2017浙江省高考压轴卷 数学（理）附答案解析

2017浙江省高考压轴卷

数学（理）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟.

参考公式

球的表面积公式S?4?R 球的体积公式V?24?R3 3其中R表示球的半径 柱体的体积公式V?sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 椎体的体积公式V?1sh 31 hSé??Sé?S??S???3其中S表示椎体分底面积，h表示椎体的高 台体的体积公式V???其中Sé?,S?分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高 ?一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

xx

1.定义集合A={x|f（x）=2?1}，B={y|y=log2（2+2）}，则A∩?RB=（ ）

A．（1，+∞） B．10，1] C．10，1） D．10，2）

2.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 ( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 12

3.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）

A．21 B．20 C．19 D．18 4.下列命题正确的是（ ）

A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件

B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）

C．对于命题p：?x∈R，使得x﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x﹣x﹣6≤0 D．命题“若x﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x﹣x﹣6=0，则x≠3”

2

2

2

2

x2y22

5.已知第一象限内的点M既在双曲线C1：2?2?1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y=2px上，设C1

ab的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．2

B．3

C．1?2 D．2?3 6.已知函数f（x）=3sin（3x+φ），x∈10，π]，则y=f（x）的图象与直线y=2的交点个数最多有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

?2x-y+2?0?7.设x，y满足约束条件?8x?y?4?0,，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为18，则2a+b的最

?x?0,y?0?小值为（ ） A．4

B．27 C．47 D．414

?y,x?y23

8.记min{x，y}=?设f（x）=min{x，x}，则（ ）

?x,x?yA．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）

9.设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ） A． 若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ B． 若α⊥β，l∥β，则l⊥α C． 若则m⊥α，n⊥α，m∥n D． 若m∥α，n∥α，则m∥n

10.已知圆（x+1）+y=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为( ) A．1﹣1，1]

B．1﹣2，2]

C．

2

2

D．

二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中横线上） 11.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

?ex,x?0112.设函数f(x)??）=1的解集 ． ,，则f(f())= ，方程f（f（x）

2?lnx,x?0??13.要得到函数y?sin?2x? 个单位．

???的图象, 可将函数y?sin2x的图象向 平移 3?14.计算：log222= ，2log23?log43= ．

15.如图在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=

?，M、N分别是AB和SC的中点．则异面直2线SM与BN所成的角的余弦值为 ，直线SM与面SAC所成角大小为 ．

16.已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a+ab，则2a+b的最小值为 ． 17.在?ABC中，AE?2

32AB,AF?AC，设BF,CE交于点P，且EP??EC，FP??FB(?,??R)，43则???的值为 .

三、解答题（本大题共5小题共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.已知△ABC中角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足2asin(C?（Ⅰ）求A的值； （Ⅱ）若

?6)?b?c．

B??4,b?a?2?3，求△ABC的面积．

19.如图，矩形ABCD中，

AB=?(??1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为AD

直二面角．

（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；

（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈12，3]时，求cosθ的取值范围．

20.（本题满分15分）已知函数f(x)?(x?t)|x|(t?R)． （Ⅰ）求函数y?f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当t>0时，若f(x)）在区间1-1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)-m(t)的最小值．

x2y2132221.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x?y?相切．

ab24（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得NANB有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．

为定值？如果

an21?an(n?N*)， 22.各项为正的数列{an}满足a1?,an?1?2?（1）取??a，求证：数列?an?1?n?1??a?n?是等比数列，并求其公比；

（2）取λ=2时令

1，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正

bn?an?2整数n，2Tn+Sn为定值．

n+1

2017浙江省高考压轴卷

数学（理）

1.【答案】B

【解析】由A中f（x）=2?1x，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，

解得：x≥0，即A=10，+∞），

由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞）， ∵全集为R，∴?RB=（﹣∞，1]， 则A∩?RB=10，1]． 故选：B． 2.【答案】B

2??x?tx,x?0【解析】由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥.所以f(x)??2.故B正确.

