量子场论三种绘景的不同表示关系

量子力学中的薛定谔绘景和海森堡绘景

天津大学物理系 材料物理与化学 2011级硕士研究生 孙明宇 (2011210009)

【摘要】量子力学是一门描述物体微观相互作用的一门物理学分支学科，在对物体运动状态的描述中与经典力学迥异。对量子系统随时间的运动我们有三种不同而又相互等价的方式进行描述,称为绘景(picture或representation,也称表象)。文章主要描述薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景三种绘景，并联系经典力学参照系对三者进行比较和讨论。

【关键词】量子力学 绘景变换 参考系 引言

对量子系统随时间的运动我们有三种不同而又相互等价的方式进行描述,称为绘景(picture或representation,也称表象)。量子力学中的绘景可以看作是经典力学中参考系概念的推广它描述了算符和态矢随时间的演化。有关绘景的问题,是量子力学中最基本的问题之一。对于前两种绘景问题的讨论,可以追溯到量子力学建立初期关于薛定谔的波动力学(1926年)与海森堡的矩阵力学(1925年)等价性的讨论.

量子力学中，可观测物理性质与物理算符?在状态Ψ下的平均值〈?〉=〈Ψ,?Ψ〉相联系.量子系统随时间演化，算符平均值一般也随时间演化。描述量子系统随时间的演化有三种不同的方式：（1）算符形式保持不变而态矢量随时间改变；（2）态矢量保持不变而算符形式随时间改变；（3）算符形式和态矢量都随时间改变，分别为薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景。

三种绘景各有优缺点，并针对于不同问题的解决。本文主要讲述三种绘景特点，并联系经典力学的参照系展开讨论。

1. 薛定谔绘景

考虑薛定谔方程：可以形式地解为：某力学量的期望值为：

， 。

s

如果我们认为物理系统的动力学行为( 随时间演化的行为 )完全由决定，算符不含时间，就是薛定谔绘景( Schordinger picture )。

设t0时刻的系统状态波函数是Ψ(t0)，定义一时间演化算子U(t,t0)，则有某一时刻t的状态波函数为Ψ(t)。其中，

|Ψ(t)> = U(t,t0) |Ψ(t0)>， 带入薛定谔方程，可有：显然，t=t0时，U(t,t0) =1， 一般时刻下，演化算子

。

，

演化算子一般由量子力学系统的特性及其哈密顿算符决定.薛定谔绘景对于实际计算比较方便,因为许多情况下求解薛定谔方程都可以归结为解较简单的微分方程。Hs比较简单时，可以采用微扰论方法解决，但如果面对不便用微扰论处理的问题（如强作用问题）则不适用。

2. 海森堡绘景

和薛定谔绘景恰恰相反，在海森堡绘景中，动力学行为完全由算符

描述，而间的变化。

根据量子力学，通过一个幺正矩阵，我们可以得到新的波函数和算符的表述，可见，海森堡绘景实际上对应一种特殊的幺正矩阵( 算符 )，即海森堡绘景中的态矢满足薛定谔绘景态矢的幺正变换，如：

|ΨH(t)> = U

-1

不含时间，即力学量及平均值的分布随时间的演化归结为算符随时

(t,t0) |ΨS(t)>

FH(t) = U-1(t,t0)FS U(t,t0)， 结合|ΨH(t)> = U(t,t0) |ΨH(t0)>，

有|ΨS(t)> = U-1(t,t0) U(t,t0) |ΨH(t0)> = C，

可见任何时刻下海森堡绘景的波函数均与时间t无关，即：

。

利用算符对时间t求导，可有

= [HH, FH] ，

若算符显含t，则有海森堡方程：

= [HH, FH] ，

容易证明，对海森堡绘景而言，动力学问题由关于算符的运动方程给出：

。

海森堡绘景与经典力学的对应关系更为直接，处理微扰问题时较薛定谔绘景更为方便。但计算比较繁琐，不如直接解薛定谔方程简便。

3. 相互作用绘景

量子力学中波函数和算符均不可以精确测量，所以我们也可以定义波函数和算符均随时间变化。在实际问题中，某一时刻物体的运动状态可以看作是原状态经一微扰动后变化的结果。所以我们可以定义一种新的描述——相互作用绘景，来描绘算符和波函数的变化。这里我们定义Ht = H0 + H’，其中，H0对应于海森堡绘景中的相互作用量，H’ 是一微扰项。

对薛定谔绘景中的算符和波函数进行变换， |ΨI(t)> = T (t,t0) |ΨS(t)> FI(t) = T (t,t0)FS T-1 (t,t0)， 其中，T-1 (t,t0) = T+ (t,t0)，

,

显然，T(t, t0) = 1, 可以解得：其中，

T (t,t0)H’T-1 (t,t0)。

，

对相互作用算符求导得： 不显含时间时：显含时间时：

= [H0I, FI]， =

[H0I, FI]。

若设H0为0，则方程蜕变成薛定谔方程；若H’为0，则方程蜕变为海森堡方程。

4. 三个绘景与经典力学参照系的联系与对比

量子力学的绘景可以看作是经典力学中参考系概念的推广。经典力学中存在多种惯性参考系：固定参考系，刚体随动参考系以及局部随动参考系。

薛定谔绘景类似第一种，即主要针对确定的测量空间以及手段下的变化问题(即随时间确定算符但波矢变化)，类似于实验室、工厂等确定空间(坐标系)下，生产测量的位置改变。

海森堡绘景类似于第二种，即一个刚体(或参考系)随时间在不断变化，而参考坐标随刚体一起运动，此时好比算符在随时间变化，但波函数(空间坐标)不发生变化。

相互作用绘景中，一部分作用量不随时间变化，另一部分是受外界扰动而随时间变化。因此可以看作是部分固定，部分随时间变化的参考系下的问题。

表1给出了三种绘景的各种表示 Q表象基矢 态矢变化关系 薛定谔绘景 海森堡绘景 相互作用绘景 | | |ΨH(t)> = FH(t)=FS|ΨS (t)> | |ΨI(t)> = FI(t)=FS|ΨS (t)> |ΨI(t)> |ΨS(t)> = |Ψ (0)> 算符变化关系 FS=FS(0) 态矢运动方程 |ΨS(t)> =Hs|ΨS(t)> =0 |ΨH(t)>=0 |ΨI(t)> =算符运动方程 表1 三种绘景的不同表示关系

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