2-3随机变量的分布函数

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分布函数. 解1 p{ X 1} p{ X 0} , 2

当x 0时, F ( x ) P{ X x 0} 0,

0

1

x

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0当0 x 1时,

1

x

1 F ( x ) P{ X x } P{ X 0} ; 2 当x 1时, 0, x 0, F ( x ) P{ X x } 1 P{ X 0} P{ X 1} 得 F ( x ) , 0 x 1, 2 1 1 1. 1, x 1. 2 2

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二、分布函数的性质(1) 0 F ( x ) 1, x ( , );( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );证明 由 x1 x2 { X x1 } { X x2 },得 P{ X x1 } P{ X x2 },

又 F ( x1 ) P{ X x1 }, F ( x2 ) P{ X x2 },故 F ( x1 ) F ( x2 ).

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( 3) F ( ) lim F ( x ) 0, F ( ) lim F ( x ) 1;x

x

证明 F ( x ) P{ X x }, 当 x 越来越小时,P{ X x } 的值也越来越小, 因而当 x 时, 有x

lim F ( x ) lim P{ X x } 0x

o

x

同样,当 x 增大时 P{ X x } 的值也不会减小, 而 X ( , x ) 当 x 时, X 必然落在 ( , )内.

o

x

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所以x x0

lim F ( x ) lim P{ X x } 1.x x

(4) lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 ).即任一分布函数处处右连续. 0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p1 x x2 . 1,

F ( x)

o

x1

x2

x

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重要公式(1) P{a X b} F (b) F (a ), ( 2) P{ X a } 1 F (a ).证明 因为 { X b} { X a } {a X b},{ X a } {a X b } ,所以 P{ X b} P{ X a } P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a ).

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三、例题讲解例1 将一枚硬币连掷三次, X 表示"三次中正面出现的次数 " 求 X 的分布律及分布函数, 并求下 列概率值 P {1 X 3}, P { X 5.5}, P {1 X 3}.

解 设H 正面,T 反面, 则S HHH , HHT

, HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT ,

因此分布律为

X p

0 1 2 3 1 3 3 1 8 8 8 8

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求分布函数当 x 0时, 当 0 x 1时,

o

1

2

3

x

F ( x ) P{ X x } 0;

1 F ( x ) P{ X x } P{ X 0} pi ; 8 ai 0 当 1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 a i 1

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当 2 x 3时,

o

1

2

3

x

F ( x ) P{ X x }

P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} pi xi 2 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3} pi 1.xi 3

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由 F ( x ) P{ X x }

得

1 1 1 P{ X } F ( ) , 4 2 23 5 5 3 3 1 1 P { X } F ( ) F ( ) . 2 2 2 2 4 4 2

P{2 X 3} F ( 3) F ( 2) P{ X 2}3 1 3 1 . 4 2 4

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x 0, 0, 1 8 , 0 x 1, 所以F ( x ) 4 8 , 1 x 2, 7 8 , 2 x 3, x 3. 1,

P{1 X 3} P{ X 3} P{ X 1} P{ X 3} F ( 3) F (1) P{ X 3}7 1 1 7 . 8 8 8 8

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例2 设随机变量 X 的分布律为X

11 4

21 2

3

1 4 1 3 5 求 X 的分布函数, 并求 P{ X }, P{ X }, 2 2 2 P{2 X 3}.pk

解 由于 X 只在 x 1,2,3 处取得概率值, 且

F ( x ) P{ X x }

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x 1, 0, P{ X 1}, 1 x 2, 得 F ( x) P{ X 1} P{ X 2}, 2 x 3, x 3. 1, 0, 1 , 4 即 F ( x) 3 , 4 1, x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.

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P{ X 5.5} 1 P{ X 5.5} 1 P{ X 5.5} P{ X 5.5}

1 1 0 0.P{1 X 3} P{ X 3} P{ X 1} F ( 3) F (1)7 1 3 . 8 8 4

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请同学们思考 不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相 同吗? 答 不一定.例如抛均匀硬币, 令 出正面; 1, 1, 出正面; X1 X2 出反面. 1, 出反面. 1, X 1 与 X 2 在样本空间上的对应法则不同, 是两个不

同的随机变量, 但它们却有相同的分布函数 0, x 1; F ( x ) 1 2 , 1 x 1; 1, x 1.

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离散型随机变量分布律与分布函数的关系分布律

pk P { X x k }

分布函数

F ( x ) P{ X x }

xk x

pk

离散型随机变量分布函数演示

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例3 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时, P{ X x }是不可能事件,于是F ( x ) P{ X x } 0; 当 0 x 2时, P{0 X x } kx 2 , k是常数. 1 由P{0 X

2} 1, 得4k 1, 即 k . 4 x2 因而P {0 X x } . 4

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于是F ( x ) P{ X x }x2 P{ X 0} P{0 X x } . 4 当 x 2时,

F ( x ) P{ X x } 1.

故 X 的分布函数为 x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 x 2. 1,

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bi1j.html