07879离散数学-屈婉玲(代数结构)5.2-3

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5.2 代数系统及其子代数,积代数 代数系统及其子代数,代数系统定义 同类型与同种的代数系统 子代数 积代数

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代数系统定义与实例定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, 组成的系统称为一个代数系统 简称代 代数系统, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统 简称代 数,记做 V=<S, f1, f2, … , fk>. S 称为代数系统的载体, S 和运算叫做代数系 称为代数系统的载体 载体, 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 统的成分 有的代数系统定义指定了 中的特殊 元素,称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 元素,称为代数常数 例如二元运算的单位元 有时也将代数常数作为系统的成分. 有时也将代数常数作为系统的成分2

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实例<N,+>, <Z,+,>, <R,+,>是代数系统, 是代数系统, 是代数系统 + 和 分别表示普通加法和乘法 分别表示普通加法和乘法. <Mn(R),+,>是代数系统, 是代数系统, 是代数系统 + 和 分别表示 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法 分别表示n 实矩阵的加法和乘法. <Zn,⊕,>是代数系统,Zn={0, 1, … , n-1}, 是代数系统, ⊕ 是代数系统 , 的加法和乘法, ⊕ 和 分别表示模 n 的加法和乘法,x,y∈Zn, ∈ x⊕y = (x+y) mod n,xy = (xy) mod n ⊕ + , <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统, 也是代数系统, ∪ 为并和交, 为绝对补 ∪和∩为并和交,~为绝对补 为并和交3

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同类型与同种代数系统如果两个代数系统中运算的个数相同, 定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同, 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 则称它们是 同类型的 代数系统. 代数系统 (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同, 代数系统. 也相同,则称为 同种的 代数系统 例1 V1 = <R, +, , 0, 1>, V2 = <Mn(R), +, , θ, E>, 矩阵, θ 为 n 阶全 0 矩阵,E 为 n 阶单位矩阵 V3 = <P(B), ∪, ∩, , B>4

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同类型与同种代数系统( 同类型与同种代数系统(续)V1 + 可交换 可结合 可交换, 可交换 可结合 可交换, + 满足消去律 满足消去律 对+可分配 可分配 + 对 不可分配 +与 没有吸收律 与 V2 + 可交换 可结合 可交换, 可交换 可结合 可交换, + 满足消去律 满足消去律 对+可分配 可分配 + 对 不可分配 +与 没有吸收律 与 V3 ∪可交换, 可结合 可交换 ∩可交换 可结合 可交换, 可交换 ∪不满足消去律 ∩不满足消去律 不满足消去律 ∩对∪可分配 对 ∪对∩可分配 可分配 ∪与∩满足吸收律 满足吸收律

V1, V2, V3是同类型的代数系统 V1, V2是同种的代数系统 V1, V2与V3不是同种的代数系统5

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子代数是代数系统, 定义 设V=<S, f1, f2, … , fk> 是代数系统,B 是 S 都是封闭的, 的非空子集 ,如果 B 对 f1, f2,

… , fk 都是封闭的, 含有相同的代数常数, 且 B 和 S 含有相同的代数常数,则称 <B, f1, f2, … , fk> 是 V 的子代数系统,简称 子代数 有时 的子代数系统, 子代数. 将子代数系统简记为 B. 实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>的子代数 N{0}是<Z,+> 是 的子代数. 是 的子代数 的子代数,但不是<Z,+ 的子代数 的子代数,但不是 +,0>的子代数 说明: 说明: 子代数和原代数是同种的代数系统 其子代数一定存在. 对于任何代数系统 V ,其子代数一定存在6

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关于子代数的术语就是V 本身. 如果V 最大的子代数 就是 本身 如果 中所有代数常数 中所有运算封闭, 构成集合 B,且 B 对V 中所有运算封闭,则 B 就 , 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 构成了 最小的子代数 最大和最小子代数称为 平凡的子代数. 的真子集, 的平凡的子代数 若 B 是 S 的真子集,则 B 构成 的子代数称为V 的子代数称为 的真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>,令 nZ = { nz | z∈Z},n 为自然 , ∈ , 的子代数, 数,则 nZ 是 V 的子代数 当 n = 1 和 0 时,nZ 是 V 的平凡的子代数,其他的都是 V 的非平凡的真子 的平凡的子代数, 代数. 代数7

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积代数是代数系统, 定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统,其中 o 和 是代数系统 是二元运算. 和 是二元运算 V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1×S2,>, ∈ <x1,y1>, <x2,y2>∈S1×S2 , <x1,y1> <x2,y2>=<x1ox2, y1y2> 积代数< × 例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), >, 积代数 Z×M2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>∈Z×M2(R) , ∈ × <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1M2>1 0 2 1 2 1 < 5, 1 1 > < 2, 0 1 >=< 3, 2 0 > 8

