二次函数全章导学案

第二十六章二次函数

教材分析

本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。

本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。

教学目标

1.正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。

2.理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

3.了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。

4.培养学生的理性思维能力，辩证思维能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识与探究能力，数学建模能力以及数学交流能力。

5.通过现代信息技术的合理应用，教师在教学中适度地使信息技术描绘函数图象，动态地变换函数图象，让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具。

6.要使学生体验数学的文化价值，使学生感受数学美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观，价值观和辩证唯物主义世界观。

课时安排

本章教学时间约需11课时，具体安排如下：

26．1 二次函数…………………………1课时

26.1.2二次函数2

y ax

=的图象…………………………1课时

26.1.3二次函数()k

h

x

a

y+

-

=2的图象…………………3课时

26.1.4二次函数2

y ax bx c

=++的图象…………………………1课时

26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式…………………………1课时

26．2用函数观点看一元二次方程…………………1课时

26．3 实际问题与二次函数…………………2课时

全章总复习…………………1课时

第一课时 26.1.1 二次函数

学习目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 学习重难点：

重点：二次函数的定义

难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 学习过程：

一，复习引入 指导预习

1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如

0)k ≠（的函数是反比例函数。

看书回答： 1.什么叫二次函数？ 2.一般地,形如______________的函数,叫做二次函数。其中x 是________,a 是_______,b 是_______,c 是_____.

二.自主合作 探究新知 思考讨论下列问题：

1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式

为 。 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

。 归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x

是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 例1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB 的长为xm ，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC 的长，进而得出矩形的面积ym 2

AB 长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

BC 长(m)

面积y(m 2)

2．x 3．我们发现，当AB 的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y 是x 的函数，试写出这

个函数的关系式，

三.分层练习 变式提高

练习： (口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1

(3)y=2x 3－3x 2 (4)y=5x 4－3x ＋1

思考：1.当a=0时，y=ax 2＋bx ＋c 是 函数；当b=0时，y=ax 2＋bx ＋c 是 函数；当c=0时，y=ax 2＋bx ＋c 是 函数。

2.2

(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．

3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y ＝1－3x 2

(2)y ＝3x 2

＋2x (3)y ＝x (x －5)＋2 (4)y ＝3x 3

＋2x 2

(5)y ＝x ＋1

x

四.归纳提升 培养能力

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，

并写出函数关系式。 五.达标反馈 落实目标 1.若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数,则( ) A.a ＝1 B.a ＝±1 C.a ≠1 D.a ≠－1 2.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝x －1 C.y ＝8x D.y ＝8

x

2

3.下列函数中是二次函数的是( ) A.y ＝x ＋12 B. y ＝3 (x －1)2 C.y ＝(x ＋1)2－x 2

D.y ＝1x

2 －x

4.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s ＝5t 2＋2t,则当t ＝4秒时,该物体所经过的路程为 A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

5.已知y 与x 2

成正比例,并且当x ＝－1时,y ＝－3. 求:(1)函数y 与x 的函数关系式;(2)当x ＝4时,y 的值;(3)当y ＝－1

3

时,x 的值.

6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个

矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC 边长为x m,绿化带的面积为y m 2.求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.

第二课时 26.1.2二次函数2y ax =的图象

学习目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 学习重难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象是教学的重点。 难点：用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 学习过程：

一，复习引入 指导预习

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

2.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

3.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二.自主合作 探究新知

例1、画二次函数y=ax 2的图象。

x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 …

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x 2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 1.归纳：

① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；

②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ；③2x y =的图象开口_______；

④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2x y =的顶点坐标是 ；

它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0. ⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。 2.在例1图中，画出函数2

2

1x y =

，2x y =，22x y =的图象． 归纳：抛物线2

2

1x y =

，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 三.分层练习 变式提高

例2 请在同一坐标系中画出函数22

1

x y -=，2x y -=，22x y -=的图象

归纳：抛物线22

1

x y -=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是

__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

归纳：抛物线2ax y =的性质 图象（草图）

对称轴 顶点 开口方向 有最高或最低点 最值

a ＞0

当x ＝____时，y 有最

_______值，是______．

a ＜0

当x ＝____时，y 有最_______值，是______．

1.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。

2．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。

四.归纳提升 培养能力 谈谈你的收获？ 五.达标反馈 落实目标

1．函数27

3

x y =的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________

时，有最_________值是_________．

2. 函数26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．

3. 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m___________．

4. 二次函数y ＝mx 2

2

-m

有最高点，则m ＝___________．

5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．

6．若二次函数2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．

7．如图，抛物线①25x y -=②22x y -= ③25x y =④27x y = 开口从小到大排列是

___________________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。 8．点A （2

1，b ）是抛物线2

x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是 。 9．如图，A 、B 分别为2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，

