数学的哲学理论和数学教学

数学的哲学理论和数学教学

恩格斯指出全部哲学,特别是近代哲学的重大的基本问题,是思维和存在的关系问题。”数学是研究数贷关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的基本对象。唯物论和唯心论反映在数学上的分歧和斗争就在于,数和形是客观存在的,还是主观臆造的?数学来源于现实世界,还是与现实世界无关的“自由创造物和想象物”?在唯心论者看来,“数是上帝创造的”,“数是万物之本原”,数学不过是“感觉的集合”、“纯粹心智的创造”、“纯理性思维的产物”等等。按照他们的观点,数学仿佛是独立于客观物质世界的某个思维王国中的自由乐园。尽管他们之间的意见观点也有很大分歧,但不_过是对修建这块自由乐园各有不同的主张与行动规划而已,唯心论则是他们共同的思想渊源。

思格斯研究了数学与客观物质世界的关系问题。他在肯定了“纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义”的同时,又明确指出:“在纯数学中悟性绝对不能只处理自动的创造物和想象物。数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的。人们曾用来计数,从而用来作第一次算术运算的十个指头,可以是任何别的东西,但是总不能是悟性的自由创造物。……形的概念也完全是从外部世界得来的,而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体,把这些形状加以比较,然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。” 抽象的逻辑思维是数学研究的主要思维形式。因此,抽象表现为数学这门科学的最基本的特征。唯心主义者则常以此k确切的例证,歪曲抽象的逻辑思维在数学中的地位和作用,作为反对唯物主义的工具。他们认为数学是从一些先验的概念和公理出发,单纯用逻辑的方法推演出来的,因此与现实世界是风马牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思维在数学中的作用,指出这是“一种在考察对象时撇对象的其它一切特性而仅仅顾及到数目的能力。而这种能力是长期的以经验为依据的历史发展为结果。”数学中的“这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”从现实世界中抽象出来的数学规律,“在一定的发展阶段上就和现实世界脱离,并.目.怍为某种独立的东西,作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。”客观世界中虽然并不存在没有长宽高的抽象的点,没有厚度和宽度的抽象的线,没有厚度的抽象的面,但其原形极其广泛地存在于客观世界中,建立在这些抽象化了的概念基础上的欧氏几何学是客观世界中空间形式规律性的反映,客观外界是它产生和完善

的根源。

牛顿、莱布尼兹发明的微积分是数学发展史乃至整个自然科学发展史上的?要里程碑。恩格斯热情地称赞:”在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样枝看作人类精神的最高胜利了。”伯是在世纪下半叶和整个18世纪,微积分理论却建立在含糊不清的无穷小概念上,牛顿为避免无穷小把导数当作界对这一切想象的数a都提供了原形。”可见抽象的微积分的产生是有着明显的实际背景的,而决不是什么“量的鬼魂”。

数和形是数学研究的对象。这无疑是正确的。但是对数和形的概念的理解不能总是停留在客观现实的直观理解上。其实,随着数学的发展,数和形的表现呈现出多种多样的形式和极其复杂的情况。数和形的概念不再具有与外界现实直技密切相关的性质,而表现为层次愈来愈高的抽象。人类对自然数无穷序列的认识就经历了不同等级的抽象过程。由具体车物到自然数

概念这是第一级抽象;由具体的a然数到一般的Q然数《,这是第二级抽象;从任意有限多个自然数到自然数无穷序列这是第三级抽象。卉线在一个方向上有大小,平面在两个方向上冇大小,而立体在三个方向上有大小,这就是兹’冷上通常所说的一维、二维和三维空间。这是现实物质空间性质在数学上的反映,建立在此第础上的四维、五维、…n维空问,无限维空间乃至一般的抽象空间——这些曾被不少人看作是“狮头羊身蛇尾的或半人半马的妖怪”的数学概念,不再直接来源于现实,但它们也足间接地来源于现实的。恩格斯在《自然辩证法>中,从几何学的空间概念出发,从箨术和代数学的数是出发,深入地研究和分析了“无限”这个漑念的抽象过程,指出“不仅有一次的无限,而且还有二次的无限,我们的读者如果髙兴的’,还可以用E!己的想象构造出无限空间里的次数更高的无限。”抽象思维的自由创造,是由来0经验的初始m念和原理的有意识的合乎逻辑的发展。这是不值得奇怪的。

