阄方式都公平吗？（讨论每个人抓到“中奖阄”的概率）。 解：令Ak表示“第k个人抓到了中奖阄”事件，1?k?n

（1）以“同时开阄”的形式抓阄，第k(1?k?n)个人抓到“中奖阄”的概率为P(Ak) 则由古典概率的算法， P(Ak)?(n?1)!?11，此概率不依赖于k，与k无关，所以“同时

?n!n开阄”这种方式可以认为是公平的；

（2）以“即时开阄”的形式抓阄。 解法1：利用古典概率的算法：

将n个阄编号，不妨假设1号阄是“中奖阄”，现在仅考虑第k个人抓到的阄号。令?1表示第k个抓阄的人抓到了1号阄，?2表示第k个抓阄的人抓到了2号阄，?,

?n表示第k个抓阄的人抓到了n号阄，所以本问题的样本空间为??{?1,?2,??n},显然其

中的每个基本事件发生都是等可能的，所以依照古典概率的算法有：P(Ak)?此概率也与k无关，所以“即时开阄”也应该是公平的。

1，1?k?n。n 1

解法2：显然第一人抓到“中奖阄”的概率为P(A1)?1， n由于A2?A1，A2?A1?A2，则第二人抓到“中奖阄”的概率为

n?111

P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???nn?1n同理由于 AK?A1A2?Ak?1 ，第k(1?k?n)个人抓到“中奖阄”的概率P(Ak)为

P(Ak)?P(A1A2?Ak?1AK)?P(A1A2?Ak?1)P(Ak|A1A2?Ak?1)

?P(A1)P(A2|A1)?P(Ak?1|A1A2?Ak?2)P(Ak|A1A2?Ak?1)

?n?1n?2n?311???? nn?1n?2n?k?1n此概率也与k无关，所以“即时开阄”也应该是公平的。

另外由全概率公式和数学归纳法也可以讨论此问题。（略） 二、（15分）在有50人参加的登山活动中，假设每个人意外受伤的概率是1%，每个人是否意外受伤是相互独立的。（1）计算没有人意外受伤的概率；（2）计算至少有一个人意外受伤的概率；（3）为保证不发生意外的概率大于90%，应当如何控制参加人数？ 解：用Ajj?1,2,?,50表示第j个人没有意外受伤，则A1,A2,?,A50相互独立，依题意有

P(Aj)?1?0.1?0.99.

（1） B??Aj表示没有人意外受伤，P(B)?P(?Aj)?0.9950?0.605；

j?1j?15050（2）B表示至少有一人意外受伤，P(B)?1?P(B)?0.395; （3）假设控制参加登山的人数为m人可以满足要求，则有

mmP(?Aj)??P(Aj)?0.99m?0.90

j?1j?1取对数后得到mln0.99?ln0.9，于是解出m?ln0.9?10.48，

ln0.99所以控制参加登山的人数在10人之内，便能保证不发生意外的概率大于90%。 三、（10分）某学生在毕业时向两个相互无关的用人单位递交了求职信，根据经验，他被第一个单位录用的概率为0.4，被第二个单位录用的概率是0.5,。现在知道他至少被某个单位录用了，计算他也被另一单位录用的概率。

解：用A1,A2分别表示他被第1单位和第2个单位录用这两个事件，则依题意，A1,A2独立，

2

且P(A1)?0.4,P(A2)?0.5。已知此学生被某个单位录用，等价于事件发生， “A1?A2”则所求的概率为条件概率P(A1A2|A1?A2),于是有

P(A1A2|A1?A2)??P(A1A2)P(A1)P(A2) ?P(A1?A2)P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)0.4?0.52?

0.4?0.5?0.4?0.57四、（10分）科学技术发展到今天，任何国家的导弹发射基地都不能躲过敌方的侦察。为了有效地保存自己的导弹发射装置，大多都采用了构建真假导弹发射井的方法。假设A国的100个发射井中有10个发射井是发射导弹的真井，另外90个是假井。在对A国的第一波精确打击中，至少要摧毁多少个发射井，才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

解：假设至少要摧毁n个发射井，才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

观察查验每口被摧毁的发射井是否是真井，我们把它当做一次试验，在此试验中，若是真井就相当于“成功”事件发生，若是假井就算“失败”事件发生。

用X表示在第一波精确打击中，被摧毁的这n个井中的真井的个数，则X~b(n,0.1)，依题意有P(X?10)?90%

10于是 P(X?10)?Cn(0.1)10(0.9)n?10?90% （若得出此式，就得满分）

验算得n=99，满足要求，即至少要摧毁99个发射井，才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

五、（15分）设随机变量X服从正态分布N(2,?2)，且P(2?求（1）P(X（2）?. ?0)；

X?4)?0.3，

解：（1）由正态分布密度函数的对称性（关于x=2直线对称）知，P(X?4)?P(X?0)，

P(0?X?2)?P(2?X?4), 由P(X?0)?P(X?4)?P(0?X?4)?1，

得 2P(X?0)?2P(2?X?4)?1

?0)?1?2P(2?X?4)?1?2?0.3?0.4，故P(X?0)?0.2.

X?2所以 2P(X（2）由 0.2?P(X?0)?P(???2?)??(?2?)?1??(2?)，得 ?(2?)?0.8，

故

2?即 ???0.84，2?2.38。 0.84 3

??e??x x?0六、（10分）设X服从参数为?指数分布，其密度函数为f(x)??，求

?0 其它 X?1?X，当Y??2

X， 当X<1?的概率密度函数

fY(y).

