初中数学中考一轮复习(18)

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初中数学中考一轮复习——空间与图形

第七单元 图形与变换

第27讲 图形的相似

一、目标要求：

1、了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割； 2、掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例，面积的比等于相似比的平方. 3、了解两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件. 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.

二、课前热身

1．若

a5a?b?，则= 。 b3b2.如图,在△ABC中,D为AC边上的一点，若∠DBC=∠A，BC=6，AC=3，则CD的长为（ ）

CDAB

A.1 B.1.5 C.2 D.2.5

3. 小彤观察门前一棵垂直于地面的树的影子，上午树的影子长4米，傍晚树的影子长9米，这两束光线如果刚好是互相垂直的，那么这棵树的高度是 米。

[来源:21世纪教育网]

4. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

5. 若?ABC∽?A?B?C?，相似比为1:2，则?ABC与?A?B?C?的面积的比为( )

A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1

三、【基础知识重温】

一）1．成比例线段

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在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．

2．比例线段的基本性质

若＝，则 ；当b＝c时， ，那么b是a，d的比例中项． 3．线段的黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且＝acbdACABBC5－1＝≈0.618，则C点叫做线段AB的 ． AC2

4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角 ，对应边的比 ． 2．相似三角形的判定

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 ，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 ，且夹角 ，那么这两个三角形相似；

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 ，那么这两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 ． 3.相似三角形的性质

(1)相似三角形周长的比等于 (2)相似三角形面积的比等于

(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于

4.相似多边形的性质

(1)相似多边形周长的比等于

[来源:21世纪教育网21世纪教育网]

(2)相似多边形面积的比等于

5.位似图形 （1）定义

两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做 ，对应边的比叫做 ．位似是一种特殊的相似. （2）性质

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(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 ； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 点； (3)位似图形对应边 ； (4)位似图形对应角

四、例题分析

[来源:21世纪教育网]

题型一、平行线分线段成比例

【例1】（2015福建宁德）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）21教育网

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【趁热打铁】

（2015浙江舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F。AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则值为（ ）

DE的EF

A．

123 B．2 C． D． 255题型二、相似三角形及其判定

【例2】（2015湖北随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）

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A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．

ADACADAE= D．= AEABABAC【趁热打铁】

如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）

A．

15122017 B． C． D． 4543题型三、相似三角形的性质

【例3】（2015贵州贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）

A．2：3 B．2:3 C．4：9 D．8：27 【趁热打铁】 1.若△ADE∽△ACB，且

AD2?，DE=10，则BC= ． AC3

2.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则

AD= . AB全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com

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题型四、相似多边形与位似图形

【例4】（2015四川宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）

A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1） 【趁热打铁】

如图，△ABC与△ADE是位似图形，且相似比为2：3，若△ABC的面积为18，则△ADE的面积为（ ）21世纪教育网版权所有 A．6

B．8

C．9

D．12

题型五、相似三角形的应用

【例5】（2015贵州黔南州）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1．2米，BP=1．8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）．21·世纪*教育网

【趁热打铁】

如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和

[来源:21世纪教育网21世纪教育网]点F处分别竖立高是2米的CD

和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的

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高是 米．

五、牛刀小试

1、【题源】2015内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟

如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′是（ ）

A．2?1 B．

12 C．1 D．

222.【题源】2015辽宁辽阳

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 3.【题源】2015贵州毕节

在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（ ）

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[来源:21世纪教育网21世纪教育网]

A．10 B．8 C．9 D．6 4．【题源】2015青海

在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则于（ ）

EF等FC

A．

1123 B． C． D． 3232AB2?，BC35.【题源】2015江苏淮安

如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若DE=4，则EF的长是（ ）

A．

820 B． C．6 D．10 336.【题源】2015湖南永州

如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC

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C．AB=AD?AC D．7.【题源】2015湖北咸宁

2

=

如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）．

A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 8.【题源】2015新疆生产建设兵团

如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．

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第七单元 图形与变换

第27讲 图形的相似

一、目标要求：

1、了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割； 2、掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例，面积的比等于相似比的平方. 3、了解两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件. 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.

二、课前热身

1．若

ab?53，则a?bb= 。 【答案】23.

【解析】∵a5

b?3

，

∴a?b5b??33?23． 2.如图,在△ABC中,D为AC边上的一点，若∠DBC=∠A，BC=6，AC=3，则CD的长为（ CDAB

A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】C.

【解析】 ∵在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB，BC与AC是对应边，CD与BC是对应边， ∵BC=6，AC=3，

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∴△BCD与△ACB的相似比是故选C．

66，CD=BC=2． 333. 小彤观察门前一棵垂直于地面的树的影子，上午树的影子长4米，傍晚树的影子长9米，这两束光线如果刚好是互相垂直的，那么这棵树的高度是 米。 【答案】6. 【解析】 如图：

由题意得：∠CAD=90°，BC=9，DC=4， ∵AC⊥BD，

∴三角形ABC∽△DCA， ∴AC=BC×CD=4×9=36， ∴AC=6，

4. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）21·cn·jy·com

A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D．

【解析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方的性质进行判断： ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4. ∵△ABC的面积是3， ∴△A′B′C′的面积是：12．故选D．

5. 若?ABC∽?A?B?C?，相似比为1:2，则?ABC与?A?B?C?的面积的比为( )

A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1 【答案】C.

[来源:21世纪教育网]2

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【解析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵?ABC∽?A?B?C?，相似比为1:2， ∴?ABC与?A?B?C?的面积的比为1:4. 故选C.

三、【基础知识重温】

一）1．成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．

2．比例线段的基本性质

若＝，则ad=bc；当b＝c时，b=ad，那么b是a，d的比例中项． 3．线段的黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且＝acbd2

ACABBC5－1＝≈0.618，则C点叫做线段AB的黄金分割点．www.21-cn-jy.com AC2

4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等，对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似；2·1·c·n·j·y

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.相似三角形的性质

(1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比.

4.相似多边形的性质

(1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方.

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【解析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵?ABC∽?A?B?C?，相似比为1:2， ∴?ABC与?A?B?C?的面积的比为1:4. 故选C.

三、【基础知识重温】

一）1．成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．

2．比例线段的基本性质

若＝，则ad=bc；当b＝c时，b=ad，那么b是a，d的比例中项． 3．线段的黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且＝acbd2

ACABBC5－1＝≈0.618，则C点叫做线段AB的黄金分割点．www.21-cn-jy.com AC2

4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等，对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似；2·1·c·n·j·y

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.相似三角形的性质

(1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比.

4.相似多边形的性质

(1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方.

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