大学物理 - 第三版 - （下）答案 - 赵近芳

习题六

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．

6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 V???NV?Niii

21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1 41方均根速率

V2??NV?Nii2i

21?102?4?202?6?103?8?402?2?502?21?4?6?8?2?25.6 m?s?1

6-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．

（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv

（4）

?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）?Nf(v)dv

0v1?v2解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.

(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数．

v?(5)?(6)?(4)

0?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．

0v2v1f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处? 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.

6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗? 答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化． 6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6

6-13 试说明下列各量的物理意义． （1）

13ikT （2）kT （3）kT 222

（4）

Mii3RT （5）RT （6）RT

Mmol222解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为

1 kT．23kT. 2ikT. 2MiRT.

Mmol2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为

(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为

iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的

23平均平动动能之总和为RT.

26-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?

(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能． 解：(1)由p?nkT,n?(2)由??(3)由np知分子数密度相同； kTMMmolp知气体质量密度不同； ?VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2i(4)由nkT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．

26-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

E?MiRT是温度的单值函数．

Mmol26-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能

3kT． 253kT，氦分子的平均动能kT． 2253(3)不相等，因为氢分子的内能?RT，氦分子的内能?RT．

226-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为

-42

2.0×10m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为

-1

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol)?

MRT 得 MmolpV M?Mmol

RT5汞的重度 dHg?1.33?10N?m?3

解：由理想气体状态方程pV?氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg 氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3

M?0.004? ?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg

6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．

题6-18图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)?av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，

(2)由归一化条件可得

2v0av2N dv?Nadv?Na??0v0?v03v01(3)可通过面积计算?N?a(2v0?1.5v0)?N

3(4) N个粒子平均速率

2?v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv

00v0N0v0v0N

v?1123211(av0?av0)?v0 N329v0(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

?v?0.5v0vdN?N1Nv0vdN ?0.5v0N1NNv0Nv0av2vf(v)dv?dv ???0.5v0.5v00NvN1N10332av01v0av21av017av0v?dv?(?)?

N1?0.5v0v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数

131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N 28427av07vv??0

6N9?1?16-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的

N1?分子数占总分子数的百分比．

v，则麦克斯韦速率分布函数可表示为 vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02 ?N42?u2由 ?ue?u 得

N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?解：令u?6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求

(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率v；(7)分子的平均动能ε．

解：(1)由气体状态方程p?nkT得

2p0.1?1.013?10524?3n???2.45?10 m?23kT1.38?10?300(2)氧分子的质量

Mmol0.03226 kg ??5.32?1023N06.02?10M(3)由气体状态方程pV?RT 得

Mmolm?Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13 kg?m?3

RT8.31?300(4)分子间的平均距离可近似计算

e?

13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

?E?Q?A?350?126?224 J

abd过程，系统作功A?42J

Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J 系统放热

7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得Q??E 吸热

Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1)2

3?8.31?(350?300)?623.252 J

对外作功 A?0

Q??E?(2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??Q?i?2R(T2?T1)2

5?8.31?(350?300)?1038.752吸热 J

?E??CV(T2?T1)

3?E??8.31?(350?300)?623.252内能增加 J

对外作功 A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J

7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的理想气体，整个容器以速度v运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)．

1mu2解：整个气体有序运动的能量为2，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变

化

m1CV?T?mu2M2 111?T?Mmolu2?Mmolu2(??1)2CV2R 3

?E?解：(1)等温压缩 T?300K 由p1V1?p2V2 求得体积

7-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮

气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功．

V2? 对外作功

p1V11??0.01?1?10?33p210 m

V2p?p1Vln1V1p2

5 ?1?1.013?10?0.01?ln0.01

??4.67?103J

57CV?R??2 5 (2)绝热压缩

A?VRTlnp1V1?1/?V2?()??p2由绝热方程 p1V1?p2V2

p1V1?1/?pV2?()?(1)?V1p2p2

11?()4?0.01?1.93?10?310m

???1????Tp?Tp1122由绝热方程 得

??1T1?p2T2??3001.4?(10)0.4??1p1热力学第一定律Q??E?A，Q?0

?1T2?579K

A??所以

MCV(T2?T1)Mmol

pV5MRTA??11R(T2?T1)RT12Mmol，

1.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?1033002 J

7-14 理想气体由初状态(p1,V1)经绝热膨胀至末状态(p2,V2)．试证过程中气体所作的功

pV?为

A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.

答：证明： 由绝热方程

pV?p1V1?p2V2?C 得

???p?p1V1?1V?