?x?tx,x?0??3.【答案】B

【解析】设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，① a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，② 由①②联立得a1=39，d=﹣2， ∴Sn=39n+

×（﹣2）=﹣n+40n=﹣（n﹣20）+400，

2

2

故当n=20时，Sn达到最大值400． 故选：B． 4.【答案】C

【解析】A，“a＞9”是“a＞3”的必要不充分条件； B，函数f（x）=x﹣x﹣6的零点不是点，是方程的根；

C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，； D，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论； 【解析】

对于A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故错； 对于B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是3，﹣2，故错；

对于C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，正确； 对于D，命题“若x﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x﹣x﹣6≠0，则x≠3，故错； 故选：C 5.【答案】C

【解析】∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c，

若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形， 由于点M也在抛物线上， ∴过M作MA垂直准线x=﹣c 则MA=MF2=F1F2，

则四边形AMF2F1为正方形， 则△MF1F2为等腰直角三角形， 则MF2=F1F2=2c，MF1=∵MF1﹣MF2=2a， ∴2则（

c﹣2c=2a， ﹣1）c=a，

MF2=2

c，

2

2

22

则离心率e==故选：C

=1+，

6.【答案】C

【解析】令f（x）=3sin（3x+φ）=2， 得sin（3x+φ）=∈（﹣1，1）， 又x∈10，π]，∴3x∈10，3π]， ∴3x+φ∈1φ，3π+φ]； 根据正弦函数的图象与性质，可得

该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解， 即函数y=f（x）的图象与直线y=2的交点最多有4个． 故选：C． 7.【答案】C

?2x-y+2?0?【解析】作出约束条件?8x?y?4?0,所对应的可行域，（如图阴影）

?x?0,y?0?变形目标函数可得y=abx﹣z，其中a＞0，b＞0，

经平移直线y=abx可知，当直线经过点A（0，2）或B（1，4）时， 目标函数取最大值，显然A不合题意， ∴ab+4=18，即ab=14，

由基本不等式可得2a?b?22ab?47， 当且仅当2a=b=2故选：C．

时取等号，

8.【答案】C

【解析】x﹣x=x（1﹣x），

∴当x≤1时，x﹣x≥0，当x＞1时，x﹣x＜0， ∴

2??x,x?1f(x)??3,??x,x?12

3

2

3

2

3

2

．

若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，

若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t+（﹣t）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t﹣（﹣t）=2t，

当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，

∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t）， 故A错误，B错误；

当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）+（1﹣t）=﹣t+4t﹣t+2， 则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0），

2

3

3

2

3

3

33

3

故C正确；

令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）﹣（1﹣t）=t﹣2t+5t， 则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+

＞0，

2

3

3

2

∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，

∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t）， 故D错误． 故选C． 9.【答案】C

【解析】对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误； 对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；

对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确； 对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误； 故选C． 10.【答案】D

由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4． ∵圆上存在点Q使得∠CPQ=30°， ∴圆心到直线的距离d=

≤4，

∴0≤m≤.

11.【答案】3

【解析】如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线， 垂足分别为B、C，则：

|OF||FC|c6????3故答案为1 |OA||AB|a212.【答案】，，1e12?2?

1?0， 2【解析】∵f()?ln121ln111fln）=e2?． ∴f(f())?（222x＜0时，0＜e＜1，x=0时，e=1，方程f（f（x））=1，可得f（x）=0，lnx=0，解得x=1．

xx

f（x）＞0时，方程f（f（x））=1，可得ln1f（x）]=1，f（x）=e，即：lnx=e，解得x=e． 故答案为：第一问：； 第二问：{1，e}．

e

e

13.【答案】右,

? 6【解析】因为y?sin(2x????)?sin2(x?)，故只要将函数y?sin2x向右平移个单位即可，故答案为366?. 614.【答案】?，33 22212【解析】log12?log2??；