马克思、恩格斯关于数学的哲学理论

我们承认,抽象思维对数学的发展起了巨大的推动作用。柚象思维的发展过程也就是数学真?断被揭示的过程。但是在一定的历史条件下,人们对物质世界的认识,只能达到一定的深度和广度,人们掌握客观真理的限度是受历史条件制约的。因此,人的认识具有相对性,真理也具有相对性。反映在数学上,其定理公式的真理性也是相对的。数学的抽象形式表现力是有限的,杣象后的数学概念自身总是带有某种局限性和片面性。如果把数学理论的发展自封于抽象的形式柜架里,这只会为数学“开辟了获得最大成就但也造成谬误的道路?”恩格斯在《自然辩证法》中一针见血地指出:“全部所谓纯数学都是研究抽象的,它的一

切数量严格说来都是想象的数量。一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己的反面。”这是体现在数学发展上的事物相对性原理的精彩论述,同时也说明了数学的抽象是应该与客观外界事物相的,脱离实际的想象的抽象是违背事物发展规律的。

马克思、恩格斯关于数学的研究和论述,闪耀着辩证法的光辉。他们既把数学作为“辩证的辅助工具和表现方式”,又认为:“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学上的运用。”在辩证法和数学的结合上,他们既阐明得精辟深刻,又运用得得心应手。

辩证唯物主义认为:世界是永恒运动着的物质世界,运动是物质的根本属性。马克思、恩格斯既阐明了数学基础的唯物论观点,又认为运动是数学的根本属性,从而与孤立地、静止地看待数学的形而上学观点划清了界限。马克思精心研究了微积分的发明者牛顿、莱布尼兹各自提出的“流数”和“无穷小”概念,正当不少数学家和哲学家为这两个概念喋喋不休地激烈争辩时,马克思独具匠心,指出微分系数的双重意义:“一个是表示运动另一个表示它的值,它的极限。”并指出:计算中“唯一的困难是在逐渐消失的量之间固定的一个比的这种辩证的见解。”马克思还研究了髙阶导数的计算。

指出计算只把当作运动的出发点,计算只是把当作运动的出发点,并说:这是“奇妙的”,但是理解了这个运动出发点的含义时,也是“不足为奇”的。恩格斯还考察研究了积分的实际背景:水蒸汽的分子运动,指出它“在蒸气机的汽缸中积累起来,把活塞举高一定的距离,而自己转变为物体的运动的时候,这一运动不是被积分了吗?”“这种积分和数学上的积分不同的地方在一种是由人的头脑有意识地完成的,另一种是由自然界无意识地完成的而“头脑的辩证法只是现实世界(自然界和历史)的运动形式的反映。”因而数学上积分的实质是物质运动的结果。恩格斯热情称赞笛卡儿的变数(即解折几何)是数学中的转折点,并强调指出这个转折点的意义是“运动进入了数学”、“辩证法进入了数学”。并说:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动恩格斯的上述论断不仅阐明了运动是数学的根本属性,而且还说明了数学的运动属性是表现为数学的运算。物质的运动有其自身的规律性,数学的运算也有其自身的规律性。这些规律性表现为数学运算的发展变化中的相互依赖和,彼此之间的转化和互换,即这些规律性集中表现为对立统一规律。马克思研究了微分和求导这样两种运算,若对函数r==_f(X)求 马克思研究了微分和求导这样两种运算

在等式的右边,成了这个等式本身的内容。马克思接着指出:“它们表明要进行的运算并因而作为出发点的这种作用,是已经在自己领土上活动的微

分学

所固有的。不容置疑,数学家中未尝有人注意到这种转换,尤其没有人用一种完全初等的微分等式来证实这种转换即作用上的逆转是必要的。”马克思在研究曲线的切线时,指出“要敢于把弦等同于弧,或者反过来把弧等同于弦。”这正是直与曲的对立统一观。数学中最基本的运算加、减、乘、除,乘方、开方、微分、积分,它们各自都表现为互为逆运算的关系,除了它们各自的互为逆运算关系,在所有这些运算之间也还存在着其它许多,它们也是可以互相转化的,正如恩格斯所说:在数学发展过程中”计算方法的一切固定差别都消失了,一切都可以用相反的形式表达出来”,而“这种从一个形式到另一个相反的形式的转变并不是一种无聊的游戏。它是数学科学的最有力的杠杆之一。”数学的发展充分证明了恩格斯这一论断的正确性。