A??pdVV1V2

A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)v??1V2V1

???

p1V1V1??1[()?1]??1V2

p1V1?A??(V2???1?V1???1)??1又

p1V1?V1???1?p2V2?V2???1???1

pV?p2V2A?11??1所以

7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．

题7-15图

解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为

T02V0

TK?0V2V0

得过程方程

K?由状态方程 pV??RT 得

p??RTV

ab过程气体对外作功

A??A????2V0V02V0v02V0v0pdV

2V0RTRT0dV??VdVV0V2VV0RT0RTdV?02V021/2

7-16 某理想气体的过程方程为Vp解：气体作功

?a,a为常数，气体从V1膨胀到V2．求其所做的功．

A??pdVv1V2

A??V2V17-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示．试证其循环效率为

aaV2121dV?(?)?a(?)VV2V?11V1V2

22

答：等体过程

V1?1V2??1??p1?1p2

吸热

???CV(T2?T1)Q1

p1V2p2V1?)RR

Q??0

绝热过程 3??CV(Q1?Q1等压压缩过程

放热

???Cp(T2?T1)Q2

????CP(T2?T1)Q2?Q2p2V1p2V2?)RR

Q??1?2Q1 循环效率

?CP(??1?Cp(p2V1?p2V2)Q2?1?Q1CV(p1V2?p2V2)(?1/?2?1)(p1/p2?1)

??1??题7-17图 题7-19图

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

??1?解：(1)卡诺热机效率

T2T1

??1?300?7000

(2)低温热源温度不变时，若

??1?

300?80%T1

要求 T1?1500K，高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时，若

T2?8000

要求 T2?200K，低温热源温度需降低100K

??1?7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和C点的温度分别为T2和吗?

T3．求此循环效率．这是卡诺循环

Q2Q1 解：(1)热机效率

???CP(T2?T1) AB等压过程 Q1??1?Q1?吸热

MCP(TB?TA)Mmol

??vCP(T2?T1) CD等压过程 Q2M??Q2??Q2CP(TC?TD)Mmol放热

Q2TC?TDTC(1?TD/TC)??Q1TB?TATB(1?TA/TB)

根据绝热过程方程得到

??1????1??AD绝热过程 pATA?pDTD

??1??1??1??BC绝热过程 pBTB?pCTC

pA?pB又

pC?pDTDT?TCTB

??1?

(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间． 7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

T3T2

e? 7℃→27℃时，需作功

Q2T2?A静T1?T2

A1??173℃→27℃时，需作功

T?T2300?100A2?1Q2??1000?2000T2100J

T1?T2300?280Q2??1000?71.4T2280 J

(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同

样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

7-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态V1?20L,T1?300K经历三种不同的过程到达末态V2?40L,T2?300K． 图中1→2为等温线，1→4为绝热线，4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变．

题7-21图 解：1?2熵变

等温过程 dQ?dA, dA?pdV

pV?RT

S?S2dQ121??1T?T1?V2RT1VdV1V

S?S?RlnV221V?Rln2?5.76! J?K?1 1?2?3熵变

S3dQ2dQ2?S1??1T??3T

SCpdTT2CVdT2?S1??T3TT?1?T?CT?CT3Tpln3TVln21T3

1?3等压过程 p1?p3T3V2 T?1V1

p3p23?2?等体过程 T3T2

T2pT2T?2?p23p3 T3p1

S?S?CVp21Pln2?CVln2

V1p1 在1?2等温过程中 p1V1?p2V2

SV22?S1?CPln所以

VCV2V?RlnV2Vln?Rln211V1

1?4?2熵变

S4dQ2dQ2?S1??1T??4T

ST2CpdT2?S1?0??T?C214TplnTT?CTpln4T4

1?4绝热过程

V1V2T?1T3

T1V4??1T1V1?T4V4?T4V1??1

Vppp1V1??p4V4?,4?(1)1/??(1)1/?V1p4p2

在1?2等温过程中 p1V1?p2V2

??1??1V4ppV?(1)1/??(1)1/??(2)1/?V1p4p2V1

T1V?(2)T4V1??1?

S2?S1?CPlnT1??1V2?CPln?Rln2T4?V1

7-22 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)． 解：两个容器中的总熵变

TCCmoldTdTS?S0????molT1T2TT

TTTT2?Cmol(ln?ln)?CmollnT1T2T1T2

因为是两个相同体积的容器，故

Cmol(T?T2)?Cmol(T1?T)

T2?T12 得

(T2?T1)2S?S0?Cmolln4T1T2

7-23 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：

T?(1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大?