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积代数的性质是代数系统, 定理 设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统,其中 o 和 和 是代数系统 是二元运算. 是二元运算 V1 与 V2 的积代数是 V=<S1×S2,> (1) 若 o 和 运算是可交换的,那么 运算也是可交换的 运算是可交换的,那么 (2) 若 o 和 运算是可结合的,那么 运算也是可结合的 运算是可结合的,那么 (3) 若 o 和 运算是幂等的,那么 运算也是幂等的 运算是幂等的,那么 (4) 若 o 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2,那么 运算 那么 也具有单位元<e 也具有单位元 1,e2> (5) 若 o 和 运算分别具有零元 θ1 和 θ2,那么 运算 那么 也具有零元< 也具有零元 θ1, θ2> (6) 若 x 关于 o 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1,那 关于 么<x,y>关于 运算也具有逆元 1,y1> 关于 运算也具有逆元<x9

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5.3 代数系统的同态与同构同态映射的定义 同态映射的分类单同态,满同态,同构 单同态,满同态, 自同态

同态映射的性质

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同态映射的定义是代数系统, 定义 设 V1=<S1,>和 V2=<S2,>是代数系统,其中 和 是代数系统 是二元运算. 和 是二元运算 f: S1→S2, 且x,y∈S1, f (xy) = ∈ f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态 同态

映射,简称同态 同态.

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更广泛的同态映射定义是代数系统, 定义 设 V1=<S1,,>和 V2=<S2,, >是代数系统,其 和 是代数系统 是二元运算. 中 和 是二元运算 f: S1→S2, 且x,y∈S1 ∈ f (x y) = f(x) f(y) , f (x y) = f(x) f(y) 同态映射,简称同态 同态. 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态 是代数系统, 设 V1=<S1, ,, >和 V2=<S2,, , >是代数系统, 和 是代数系统 其中 是二元运算. 是一元运算, 其中 和 是二元运算 和 是一元运算, f: S1→S2, 且x,y∈S1 ∈ f (xy)=f(x)f(y), f (xy)=f(x)f(y), f ( x)=f(x) 同态映射,简称同态 同态. 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态12

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例题例1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是 的自同态? 判断下面的哪些函数是V 的自同态? (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1 不是自同态. 解 (2) , (5), (6) 不是自同态 (1) 是同态, f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) 是同态, (3) 是同态, f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y) 是同态, (4) 是同态, f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y) 是同态, 13

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特殊同态映射的分类同态映射如果是单射,则称为单同态; 同态映射如果是单射,则称为单同态; 单同态 如果是满射, 满同态, 如果是满射,则称为 满同态,这时称 V2 是 V1 的同态像,记作 V1V2; 同态像, 如果是双射, 同构, 如果是双射,则称为 同构,也称代数系统 V1 同构于V 同构于 2,记作 V1V2 . 自同态. 对于代数系统 V,它到自身的同态称为自同态 ,它到自身的同态称为自同态 类似地可以定义单自同态,满自同态和 类似地可以定义单自同态,满自同态和自同构. 单自同态14

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同态映射的实例例2 设V=<Z,+>,a∈Z,令 , ∈ , fa:Z→Z,fa(x)=ax → , 那么 fa是V的自同态 的自同态. 的自同态 因为 ∈ , 因为x,y∈Z,有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 为零同态; 当 a = 0 时称 f0为零同态; 为自同构; 当a=±1时,称 fa为自同构; ± 时 都是单自同态. 除此之外其他的 fa 都是单自同态15

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同态映射的实例( 同态映射的实例(续)例3 设V1=<Q,+>, V2= <Q*,>,其中 ,其中Q*= Q{0},令 , f :Q→Q*, f(x)=ex → 的同态映射,因为 ∈ 有 那么 f 是V1到V2的同态映射,因为x, y∈Q有 f(x+y) = ex+y = exey = f(x) f(y). 是单同态. 不难看出 f 是单同态

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同态映射的实例( 同态映射的实例(续)例4 V1=<Z,+>,V2=<Zn,⊕ >,Zn={0,1, … , n-1}, , ⊕ , ⊕是模 n 加. 令 f:Z→Zn,f(x) = (x)mod n : 的满同态. 则 f 是V1到 V2 的满同态 x, y∈Z有 ∈ 有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n ⊕ (y)mod n = f(x) ⊕ f(y)17

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同态映射的实例( 同态映射的实例(续)的自同态, 例5 设 V=<Zn,⊕>,可以证明恰有 n 个G 的自同态, ⊕ , fp:Zn→Zn, fp (x) = (px)mod n,p = 0,1, … , n1 , 例如 n = 6, 那么 f0为零同态; 为零同态; f1与 f5为同构; 为同构; f2 与 f4的同态像是 0, 2, 4 }; 的同

态像是{ ; f3 的同态像是 0, 3 }. 的同态像是{18

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同态映射保持运算的算律是代数系统. 上的二元运算, 是 设V1,V2是代数系统 o,是V1上的二元运算,o','是 V2上对应的二元运算,如果 f: V1→V2是满同态, 上对应的二元运算, 是满同态, : 那么 (1)若o运算是可交换的(可结合,幂等的),则o'运 若 运算是可交换的(可结合,幂等的), ),则 运 算也是可交换的(可结合,幂等的) 算也是可交换的(可结合,幂等的). (2) 若o运算对运算是可分配的,则o'运算对'运 运算对运算是可分配的, 运算对 运算对 算也是可分配的; 运算是可吸收的, 算也是可分配的;若o 和运算是可吸收的,则 o' 运算也是可吸收的. 和'运算也是可吸收的.19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bi5q.html