则该抛物线的表达式为 。 10. 当m= 时，抛物线m m x m y --=2

)1(开口向下．

11.二次函数2

ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．

（1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．

第三课时 26.1.3二次函数()k h x a y +-=2

的图象（一）

学习目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y ＝ax 2＋b 的图象。

2、让学生经历二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 性质探究的过程，理解二次函数y ＝ax 2

＋b 的性质及它与函数y ＝ax 2的关系。

学习重难点：

重点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋b 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋b 的性质，理解函

数y ＝ax 2＋b 与函数y ＝ax 2

的相互关系。

难点：正确理解二次函数y ＝ax 2＋b 的性质，理解抛物线y ＝ax 2＋b 与抛物线y ＝ax 2的关系。 学习过程：

一.复习引入 指导预习

1．二次函数y ＝2x 2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______，函数y ＝ax 2与x

＝______时，取最______值，其最______值是______。

2.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。 由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 二.自主合作 探究新知

（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．

1列表： 2描点： 3连线：

根据图像填表

物线2x y =向______平移

思考：1.把抛______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛

物线12-=x y . 2．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。

归纳：（一）抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是 。 （二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax = 平移得到

的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。 （三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。

三.分层练习 变式提高 在同一直角坐标系中。函数y ＝－13x 2＋2图象与函数y ＝－13

x 2

的图象有什么关系?

要求画出函数y ＝－13x 2与函数y ＝－13x 2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y ＝－1

3x 2＋2

x … －3 －2 －

1

0 1 2 3 … 12+=x y … … 12-=x y … … 抛物线

开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 增减

性 2x y =

12+=x y

12-=x y

的图象与函数y ＝－13x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y ＝－1

3x 2＋2的图

象可以看成将函数y ＝－1

3

x 2的图象向上平移两个单位得到的。

四.归纳提升 培养能力

1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象具有什么关系? 2．你能说出函数y ＝ax 2＋k 具有哪些性质? 五.达标反馈 落实目标

1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当

x = 时，y 有最 值是 。

3．由抛物线352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2

x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

5. 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．

6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）. ⑴求该函数的表达式；

⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。

第四课时 26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2

的图象（二）

学习目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，理解函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系。 学习重难点：

重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，理

解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的相互关系是教学的难点。 学习过程：

一.复习引入 指导预习

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－1

2x 2－1的图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二.自主合作 探究新知

画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：

归纳：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直

线 ，顶点坐标是 。

图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；

在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的

增大而 。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成

的。

（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最

点，即x = 时，y 有最 值是 ；

在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时

x

y 随x 的增大而 。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。

引导总结：（一）抛物线2)(h x a y -=特点：

1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2y ax = 平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 三.分层练习 变式提高

问题1：在同一直角坐标系中，函数y ＝－13(x ＋2)2

图象与函数y ＝－13x 2的图象有何关系?

(函数y ＝－13(x ＋2)2的图象可以看作是将函数y ＝－1

3x 2的图象向左平移2个单位得到的。)

问题2：你能说出函数y ＝－1

3(x ＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

(函数y ＝－1

3(x 十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标是(－2，0))。

问题3：你能得到函数y ＝1

3(x ＋2)2的性质吗? 四.归纳提升 培养能力

1．在同一直角坐标系中，函数y ＝a(x －h)2的图象与函数y ＝ax 2的图象有什么联系和区别? 2．你能说出函数y ＝a(x －h)2图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。 五.达标反馈 落实目标

1．抛物线()2

23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

2. 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

3. 抛物线2

21y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；

4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．

5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2

123

y x =-

-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()2

42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．

8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式_______________．

第五课时 26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2

的图象（三）

学习目标：

1．使学生理解函数y=a(x －h)2＋k 的图象与函数y=ax 2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x －h)2＋k 性质的探索过程，理解函数y=a(x －h)2＋k 的性质。 学习重难点：

重点：确定函数y=a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x －h)2＋k 的图象与函数y=ax 2的图象之间的关系，理解函数y=a(x －h)2＋k 的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x －h)2＋k 的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k 的性质是教学的难点。 学习过程：

一、复习引入 指导预习

1．函数y=2x 2＋1的图象与函数y=2x 2的图象有什么关系? 2．函数y=2(x －1)2的图象与函数y=2x 2的．图象有什么关系?

