高二数学质量检测

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数学 (理科) 2015.3

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1．抛物线24

x y

=的准线方程为

A．1

x=-B．1

=

x C．1-

=

y D．1

=

y

2．“ln1

x>”是“2

x>”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．设(2,1,3)

a x

=，(1,2,9)

b y

=-，若a与b

A

．1

x=，1

y=B．

1

2

x=，

1

2

y=-

C．

1

6

x=，

3

2

y=-D．

1

6

x=-，

3

2

y=

4．已知一几何体的三视图如右，则此几何体的的体积为

A．80πB．20π

C．

80

3

π

D．

20

3

π

5．已知圆的方程为0

8

6

2

2

2=

+

+

-

+y

x

y

x，那么下列直线中经过圆心的直线方程为A．0

1

2=

+

-y

x B．0

1

2=

+

+y

x

C．0

1

2=

-

-y

x D．0

1

2=

-

+y

x

6．,m n是不同的直线，,αβ是不重合的平面，下列命题是真命题的是

A. 若m∥α，m∥n，则n∥α

B. 若,,

m n

αβ

^^则n m

^

C. 若,

mα

^m∥β，则αβ

^D．若αβ

^，,

mα

Ì则mβ

^

7．命题“0

>

?x，都有0

2≤

-x

x”的否定是

A. 0

>

?x，使得0

2≤

-x

x B. 0

>

?x，使得0

2>

-x

x

C. 0

>

?x，都有0

2>

-x

x D. 0

≤

?x，都有0

2>

-x

x

8.已知双曲线22

:22

C x y

-=，若过点(1,2)

P直线l与C没有公共点，则l斜率的取值范围为A．(,

-∞B．(C．

3

)

2

D．

3

(,)

2

+∞

理科第1 页共9 页

理科 第 2 页 共 9 页 二、填空题:本大共6小题 ,每小题5分，满分30分）

9. 已知正方体ABCD D C B A -1111的内切球的体积为3

4π，则这个正方体的外接球的表面积为 .

10. 命题“若,a b >则11a b ->-”的逆否命题．．．．

是 . 11．已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若12//l l ，则实数a 的值 是 ．

12

．已知向量(1, 2)=a

，(, 1)x =--b ，若(2)+⊥a b b ，则x = ．

13．正方体1111ABCD A BC D -中， E 、F 分别是1DD 、BD 的中点， 则直线1AD 与EF 所成的角余弦值是________________ 14. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本题满分12分）

已知命题P ：对[1,2],x ∈不等式2x k ≥恒成立.命题Q ：关于x 的方程02=+-k x x 有实数根.如果命题“P ?”为假，命题“Q P ∧”为假，求k 的取值范围.

C 1

D 1

B 1

A 1 E

F B C

D

A

理科 第 3 页 共 9 页 16．（本题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，以(1,2)C -

为圆心的圆与直线10x y ++=相切．

（1）求圆C 的方程；

（2）求过点(3,4)且截圆C

所得的弦长为

17．（本题满分14分）

三棱柱ABC C B A -111中，侧棱1AA ⊥底面ABC .CB AC ⊥，D 为AB 中点，1=CB ，3=AC

，1A A =（I ）求证：//1BC 平面CD A 1；

（II ）求三棱锥11C A DC -的体积.

18．（本题满分14分） 已知()0,3-A ，()0,3B ，动点P 满足PB PA 2=. （I ）若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程； （II ）若点Q 在直线03:1=++y x l 上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值，并求此时直线2l 的方程.

1C 1B 1A A B

C 第17题图

理科 第 4 页 共 9 页 19．（本题满分14分）

如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF 是矩形，且二面角C AB F --是直二面角，AF a =，G 是EF 的中点.

（Ⅰ）求证：平面AGC ⊥平面BGC ； （Ⅱ）求GB 与平面AGC 所成角正弦值的大小；

（Ⅲ）求二面角B AC G --的余弦值的大小.

20．（本题满分14分）

已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22

221(0)y x a b a b

+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3

MF =. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程.