?1J?g??334(3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热)

解：(1)水的熵变

Q0.5?334?103?S1???612?1T273 J?K

(2)热源的熵变

(3)总熵变 熵增加

Q?0.5?334?103?S2????570?1T293 J?K

?S??S1??S2?612?570?42 J?K?1

习题八

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0q???3q3

qq?(32a)3

解得

(2)与三角形边长无关．

题8-1图 题

8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解: 如题8-2图示

解得

Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

q?2lsin?4??0mgtan?

4??0r，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强8-3 根据点电荷场强公式

→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

解:

E?q2?E?q4π?0r2?r08-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则

q224??dff0这两板之间有相互作用力，有人说=,又有人说，因为f=qE,

q2?S以f=0．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

E?q?0S，所

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把

E?合场强

q?0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个

q2f?q?E?2?S2?0S，这是两板间相互作用2?S00板的电场为，另一板受它的作用力

qq的电场力．

????p?ql8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为

E?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量?分别为

pcos?psin?Er=2??0r3, E?=4??0r3

???p证: 如题8-5所示，将分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量psin?．

∵ r??l ∴ 场点P在r方向场强分量

pcos?Er?2π?0r3

垂直于r方向，即?方向场强分量

E0?psin?4π?0r3

题8-5图 题8-6图

8-6 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m的正电荷．试求：

-1

(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强． 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

1?dx4π?0(a?x)2

l?2dxEP??dEP?l4π?0??2(a?x)2dEP???11[?]ll4π?0a?a??l2

2

π?0(4a2?l2)

?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

?

1?dx224π?x?d02 方向如题8-6图所示 (2)同理

?dE?0EQx由于对称性?l，即Q只有y分量，

1?dxd2dEQy?4π?0x2?d2x2?d222dEQ?∵

EQy??dEQy?ld2?4π?2?l2l?2dx(x?d)

22232?以??5.0?10?9?l2π?0l2?4d22

C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?

题8-7图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

?Rd?4π?0R2方向沿半径向外

?dEx?dEsin??sin?d?4π?0R则

dE?dEy?dEcos(???)?Ex???积分

0??sin?d??4π?0R2π?0R

Ey???0

??cos?d?4π?0R

E?Ex?∴

?2π?0R，方向沿x轴正向．

??cos?d??04π?0R

8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E．

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量

4-1

m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C)

解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

?2π?0r

e?Fe?eE?2π?0r 电子受力大小

e?v2?mr ∴ 2π?0rE?2π?0mv2???12.5?10?13C?m?1 e得

-1

8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

4∴ U?Ed?1.5?10V

??UE8-20 根据场强E与电势的关系???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；

(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题

8-20图)．

U?解: (1)点电荷

q4π?0r

题 8-20 图

??U?q?E??r0?r?20r?r4π?r0∴ 0为r方向单位矢量．

(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势 4π?0R2?x2

???U?qxE??i?i223/2?x?? 4π?R?x0∴

??(3)偶极子p?ql在r??l处的一点电势

U?qll(r?cos?)(1?cos?)22?Upcos?Er???3?r2π?r0∴

E???1?Upsin??r??4π?0r3

U?q[4π?01?1]?qlcos?4π?0r2

8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．

?2，证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，

?3，?4

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

???E?dS?(?2??3)?S?0s

∴ ?2?3 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

??0?1?2?3?4????02?02?02?02?0

??0

又∵ ?2?3∴ ?1??4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0

2

mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问

-7

B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?

解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

题8-22图

(1)∵ ∴

UAC?UAB，即

EACdAC?EABdAB

?1EACdAB???2?EABdAC∴ 2

q?AS 且 ?1+?2q2q?2?A,?1?A3S 3S 得

2qC???1S??qA??2?10?7C 3而

qB???2S??1?10?7C

UA?EACdAC?(2)

?1dAC?2.3?103?0V

8-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计

算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．

解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

题8-23图

????U??E?dr??R2R2(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：

qdrq?4π?0r24π?0R

?04π?0R24π?0R2

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为

U?q?q?q?q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2

q??得 外球壳上电势

R1qR2

UB?q'4π?0R2?q'4π?0R2??q?q'?R1?R2?q?24π?0R24π?0R2

8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势

d?3R处有

UO?0

8-24图

由电势叠加原理有：

q'q??0UO?4π?0R4π?03R

q3得 q???

