函数中的任意和存在性问题(整理)
更新时间:2024-01-09 16:13:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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函数中的恒成立、恰成立和能成立问题
教学目标: 结合具体函数,讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法
过程与方法 通过研究具体函数及其图象,将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题:
已知函数f(x)?2k2x?k,x?[0,1],函数g(x)?3x2?2(k2?k?1)x?5,x?[?1,0], 当k?6时,对任意x1?[0,1],是否存在x2?[?1,0], g(x2)?f(x1)成立.若k?2呢? 变式1:对任意x1?[0,1],存在x2?[?1,0], g(x2)?f(x1)成立,求k的取值范围.
f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.
变式2:存在x1?[0,1] x2?[?1,0],使得g(x2)?f(x1)成立,求k的取值范围.
g(x)的值域与f(x)的值域的交集非空. 变式3:对任意x1?[0,1],存在x2?[?1,0],使得g(x2)?f(x1)成立,求k的取值范围.
gmin(x)?fmin(x)
《小结》: 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系,不等关系转化为函数的最值大小.
x2?2x?a,对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,例1:(1)已知f(x)?求实数a的取值范围。 xx2?2x?a??)(2)已知f(x)?,对任意x?[1,??),f(x)的值域是[0,,求实数a的取值范围。
xx2?2x?a?0恒成立,则此问题等分析:本题第(1)问是一个恒成立问题,由于x?1,f(x)?x2价于?(x)?x?2x?a?0(x?1)恒成立,又等价于x?1时?(x)的最小值?0恒成立.
由于
?(x)?(x?1)2?a?1在x?1 时为增函数,所以?min(x)??(1)?a?3,于是a?3?0,
a??3.
第(2)问是一个恰成立问题,即当x?1时,f(x)的值域恰为[0,??),与(1)不同的是,(1)是x?1时,f(x)?0恒成立,因此允许在x?1时,f(x)的取值为[2,??),[3,??),------等等.
而f(x)的值域为[0,??),则当x?1时,f(x)只能取[0,??),而不能是其他.
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1
ax2?2x?aa?x??2,当a?0时,由于x?1,f(x)?x??2?3与其值域为 ?f(x)?xxx[0,??)矛盾,所以有a?0.
a都是[1,??)上的增函数,因而f(x)也是[1,??)上的增函数.于是xaf(x)在x?1时的最小值为f(1),令f(1)?0,即1??2?0,得a??3.
1 注意到当a?0时,函数y?x,y?小结:1、解恒成立题的基本思路是:若x?D,f(x)?A在D上恒成立,等价于f(x)在D上的最小值
fmin(x)?A成立,若f(x)?B在D上恒成立,则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B成立.
2、解决恰成立问题的的基本思路是:若x?D,f(x)?A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)?A,若x?D,f(x)?B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B. 恰成立问题: 若不等式若不等式
在区间在区间
上恰成立, 则等价于不等式上恰成立, 则等价于不等式
的解集为的解集为
; .
例2:函数f?x???x2?x?a2?a (1)定义域为区间[?1,2],求实数a的取值范围. (2)在区间[?1,2]上有意义,求实数a的取值范围;
分析:(1)由题意知不等式?x?x?a?a?0的解集为[-1,2],
即x?x?a?a?0的解集为[-1,2],则x?x?a?a?0的两根为-1,2则a?a?2?a?1或a??2 (2)由题意知,不等式?x?x?a?a?0在[-1,2]上恒成立
即:a?a?x?x,x?[?1,2] 恒成立?a2?a?(x2?x)max,x?[?1,2]
2222222222211?x2?x?(x?)2??x??1或x?2时,(x2?x)max?2?a2?a?2 ?a?1或a??2
24 能成立问题(存在): 若在区间若在区间
上存在实数使不等式上存在实数使不等式
成立,则等价于在区间成立,则等价于在区间在实数集
上上的
; .
练习1.如已知不等式
上的解集不是空集,求实数的取值范围______
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2
练习2. 已知两函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,k为实数。 (Ⅰ)对任意的x?[?3,3],有f(x)?g(x)成立,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)对任意的x1?[?3,3],x2?[?3,3],有f(x1)?g(x2)成立,求实数k的取值范围; (Ⅲ)对任意的x2?[?3,3],总存在x1?[?3,3],有f(x1)?g(x2)成立,求实数k的取值范围。
练习3.已知函数f(x)?mx?3,g(x)?x2?2x?m 1)求证:函数f(x)?g(x)必有零点 2)设函数G(x)?f(x)?g(x)?1
若|G(x)|在??1,0?上是减函数,求实数m的取值范围; 第 页 共 3 页
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