灰色预测法

灰色预测理论在数学建模中的应用

作 者：胡金杭

摘要：灰色系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。

关键字：GM(1,1)预测模型 后验差检验 等维灰数递补模型 引言

现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。

在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。

灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列 ( 如累加生成、累减生成 ) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。

一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立：

我们设已知数据变量组成序列

，则我们可得到数据序列

，用1-AGO生成一阶累加生成序列为：

其中 由于序列此我们可以认为

(1-1)

具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因 序列满足下述一阶线性微分方程模型

(1-2)

我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式： (1-3) 简记为：

(1-4)

式中

上述方程组中，

； ；

和B 为已知量，A 为待定参数。可用最小二乘法得到最小二乘近

似值。因此，式（1－4）可改写为 式中，E —误差项。 利用矩阵求导公式，可得

解得结果

(1-5)

代入（2－2）中，我们可以得到

写成离散形式（令

(1-6)

），得到GM(1,1)模型的时间响应函数

（K =1，2，…） (1-7)

我们对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为：

相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数

二、灰色模型精度的后验差检验：

（K =1，2，…） (1-8) 将

的具体值，即得到了具体的预测公式。

对所建立的灰色预测模型，我们可以采用相应的后验差检验的方式进行预测数据的精度分析。

首先算得知残差平均值为

历史数据方差为

其中历史数据平均值为

残差方差为

后验差比值为

小误差概率为

最后，我们根据相关评判标准进行综合评定预测模型的小误差概率(P) 和后验差比值(C) .根据文献记载，我们一般可按下表五划分精度等级[5]。

预测精度 P C

好 >0.95 <0.35 合格 0.95：0.80 0.35：0.50 勉强 0.80：0.70 0.50：0.65 不合格 <0.70 >0.65 我们从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个典型的指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们做出了如下的改进。

三、基于灰色预测的等维灰数递补模型

为了进一步提高模型的精度，在GM(1,1)灰色预测模型的基础上还可以做进一步的改进，使得预测结果更加的精确。

GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据x(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，也就是说，老数据的信息意义将随时间的推移而降低。所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、老数据除掉的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，或称为新陈代谢数据列，相应的模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。 设原始数列为: 新数列:

置入新信息 , 去掉老信息 , 可构成

利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等维新息GM(1,1)模型。由于在实际中，信息处于不断的变化之中,具有很大的随机性, 虽然历史信息对预测时刻的具体值有一定的相关性和影响,但与预测时刻更接近的信息对于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况,可先用已知数列建立的GM(1,1)模型预测一个值, 然后补充一个新信息数据到已知数列中, 同时去掉最老的一个数据, 使序列等维, 接着再建立GM(1,1)模型,这样逐个滚动预测,依次递补,直到完成预测目标为止，通过此等维新息模型，我们再对具体问题进行预测，就可以得到更为精确的结果。 结束语

灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和预测，因而在人口、生态、农业、医学、工程技术、气象、水文及减灾等许多部门得到了广泛的应用，本文只是对灰色预测理论在数学建模中的应用做了基本的介绍，在实际应用中，它还有许多改进的理论，以及一些与其他理论结合使用的模型，如与人工神经网络组合的最优组合灰色神经网络预测模型，与模

糊数学结合的灰色预测模糊控制理论，在实际应用中它们已取得了较好的效果。总之，灰色预测理论在数学建模及其它领域将会发挥很好的作用。 参考文献

[1] 熊和金，徐华中，《灰色控制》，北京：国防工业出版社，2005.9。 [2] 刘思峰,郭天榜.灰色系统理论及其应用.开封:河南大学出版社 1991.

灰色数学模型预测

灰色预测法: 统计学上是不是有一种预测方法叫 灰色预测法 比如预测地震等

灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色预测一般有四种类型：1、数列预测；2、灾变预测；3、系统预测；4、拓扑预测。例：

我手上有2001-2007年的实际数值：57.55 、63.32 、76.4、71.31、85.55、 98.04、115.59，想通过灰色数学模型预测2008-2020年的预测值。

1.令序列X0（k）={57.55 、63.32 、76.4、71.31、85.55、 98.04、115.59}

2.通过一次累加得到X1（k）={57.55，57.55+63.32，57.55+63.32+76.4，……，57.55+63.32+……+115.59}

3.然后有矩阵B=[-Z1(2),1; -Z1(3),1;-Z1(4),1;-Z1(5),1;], Y=[X0（2）；X0（3）；X0（4）；X0（5）；] 其中Z1（k）= 0.5*（X1（k）+X1（k-1））;

4.待定系数矩阵[a;b]=inv(B'*B)*B'*Y,其中inv表示求逆，B'表示转置

5.得到X0（k+1）=（1-exp（a））*（X0（1）-b/a）*exp（-a*k） 取k=7，8，……，19可得预测值

以上只是计算过程，具体原理可以查阅相关论文。另外，可以考虑将X0（k）先做差分，对差分序列进行灰色预测后再还原。

125.73657 141.55648 159.36681 179.41801 201.99201 227.40621 411.28518

256.01799 463.03222 288.22963 521.28995 324.49407 365.32123

4.待定系数矩阵[a;b]=inv(B'*B)*B'*Y,其中inv表示求逆，B'表示转置

5.得到X0（k+1）=（1-exp（a））*（X0（1）-b/a）*exp（-a*k） 取k=7，8，……，19可得预测值

以上只是计算过程，具体原理可以查阅相关论文。另外，可以考虑将X0（k）先做差分，对差分序列进行灰色预测后再还原。

125.73657 141.55648 159.36681 179.41801 201.99201 227.40621 411.28518

256.01799 463.03222 288.22963 521.28995 324.49407 365.32123

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bjdg.html