8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

Fq2F0?24π?r0解: 由题意知

(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

qq??2,

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3q???q4

∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

32qq'q\38F1???F04π?0r24π?0r28

2q(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为3.

22qq4F2?332?F04π?0r9 ∴ 小球1、2间的作用力

*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势

UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面

积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．

?2，解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为?1，?3，?4,?5,?6如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB?U可得以下6个方程

题8-26图

?0UqA1??????CU?20?1SSd??????q4?3S??????qB???0U6?5Sd?????03?2??4??5?0???1??2??3??4??5??6

q?1??6?2S 解得

?Uq?2???3?0?d2S ?Uq?4???5?0?d2S

?UqE2?4???0d2?0S 所以CB间电场

UC?UCB?E2d1qd?(U?)222?0S

UUUC?2，若C片不带电，显然2 注意：因为C片带电，所以

8-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常

UC?数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理

S???D?dS??q

(1)介质内(R1?r?R2)场强

???Qr?QrD?,E内?34πr4π?0?rr3;

介质外(r?R2)场强

??Qr?QrD?,E外?4πr34π?0r3 U??? (2)介质外(r?R2)电势

r??E外?dr?Q4π?0r

U??

?r?????E内?dr??E外?drr介质内(R1?r?R2)电势

题9-6图

(1)通过abcd面积S1的磁通是 (2)通过befc面积S2的磁通量 (3)通过aefd面积S3的磁通量

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

???2?B?S2?0

??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰?0.24Wb)

5?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

?AB 产生 B1?0

?ICD 产生B2?0，方向垂直向里

12R?I?I3CD 段产生 B3?0(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里

R2?R24?2?I3?∴B0?B1?B2?B3?0(1??)，方向?向里．

2?R269-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．

题9-7图

?解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里

?0I1?0I2BA???1.2?10?4T

2?(0.1?0.05)2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

?0I?I则 ?2?0

2?(r?0.1)2?r

题9-8图

解得 r?0.1 m

题9-9图

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度． 解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

?I1产生B1方向?纸面向外

I1电阻R2?. ??I2电阻R12???B1?I2产生B2方向?纸面向里

?0I2?B2?

2R2?BI(2???)?1 ∴ 1?1B2I2????有 B0?B1?B2?0

9-10 在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

?0I1(2???)，

2R2?? 题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取

?I坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI?dl，在轴上P点产生dB与R?R垂直，大小为

∴ Bx???2??2IRd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R?0I?Icos?d??0I???5?[sin?sin(?)]??6.37?10 T 2222?R2?R22?R?0By??(??2??2?0Isin?d?)?0

2?2R

∴ B?6.37?10?5i T

9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10-8cm的轨道上作匀速圆周运动，

速率v=2.2×10cm·s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．

8

-1

??解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

????0ev?aB0? 34?a如题9-11图，方向垂直向里，大小为

B0???0ev?13 T 24?a电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

Pm?e2eva?a??9.2?10?24 A?m2 T2题9-11图 题9-12图

9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度； (2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,l=25cm)． 解：(1) BA??0I1dd2?()2?()22(2)取面元dS?ldr

?1I1r1?r2?I?Il?Il1?Il???[01?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?6Wb

r12?r2?(d?r)2?2?3?9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13

图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率???0.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

??0I2?4?10?5 T方向?纸面向外

??B?dl??0?I

lIr2B2?r??02

R∴ B??0Ir 22?R

题 9-13 图 磁通量 ?m?B?dS?(s)????R0?0Ir?0I?6dr??10 Wb 24?2?R?9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安

培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

???解： ?B?dl?8?0

a??B?ba?dl??8?0 ?B?dl?0 ?c?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

题9-14图题9-15图

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率???0，试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：

r2?a2 B? 22r2?(b?a)解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

?0Il?I?(?r2??a)2I 22?b??a?0I(r2?a2)∴ B?

2?r(b2?a2)9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小

??解： ?B?dl??0?I

LIr2(1)r?a B2?r??02

RB?(2) a?r?b B2?r??0I

?0Ir 22?R?0I 2?rB?r2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I22c?b?0I(c2?r2)B?

2?r(c2?b2)(4)r?c B2?r?0

B?0

题9-16图题9-17图

9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2?? 222?a2?aR?r?0Ir2∴ B0?

2?a(R2?r2)(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2

2?aR2?r22?(R2?r2)?0Ia??∴ B0 222?(R?r)题9-18图

9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力． 解： FAB???AB??I2dl?B

FAB?I2a?FAC?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d??C??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

A?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

FAC??d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?dFBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?

dr

cos45?

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