解：设FY(y)表示随机变量Y的分布函数 当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?0;

y?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?当0?y)

?P(0?X?y)??0?e??xdx

当yY?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(Y?1)?P(1?Y?y)?P(Y?1)??1?e??xdx

y?00?y?1。 y?1y?0??y??e?所以f(y)?F?(y)??YYy?2??y???e七、（15分）设一部手机在时间段[0,t]内收到的短信数服从泊松分布P(?)，其中???t，?是正数。每个短信是否是广告短信与其到达的时间独立，也与其它短信是否是广告短信独立。如果每个短信是广告短信的概率p?0，（1）已知[0,t]内收到了n个短信，求其中广告短信数的概率分布；（2）计算[0,t]内收到的广告短信数的概率分布；（3）证明在[0,t]内到达的广告短

信数和非广告短信数相互独立。

解：（1）设在[0,t]内收到的短信数是Y，收到的广告数是X，依题意Y~P(?)，每收到一个短信相当于作一次试验，遇到广告是试验成功，收到其它短信算失败。若在[0,t]内收到n个短信，相当于作了n次独立试验，每次试验成功的概率是p，根据二项分布知道，其中收到的广告数X的概率分布是

hk?P(X?k|Y?n)?Cnp(1?p)kkn?k,0?k?n

（2）由于{Y?j},j?0,1,?是完备事件组，所以由全概率公式得到X的概率分布

??P(X?k)??P(Y?n)P(X?k|Y?n)??n?kn?k?nn!e??Cnkpk(1?p)n?k

[?(1?p)]n?k??(?p)k???[?(1?p)]jk ??e(?p)?e?n?kj?0k!(n?k)!k!j!? 4

(?p)k???(1?p)(?p)k??p?ee?e,k?0,1,2,?

k!k!所以X服从泊松分布P(?p)。

（3）收到的非广告短信数Z?Y?X，由（2）同理知，Z~P(?q),q?1?p。

P(X?k，Z?j)?P(X?k，Y?X?j)?P(X?k，Y?j?k)

?P(Y?j?k)P(X?k|Y?j?k)

kj(?p)(?q)?e??Cjk?kpk(1?p)j?e??pe??q (j?k)!k!j!?j?k?P(X?k)P(Z?j)

所以在[0,t]内到达的广告短信数和非广告短信数相互独立。

x2八、(20分) 设(X,Y)在由曲线y?和y?x所围的有限区域内均匀分布，

2（1）求(X,Y)的联合密度；（2）计算边缘密度

（3）X与Y是否独立； fX(x)和fY(y)；

（4）条件密度fX|Y(x|y)，P(X?31（5）

E(X),E(Y),DX,DY. |Y?)；

42x2解：（1）由曲线y?和y?x所围的有限区域的面积A为

2xx22A???dxdy??dx?x2dy??(x?)dx?x2dy?

002322D2x2D 于是(X,Y)的联合密度是

?2?(x,y)?D

f(x,y)??3?其它?022x2x??dy0?x?2?(x?)0?x?2， ?x2（2）f(x)????f(x,y)dy????3?32X????其它0其它?0?222y2?????dx0?y?2?(2y?y)0?y?2

fY(y)????f(x,y)dx???y3??3??其它0其它?0?

5

（3）由于

f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

fX|Y(x|y)?f(x,y)1?,y?x?2y，

fY(y)2y?y（4）当0?y?2时，条件密度为

311111P(X?|Y?)??3fX|Y(x|y?)dx??32dx?

4442222x242162（5）E(X)??0x?(x?)dx?，E(Y)??0y?(2y?y)dy?

32934522x2828222，E(X)??0x?(x?)dx?E(Y)??0y?(2y?y)dy?

3215321222DX?EX2?(EX)2?2284136?()2?, 159405816236083608DY?EY?(EY)??()??.

21452205?715435九、（10分）设商店每销售一吨大米获利a元，每库存一吨大米损失b元，假设大米的销售

??e??y y?0量Y(单位：吨)服从参数为?的指数分布，其密度函数为f(y)??，问库存多少

?0 其它吨大米才能获得最大的平均利润。

解：设所求的大米库存量为N吨，则所获得的利润函数为

?aY?b(N?Y), Y?NQ(N,Y)??

aN, Y?N?所求的平均利润为

q(N)?E[Q(N,Y)]??Q(N,y)f(y)dy??[ay?b(N?y)]f(y)dy??aNf(y)dy

??0N??N????[(a?b)y?bN]?edy?aN??e??ydy

0NN??y??(a?b)(1?e??N)??bN

?由 q?(N)?(a?b)e??N?b?0，得到q(N)的唯一的极值点N?再由q??(N)??(a?b)?e??N?0知道，N?于是库存N?1ln(11?ln(a?b)， b?ln(a?b)是q(N)的唯一的最大值点。 ba?b)吨大米可以获得最大平均利润。

?b十、（10分）某办公室每月平均支付350元的电话费，若已知每月电话费的标准差是30元，

（1） 试估算下个月至少支付400元电话费的概率；（2）如果已知每月的电话费服从正态分

6

布N(350，302) ，估算（1）中的概率。(?(1.667)?0.95)

解：用X表示该办公室每个月支付的电话费，依题意有 EX=350，DX=302. （1）由切比雪夫不等式可得

P(X?400)?P(X?350?50)?P(|X?350|?50)

DX302?2?2?0.36 5050（2） 由正态分布可得

X?35050X?3505

P(X?400)?P(X?350?50)?P(?)?1?P(?)30303035?1??()?1??(1.667)?1?0.96?0.05。

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