高三数学专题复习06不等式01

高三数学专题复习06 不等式01

一、填空题

1．不等式ax2?x?b?0(a?0)的解集是?x???11??x??，则a?b＝______. 32???11??x??可得. 32?【解析】由不等式ax2?x?b?0(a?0)的解集是?x?11a?0且?,分别是二次方程ax2?x?b?0(a?0)的两个根.

32所以由韦达定理可得?

2．已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x?2对称，若f(x)?4x?15，则不等式是_________。

【解析】若f(x)?4x?15，则g(x)?f?4?x??4?4?x??15?1?4x，

11111b??,???，解得a?6,b??1.所以a?b=7. 32a32ag(x)?0的解集2x?1故不等式

g(x)1?4x?0?0，即(x?1)(x?1)(4x?1)?0(x?1且x??1)， 等价于22x?1x?11?x?1． 4解得x??1，或

?x2?1,x≥03．设函数f?x???，则满足不等式f?1?x2??f?2x?的x的取值范围是 .

x?0?1,【解析】x?0时，f(x)?x2?1，易知其在[0,??)上单调递增.又f(0)?1，

x?0时，f(x)?1，所以f(x)?1.

?2x?1?x2?2x?1?x2???1?2?x??1?2????由不等式f?1?x??f?2x?可得，?，,, ??22?????1?x?1?1?x?0?f(1?x)?12即?1?x??1?2.

所以x的取值范围是(?1,2?1).

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4．若不等式3x?b?4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是 【解析】由3x?b?4得

b?4b?4?x? 33b?4?0??1??3由整数有且仅有1，2，3知?，解得5?b?7

?3?b?4?4?3?

?x?0, ?5．若关于x，y的不等式组?y?x, （k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，

?kx?y?1?0?则k? . ?x?0, ?【解析】作出不等式组?y?x, 表示的区域如下图所示，由图可知，要使平面区域的边界是一个?kx?y?1?0?直角三角形，则k??1或0. yy212y=xx12 y=xx2–1O12–1O–1–2–312kx-y+1=0 –1 –2–3?(2?3)x?y?6?23?0?xy6．已知实数x,y满足?2x?y?2?0则的取值范围是______.

(x?y)(x?y)??y?3?0【解析】不等式组所表示的区域如下图：

yk?yxxyxykx?2??，其中k即为OP的斜率，由222y(x?y)(x?y)x?y1?k1?2x图像计算得A(2,2),B(3,3)，观察可知k?(3,1)， 3第 2 页 共 10 页

k1?k2令f(k)?，则f'(k)??0， 221?k2(1?k)故f(k)是k的增函数，因此f(k)?3，没有最大值， 2?3?xy,???所以的取值范围是??. 2(x?y)(x?y)??

?3x?y?0,?????????OA?OP?7．已知A(3,3),O是原点,点P(x,y)的坐标满足?x?3y?2?0,则????的取值范围为 .

OP?y?0,???????????π5π?【解析】作出可行域,可得OA与OP的夹角θ∈?,?，

?66??33?,?, 22???????????OA?OP???所以????=|OA|cos θ=23cos θ∈[-3,3].

OPcos θ∈?

x3ax28．已知函数f(x)＝＋＋2bx＋c在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z＝(a＋3)2

23＋b2的取值范围为________．

【解析】因为函数f(x)在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，

?f'?0??0?b?0??'?所以?f?1??0即?1?a?2b?0

?a?b?2?0?'f2?0?????对应可行域如图，目标函数z＝(a＋3)2＋b2的几何意义是可行域上的点(a，b)到定点P(－3,0)的距离的平方，点P到边界a＋b＋2＝0的距离的平方为??1?21?＝2，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域?2?不含边界，所以z的取值范围是?

?1?,4?. 2??第 3 页 共 10 页

9．已知x?0，y?0，x?y?xy?8，则x?y的最小值是_________..

(x?y)2,即(x?y)2?4(x?y)?32?0，解得x+y?4或【解析】：根据题意8?x+y?xy?x+y?4x+y??8(舍去)，当且仅当x=y?2时x+y有最小值4.

10．在等式

495??m中,x?0,y?0,若x?y的最小值为,则m的值为 xy6【解析】由已知，x?y?14914y9x14y9x25(x?y)(?)?(13??)?(13?2?)?， mxymxymxym所以，

255= ，m?30. 6m11．已知正数x,y满足x?y?19??10，则x?y的最大值为 ． xy【解析】由已知得，(x?y?19?)(x?y)?10(x?y)， xyy9x?)， xyy9x??6， xy变形为(x?y)?10(x?y)??(10?2因为x?0,y?0，由基本不等式得，

故(x?y)?10(x?y)??16，解得2?x?y?8

12．过圆x2＋y2＝1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|OA?2OB|的最小值是 ．

【解析】设P点坐标为(cos?,sin?)，则过点P的切线方程为xcos??ysin??1，

2那么A,B两点的坐标为别为(11,0)，(0,)， cos?sin?????????1412?,)?则OA?2OB?(，22cos?sin?cos?sin?第 4 页 共 10 页

1414sin2?4cos2?22?2?(2?2)(cos??sin?)?1???4222cos?sin?cos?sin?cos?sin?sin2?4cos2?sin2?4cos2?2tan??2时等号成立，故所求最小?，当且仅当，即?5?2??92222cos?sin?cos?sin?值为9．

13．已知f(x)?log3(x?3)，若实数m,n满足f(m)?f(3n)?2,则m?n的最小值为 . 【解析】首先寻找出m,n的最直接的关系，log3(m?3)?log3(3n?3)?2，即(m?3)(3n?3)?9，也即(m?3)(n?1)?3(m?3,n?1)，利用基本不等式有

m?n?(m?3)?(n?1)?4?2(m?3)(n?1)?4?23?4，m?3?n?1?3时等号成立，故最小值为23?4.

14．已知正数a,b,c满足a?b?ab，a?b?c?abc，则c的取值范围是______． 【解析】由a?b?ab，a?b?c?abc?ab?c?abc?c?ab1??1, ab?11?1ab又a?b?ab?2ab?ab?4，得

11134?4???1??，所以c?，故c??1,?. ab4ab43?3?二、解答题

15．（本题满分14分）

（1）a >0,b>0,若3为3与3的等比中项，求（2）已知x＞2,求f(x)=

ab11?的最小值 ab1?x的值域. x?2ab【解析】（1）∵3?3?3

∴ a+b=1 a﹥0 b﹥0

11a?ba?bba???=2+?≥4 ababab11

∴?的最小值为4 ab

则

（2）∵x＞2 ∴x-2＞0

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