西工大2003年硕士研究生入学有限元试题A-有限元

在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征？

在平面四结点单元中，位移模式能否取为： （1）

u(x,y)??1??2x2??3xy??4y2v(x,y)??5??6x??7xy??8yu(x,y)??1??2x??3y??4x2v(x,y)??5??6x??7y??8y2

22

（2）

试写出下列单元的位移模式，并求出其形函数矩阵?N?

4 7 3 b 8 6 b 5 1 2 a a

设图 所示三结点轴力杆件单元ijm的位移函数为u(x)??1??2x??3x,该位移函数是否满足收敛准则? 求出其形函数矩阵?N?。

i EA j m x(?)

2

lumui l u j 22

在1–2 图1–2所示平面三角形桁架，结点坐标为：（0,0）1，2（l2,l2），3（2l,0），E、A为弹性模量及截

面积。用有限元素法求：

（1）结点位移； （2）元素内力； （3）支座反力；

图1–2

1–5 用有限元素法对结构问题进行静力分析中，协调条件、平衡条件、以及物理关系是如何体现的？

3–12 有中心椭球孔的矩形板，两个侧边受线性分布的侧压p，如图3–12所示。如何利用对称面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。(5.5)

3–13 高度为h、宽度为9a的矩形板，（如图3–13所示），h/2高度上有3个尺寸相同的矩形孔

侧面受线性分布侧压。如何利用其自身的几何特点减少计算工作量，并画出计算模型、列出计算步骤。(5.6)

4–1 三结点三角形元素ijm的位移函数能否选为： （1）

u?x,y??a1?a2x2?a3yv?x,y??a4?a5x?a6y2 （2）

u?x,y??a1x2?a2xy?a3y2v?x,y??a4x?a5xy?a6y22

4–2 推导三结点平板元素在局部坐标系xoy中的元素刚度矩阵？

图4–2

图4–3

4–3 正方形平板，厚度为t，边长为a，弹性模量E，材料泊桑比?，载荷P，按图4–3所示分元，求1、3点的位移？

4–4 图4–4所示的矩形板1234，分成四个常应变三角形元素 （1）形成这些元素集合的刚度矩阵？

（2）若1234就是一个矩形元素，形成刚度矩阵？

图4–4

4–5 矩形平板元素的位移函数能否取为： （1）

u?x,y??a1?a2x2?a3xy?a4y2v?x,y??a5?a6x?a7xy?a8y22 （2）

u?x,y??a1?a2x?a3y?a4x2v?x,y??a5?a6x?a7y?a8x2

4–7 写出下列三角形元素各结点的面积坐标值，并利用内插方法找出元素的形状函数?（图4–7所示，各边结点等间距）

4–8 求图4–8所示各元素，在分布力作用下，元素的等效结点载荷?

4–9 求三结点和六结点三角形元素在自重作用下的等效结点载荷?（设比重为?，厚度为t，元素面积?）

4–11 证明3结点三角形单元的插值函数满足

图4–7 图4–8

Ni?xi,yi???ij， 及 Ni?Nj?Nm?1（2.1）

4–12 图4–12所示3结点三角形单元，厚度为t，弹性模量是E，泊桑比??0。试求：插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。（2.2）

4–13 写出图4–13所示三角形单元的插值函数Ni，Nj，Nm以及应变矩阵B。（2.3）

图4–12 图4–13

4–14 图4–13中单元在jm边作用有线性分布的面载荷（x方向），试求结点载荷向量。

4–18 验证用面积坐标给出的二次(三角形)单元的插值函数N1~N6满足?Ni?1（i?1~6）。

4–19 二维单元在xy坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样?单元旋转180°后单元刚度矩阵与原来的相同吗?单元作上述变化时，应力矩阵S如何变化?

4–21 8结点矩形元（每边中点为结点）的位移函数可取

u??1??2???3???4????5?2??6?2??7?2???8??2v??9??10???11???12????13???14???15????16??试求插值函数N1~N8并证明它们满足插值函数的基本要求。

4–24 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。（2.14）

2222

x?xiLi?xjLj?xmLmy?yiLi?yjLj?ymLm

9. (本题20分) 如下图所示结构，以Ｘ－Ｙ坐标系表示的刚度矩阵为：

ｕ?Ｐ?10.0??ｘ１?１??????ｕ??2.54.5?Ｐｘ2?２?????＝???ｖ?1.832.55.0??ｙ1?１??Ｐ?????2.5?2.5?2.52.5???ｖ?２?ｙ2??Ｐ试建立以Ｐｘ１ ，Ｐｙ１，Ｐｘ２来表示的刚度矩阵。

1–4 图1–4所示正方形桁架，周边长a，桁架由五条杆元素组成，弹性模量为E，截面积为

A，求：P载荷作用下2、3点的位移？

图1–4

1–9 图1–9所示的三结点杆元素ijm，A、E为元素的截面积和材料弹性模量，元素的位移函数为：u?x??a0?a1x?a2x

2试分析：（1）上述位移函数是否满足收敛准则？ （2）求元素的形状函数矩阵?N?；

图1–9

（3）求元素的几何矩阵?B?，应力矩阵?S?； （4）元素的刚度矩阵?K?；

e

5–1 空间直三棱体单元（图5–1），用插值方法构成单元的形状函数？（?456在xy面内） 提示：在xy平面内用面积坐标内插，在z方向按两点拉格朗日插值。

6–3 试求图6–3所示二维过渡元的形状函数。

（1）N1，N4？ （2）N2，N3，N4？

6–4 图6–4所示为四边形单元，试计算?N1?x和?N2?y在自然坐标为（1/2，1/2）

图6–3

的点Q的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。

图6-4

6–9 二维4结点等参元，在x，y坐标系中单元各边与坐标轴x，y平行，边长为a，b，确定下列载荷情况下的结点载荷

（1）在x正方向有一分布载荷作用在??1的边上。载荷在???1为0，在??1为q0，呈线性变化。

（2）在y正方向上作用有均匀的体积力b0。

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