（Ⅱ）已知(,0),(0,)A b B a ，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆

C 相交于E 、F 两点．求四边形AEBF 面积的最大值．

第20题图 G A B C D E F

第19题图

理科 第 5 页 共 9 页

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数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分）

11．12π 12．若11-≤-b a ，则b a ≤. 13．3450x y ++= 14．1 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）

解:因为命题“P ?”为假，所以命题P 是真命题. …………………………………………2分 又因为命题“Q P ∧”为假，所以命题Q 是假命题. …………………………………………4分 要使对任意[1,2],x ∈不等式2

x k ≥恒成立，只需2min ()1k x ≤=， …………………………6分 所以命题P 是真命题的条件是：1k ≤. …………………………7分

关于x 的方程02

=+-k x x 有实数根，则只需041≥-=?k ，即4

1

≤

k . 命题Q 是真命题的条件是：41≤k ，所以命题Q 是假命题的条件是4

1

>k . …………………10分

综上所述，使命题“P ?”为假，命题“Q P ∧”为假的条件是k 的取值范围为]1,4

1

(.……12分

16．（本题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接1AC ，设E C A AC =11 ，连接DE ……………………………… 1分 ∵ABC C B A -111是三棱柱，侧棱1AA ⊥底面ABC .

且31==AA AC

∴C C AA 11是正方形，E 是1AC 中点，

又D 为AB 中点 ∴ED ∥1BC ……………………… 4分 又?ED 平面CD A 1，?1BC 平面CD A 1

∴//1BC 平面CD A 1……………………………… 5分 （II ）在平面ABC 中过点D 作AC 的垂线，交AC 于H .由于

底面ABC ⊥面11ACC A ，且AC 为两平面交线，∴DH ⊥面11ACC A .…………………………… 7分

△ABC 中，2AB ==，所以30BAC ∠=o

，且1AD =.…………………………… 8分

在△ADC 中，1

sin 302HD AD ==o

…………………………… 9分 由于13

2

AC C S =

V ，所以1111131

33224

D AC C AC C V DH S -=??=??=V …………………………… 11分 1C

1B

1A

A

B

C

H

E

理科 第 6 页 共 9 页 ∴由等积法可得11114

C A DC

D AC C V V --==

. …………………………… 12分 17．（本题满分14分） 解: （I ）设点P 的坐标为()y x ,， …………… 1 分

则 ()()222

2323y x y x +-=++， …………… 3分 化简可得()16522=+-y x 即为所求 …………… 5分

（II ）曲线C 是以点()0,5为圆心，4为半径的圆，如图

则直线2l 是此圆的切线，连接CQ ，则

162

22-=-=CQ CM CQ QM …………… 7分 当1l CQ ⊥时，CQ 取最小值 …………… 8分

CQ =2423

5=+ …………… 10分（公式、结果各一分） 此时QM 的最小值为41632=-， …………… 12分 这样的直线2l 有两条，设满足条件的两个公共点为12,M M ，

易证四边形12M CM Q 是正方形 ∴2l 的方程是1=x 或4-=y …………… 14分

16．（本题满分12分）

解析：（1）设圆的方程是222(1)(2)x y r -++=， -------------------1分

依题意得，所求圆的半径，3r =

=， -------------------3分 ∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++=． -------------------4分

（2）∵圆方程是22(1)(2)9x y -++=，

当斜率存在时，设直线的斜率为k ，则直线方程为4(3)y k x -=-， -------------------5分 即430kx y k -+-=，

由圆心(1,2)C -

到直线的距离2d ==，

-------------------6分

1

=，解得

4

3

k=，-------------------8分∴直线方程为

4

4(3)

3

y x

-=-，即430

x y

-=，-------------------9分∴当斜率不存在时，也符合题意，即所求的直线方程是3

x=．-------------------11分∴所求的直线方程为3

x=和430

x y

-=．-------------------12分

19．（本题满分14分）

证明:（Ⅰ）方法一：∵正方形ABCD，∴.

AB

CB⊥

又二面角F

AB

C-

-是直二面角，

∴CB⊥平面ABEF.