2?12?2?21故答案为：?，33．

22log23?log431log23?log2323log232=3?33．

3215.【答案】10?，． 54【解析】连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ

则NQ和SM平行，∠QNB（或其补角）即为SM和BN所成的角． 设SA=SB=SC=a，则AB=BC=CA=2a 因为∠ASB=∠BSC=∠CSA=

?，△ABC是正三角形，M、N、Q是中点 2所以：NQ?126145SM?a,MC?a,QB?a,NB?a 2424210 510， 5∴cos∠QNB?∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为

由题意，∠ASM为直线SM与面SAC所成角，∵SA=SB，∠ASB=∴∠ASM=

?， 2? 410?，． 54

故答案为

16.【答案】3?22

a2?3a?0，解得1＜a＜3． 【解析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a+ab，∴b?1?a2

a2?3a则2a+b=2a+=a﹣1+

1?a故答案为：3+217.【答案】

．

+3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．

7 533??3AP?AB??(AC?AB)(1??)????t??444【解析】由题设可得t?0,即?,也即[,??),(??,0),所以?,

2?AP?2AC??(AB?2AC)?2(1??)????33??31????55?2解之得?,故????,应填.

66???1?3?

18.【解析】

【解析】（Ⅰ）∵△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足2asin（C+∴2asinCcos∴∴∴

+2acosCsin

=

asinC+acosC=b+c，

）=b+c，

sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC， sinAsinC=cosAsinC+sinC，

sinA=cosA+1，

∴由sinC≠0，可得：

∴2sin（A﹣∴A=

．

）=1，sin（A﹣）=，

（Ⅱ）∵设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得：b﹣a=2R（sinB﹣sinA）=2R（∴R=1，可得：a=∵C=π﹣B﹣A=∴sinC=∴S△ABC=absinC=19.【解析】

证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC， ∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE… ∵AE⊥CE，BC∩CE=C， ∴AE⊥平面BCE…

∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…

（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系， 则AB=λ

，b=， ，

=

．

，

﹣）=﹣，

…

则

设平面EAC的法向量为

则，取x=1，则…

同理设平面FAC的法向量为∴

…

…

∵…

2??x?tx,x?020.【解析】（Ⅰ）解：（1）f(x)??2， ……………………………………1分

???x?tx,x?0当t?0时，f(x)的单调增区间为[,??),(??,0)，单调减区间为[0,]……3分 当t?0时，f(x)的单调增区间为(??,??) ……………………………………4分 当t?0时，f(x)的单调增区间为[0,??)，(??,]，单调减区间为[,0)……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

t2t2t2t2ttt?0时f(x)在(??,0)上递增，在(0,)上递减，在(,??)上递增

22t从而 当?2即t?4时，M(t)?f(0)?0，………………………7分

2m(t)?min{f(?1),f(2)}?min{?1?t,4?2t}………………………8分

所以，当4?t?5时，m(t)??1?t，故M(t)?m(t)?1?t?5………9分 当t?5时，m(t)?4?2t，故M(t)?m(t)?2t?4?6………………10分 当

t?2?t即2?t?4时，M(t)?f(0)?0 2tt2m(t)?min{f(?1),f()}?min{?1?t,?}??1?t……………11分

24所以，M(t)?m(t)?t?1?3………………………………………12分

当0?t?2时，M(t)?f(2)?4?2t………………………………………13分

tt2m(t)?min{f(?1),f()}?min{?1?t,?}??1?t

24所以，M(t)?m(t)?5?t?3………………………………………………14分 综上所述，当t?2时，M(t)?m(t)取得最小值为．………………………………15分

21.【解析】 （Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，

∴，

解得c=1，a=4，b=3 ∴椭圆方程为

222

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

则△＞0，，

若存在定点N（m，0）满足条件， 则有=

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

如果要上式为定值，则必须有

验证当直线l斜率不存在时，也符合． 故存在点22.【解析】

证明：（1）由λ=an+1，得

，∴

．

满足

两边同除可得：，解得．

∵an＞0，∴为常数，

故数列是等比数列，公比为1；

（2）当λ=2时，，得2an+1=an（an+2），

∴．

∴，

又，

∴

故2n+1Tn+Sn=

， =2为定值．

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