关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起

贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林

摘 要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。

关键词：一题多解；多题一解；立体几何

一、一题多解

例1 （安徽理17）如图，直，点

在线段

上，

为多面体，平面△OAB，,△

，△

与平面，△

垂都是

正三角形。

（Ⅰ）证明直线

∥

；

（II）求棱锥F—OBED的体积。

分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。

（I）解法一（传统法）： 证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

∥，OG=OD=2，

同理，设

又由于G和

是线段DA与线段FC延长线的交点，有

都在线段DA的延长线上，所以G与重合.

在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF

的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

解法二（向量法）：过点F作面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.

，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平为轴正向，

为y轴正向，

为

由条件知

则有 所以

即得BC∥EF.

（II）略 评注：向量法和传统法有时可以转换着使用，主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线，进而建立直角坐标系。

例2 （湖北理18）如图，已知正三棱柱中点，动点

在侧棱

上，且不与点

重合．

的各棱长都是4，

是

的

（Ⅰ）当

（Ⅱ）设二面角

的大小为，求

的最小值．

=1时，求证：

⊥

；

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

解法1：过E作

于N，连结EF。

（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，

底面ABC

又度面 所以 在

中，

=1，

侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，

侧面A，C=AC，且

底面ABC，

侧面A1C。

则由 又

由三垂线定理知

故

，得NF//AC1，

。

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。

由（I）知 所以 设 在 在

中，

是二面角C—AF—E的平面角，即

，

侧面A1C，根据三垂线定理得

故

又

故当

时，达到最小值；

，此时F与C1重合。

解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是 则 故

（II）设

平面AEF的一个法向量为

则由（I）得F（0，4，

，于是由

可得

）

，

，

取

又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为

，

于是由

为锐角可得

，

所以

，

由

，得，即

故当，即点F与点C1重合时，取得最小值

从上述两个例子可以看出，立体几何某一类解答题解法有多种，通常需要平时多总结，并比较何种方法更简捷才能在考试时得心应手。一般而言，向量法解决问题时，容易着手，但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何，高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。

二、多题一解

高考很大一部分题都可以用向量法或转化后用向量法来解决。

１.直接用向量法

对于三条直线已经两两相互垂直的立体几何大题，我们可以直接用向量法进行解决。

例3 （湖南理19）

如图5，在圆锥的中点．

（Ⅰ）证明：平面

（Ⅱ）求二面角

的余弦值。 平面

;

中，已知

=

，⊙O的直径

,

是

的中点，为

分析; OB、OC、OP所在直线相互垂直，可以直接建系

解：（向量法）（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则

，

设

是平面POD的一个法向量，

则由 所以 设

，得

是平面PAC的一个法向量，

则由

，

得 所以 得

。

因为 所以

从而平面

平面PAC。

（II）略

２.需要转化后才能建系

如果没有两两相互垂直的三直线，我们可以想办法找出后再解决相关题目。主要是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两两相互垂直的三条直线，然后才建立直角坐标系。

例4 （广东理18）如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

且∠DAB=60，

E,F分别是BC,PC的中点．

（1） 证明：AD

平面DEF;

,PB=2,

（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．

分析：本题需要利用线面垂直进行转换，才好建系。

解：（1）取AD中点为G，因为 又

为等边三角形，因此，

，

从而

延长BG到O且使得PO 所以PO

平面ABCD。

OB，又

平面PBG，PO

AD，

平面PBG。

以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为

轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设

由于 得

平面DEF。

（2）

取平面ABD的法向量

设平面PAD的法向量

由

取

例5 全国大纲理19）

如图，四棱锥

中，

．

,

，侧面

为等边三角形，

（Ⅰ）证明： （Ⅱ）求

与平面

所成角的大小

;

分析：本题直接建系不能把S的坐标写出，故需一定的转换。 解：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设 （I）

，

，

由

故x=1。 由 又由

得

即

于是

，

故 所以

（II）设平面SBC的法向量 则

，

平面SAB。

又

故 取p=2得

。

故AB与平面SBC所成的角为

从上面可以看出，立体几何多数题型都可转化为用一种方法求解。

综上所述，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，把思维发散。同时要学会多题一解把无数的题归类，走出题海的怪圈。只有这样，我们的学习才会轻松快乐

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