∵AG?平面ABEF，

∴CB⊥AG. ……………………2分

又a

AD2

=，a

AF=，ABEF是矩形，G是EF的中点，

∴BG

AG==a

2，a

AB2

=，2

AB=2

2BG

AG+，

∴AG⊥.

BG又CB BG

=B，……………………4分∴AG⊥平面CBG，

而AG?平面AGC，故平面AGC⊥平面.

BGC……………………5分（坐标法）：如图，以A为原点建立直角坐标系A xyz

-，

则A（0，0，0），B（0，2a，0），

C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）.

（Ⅰ）AG

uuu r

=（a，a，0），BG

uu u r

=（a，a

-，0）,

BC

uu u r

=（0，0，2a），

∴AG

uuu r

·BG

uu u r

=（a，a，0）·（a，a

-，0）=0, AG

uuu r

·BC

uu u r

=（a，a，0）·（0，0，2a）= 0.

∴AG⊥BG，AG⊥BC，

∴AG⊥平面BCG，又AG?平面ACG，故平面ACG⊥平面BCG. ……5分（Ⅱ）设GB与平面AGC所成角为θ.

由题意可得AG

uuu r

=（a，a，0），AC

uuu r

=（0，2a，2 a），BG

uu u r

=（a，a

-，0）.

设平面AGC的一个法向量为n=（x，y，1），

由

001

(1,1,1)

2201

AG ax ay x

ay a y

AC

??=+==

??

?

???=-

???

+==-

?=??

??

n

n

n

.

理科第7 页共9 页

sin

BG

BG

θ

?

∴===

?

n

n

∴GB与平面AGC………………………………9分

（Ⅲ）因n=(1,1,1)

-是平面AGC的一个法向量，

又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的一个法向量AF

u u u r

=（a，0，0），

∴设n与

AF

u u u r

的夹角为α，得

||

cos

||||

n AF

AF

α

?

===

?n

，

∴二面角G

AC

B-

-的大小的余弦值为

3

3

. ………………………………14分20．（本题满分14分）

(Ⅰ)方法一、由2

2

:4

C x y

=知

1

(0,1)

F,设

000

(,)(0)

M x y x<, …………………………………1分

因M在抛物线

2

C上,故2

00

4

x y

=…①

又

1

5

||

3

MF=,则

5

1

3

y+=……②, 由①②解得

x=,

2

3

y=.……………………………4分

椭圆

1

C的两个焦点

1

(0,1)

F

,

2

(0,1)

F-,点M椭圆上,

由椭圆定义得

12

2||||4

a MF MF

=+……6分∴2

a=,又1

c=,∴2223

b a c

=-=, ∴椭圆

1

C的方程为

22

1

43

y x

+=. …………………………7分

方法二、由2

2

:4

C x y

=知

1

(0,1)

F,设

000

(,)(0)

M x y x<,因M在抛物线

2

C上,故2

00

4

x y

=…①

又

1

5

||

3

MF=,则

5

1

3

y+=……②, 由①②解得

03

x=-

,

2

3

y=. ……………………………4分而点M椭圆上,故有

22

22

2

()

331

a b

+=即

22

48

1

93

a b

+=…③, 又1

c=,则221

b a

=-…④由③④可解得24

a=,23

b=,∴椭圆

1

C的方程为

22

1

43

y x

+=.………………………………………7分

（Ⅱ）由题，直线AB

1

2

y

+=，即20

x-=.

设

1122

(,),(,)

E x kx

F x kx，其中

12

x x

<.

将y kx

=代入

22

1

43

y x

+=中，可得2

2

12

34

x

k

=

+

，即

21

x x

=-=……………………………………… 9分

点E到直线AB的距离为

1

d==

理科第8 页共9 页

理科 第 9 页 共 9 页 同理，可得点F 到直线AB

的距离为2d ==……… 11分

又AB ==AEBF

面积121()2S AB d d =?+=.………… 12分

从而22

2212(34)12(1)12(11)243434k S k k ++==+≤?+=++，

当且仅当2=

，即k =.

此时四边形面积的最大值为max S =………… 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bj7j.html