牛顿、莱布尼兹公式: 牛顿、莱布尼兹公式:

是把区间上的定积分转变到这个区间端点上的原函数的值。格林公式:

格林公式

是把以平而区域为积分范围的二重积分转变到沿着平而曲线进行的曲线积分。类似地,由髙斯公式,三重积分转变到了曲面积分。揭示这种或那种,不仅为解决数学问题提供了有效手段,而且在此基础上,还可以使我们有可能认识到更本质的背景,从而发展到更加广阔的领域,取得人们意想不到的结果。所以,恩格斯说:“数学,把某个确定的数,.例如把一个二项式,化为无穷级数,即化为某种不确定的东西,从常识来说,这是荒谬的举动。但是,如果没有无穷级数和二项式定理,那我们能走多远呢?”

辩证法的基本规律之一是否定之否定规律。对任何事物的否定都是转化为另外一种事物,而不能化为绝对的无。辩证的否定决不是简单而轻易地将旧事物抛弃,而是为新事物的产生铺垫道路,从而推动事物的发展。数学上的“零”是对任何定量的否定,但是这种否定为数学的发展带来了H新月异的变化,其本身具有丰富的内容。恩格斯指出:“作为一切正数和负数之间的界限,作为能够既不是正又不是负的唯一真正的中性数,零不只是一个非常确定的数,而且它本身比其他一切被它所限定的数都更?要,事实上,零比其他一切数都有更丰富的内容。”

辩证法的否定之否定规律在马克思、恩格斯的数学研究中得到了充

分的运用。马克思把导数的运算就作为否定之否定的过程。他指出,在导数运算中“首先取差,然后再把它扬弃,这样在字面上就导致无。”这种开始由否定造成的“字面上的无”实质上表明否定的性质是既克服又保留,最终目的是实现导数运算,所以马克思紧接着说:“理解微分运算的全部困难(正象理解否定的否定本身时那样),恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续,并因此导出实际结果的。”并且马克思以利用二项式定理求函数r=x2的导数为例,把否定之否定规律的应用戏称为“魔术”,指出否定的是“挡路而并不真正属于导数”的那些项。实际上:

马克思以利用二项式定理求函数马克思以利用二项式定理求函数 去掉最后一项(OT2,得汉=2XdX,马克思在《数学手稿》中,常常使用“扬弃”这个概念,深刻阐述了辩证的否定不是简单地抛弃而是扬弃,保留以往发展中对新事物有积极意义的东西,并把它发展到新的阶段。

为了批判杜林的错误观点,恩格斯也研究了微分中的否定之否定规律,并认为在微积分中,“否定的否定表现得更加明显。”恩格斯是这样设想的,给定了二个变量X和F,给X—个变化,r也按照条件所规定的关系(函数关系)同时变化,然后把X和r加以微分,让x和f都趋于消失,这样,1=1。恩格斯指出:“两个已经消失的数的这种关系,它们消失的确定的时刻>本身就是一种矛盾,但是这种矛盾并不能妨碍我们。”“我不是象形而上学者否定它们那样,否定了它们,就不再顾及它们了,而是根据适合于条件的方式否定了它们。这样,我在我面前的公式或方程式中得到的不是工和而是X和Y的否定,即dX和状。”恩格斯还研究了微分和积分的关系。他认为,如果说微分是第一次否定,则积分是否定微分,是第二次否定。他说:?把dX和当作实数——虽然是服从某些特殊规律的数,并且在某一点上我否定了否定,就是说,我把微分式加以积分,于是又重新得到实数叉和r代替dx和dY’这样,我并不是又回到了出发点,而是由此解决了普通的几何学和代数学也许碰得头破血流也无法解决

的课题。”?由此可以看到,否定之否定的结果,实质上是微分和积分这样两种现代数学的最重要的运算。否定之否定实现了数学发展的巨大变革。这是质的飞跃。 如果说唯心论者利用数学这门科学特有的思维方式,顽固地坚持唯心主义的主张,与唯物主义分庭抗礼,那么在辩证法和形而上学的斗争上,则是另一番情景数学走到了这样的领域,在那里即使很简单的关系,如单纯的抽象的量之间的关系,甚至极限,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们既不自愿又不自觉地成为辩证的数学家。”对于这种情况,值得我们运用马克思主义,全面分析研

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