3．函数y=2(x －1)2＋1图象与函数y=2(x －1)2图象有什么关系?函数y=2(x －1)2＋1有哪些性质? 二.自主合作 探究新知

在坐标中做出()2

12y x =--的图象： 观察：1. 抛物线()2

12y x =--开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。

2. 抛物线()2

12y x =--和2y x =的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”） 3. 抛物线()2

12y x =--是由2y x =如何平移得到的？ 4.平移前后的两条抛物线a 值变化吗？为什么？ 归纳：（一）抛物线2

()+y a x h k =-的特点：

1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。

二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 （三）平移前后的两条抛物线a 值 。

三.分层练习 变式提高

例.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?

练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.

(1) 直接写出点A 及抛物线顶点P 的坐标；

(2) 求出这条抛物线的函数解析式；

四.归纳提升 培养能力

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 五.达标反馈 落实目标

1.二次函数2)1(212

+-=x y 的图象可由22

1x y =的图象（ ）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

2.抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝

时，y 有最 值为 。

3.函数()2231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴

向 平移 个单位得到。 4.若把函数()2523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。 5. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线2

12

y x =相同的解析式为（ ）

A ．()21232y x =-+

B ．()2

1232

y x =+-

C ．()21232y x =++

D ．()2

1232

y x =-++

6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()2

2y x =-相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.

第六课时 26.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象

学习目标：

1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过

程，理解二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的性质。 学习重难点：

重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a

、

(－b 2a ，4ac －b 2

4a )是教学的难点。 学习过程：

一、复习引入 指导预习

1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?

4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝12x 2

-2x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

5．你能画出函数y ＝12x 2

-2x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二.自主合作 探究新知 1.如何把函数y ＝12

x 2

-2x+21化为y=a(x －h)2

＋k 的形式？ 2.请说出函数y ＝12x 2-2x+21的开口方向、对称轴、顶点坐标。

3.根据以上信息列表、描点、连线画出函数y ＝12x 2

-2x+21的图像。 4观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；

②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。

③该抛物线与y 轴交于点 。④该抛物线与x 轴有 个交点.

x y B P A M O

5.你能把二次函数2

y ax bx c

=++化成顶点式吗？说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋b

a x)＋c ＝a[x

2＋

b

a x＋(

b

2a)

2－(

b

2a)

2]＋c ＝a[x2＋

b

a x＋(

b

2a)

2]＋c－

b2

4a＝a(x＋

b

2a)

2

＋4ac－b2

4a

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴是x＝－b

2a，顶点坐标是(－b

2a，

4ac－b2

4a)

三

四

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。

五.达标反馈落实目标

1．填空：

(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

(2)抛物线y＝2x2－2x－5

2

的开口_______，对称轴是_______；

(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；

(4)抛物线y＝－1

2x

2＋2x＋4的对称轴是_______；

(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－x2－2x

(3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝1

2x

2－4x＋3

4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质第七课时 26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式学习目标

1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

学习重难点

重点：用待定系数法求二次函数解析式

难点：根据条件选取适当的解析式

学习过程

一、复习引入指导预习

1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)2＋k，顶点是(－h，k)。配方:y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋

b

2a)

2＋4ac－b2

4a。对称轴是x＝－

b

2a，顶点坐标是(－

b

2a，

4ac－b2

4a), h＝－

b

2a，k=

4ac－b2

4a, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

二.自主合作探究新知

例1已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。

小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

例2已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。

三.分层练习变式提高

练习：根据下列条件求二次函数解析式

（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；

（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；

例3已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

想一想:还有其它方法吗?

小结： 一般地，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 四.归纳提升 培养能力

1、二次函数解析式常用的有三种形式：

（1）一般式：_______________ (a ≠0) （2）顶点式：_______________ (a ≠0)

（3）交点式：_______________ (a ≠0)

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式。（3）当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)。 五.达标反馈 落实目标

1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．

2.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________．

3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。

4. 已知双曲线x

k

y =与抛物线2y ax bx c =++交于A(2,3)、B (m ,2)、c (－3, n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,

5.如图，直线33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0），

（1）求该抛物线的解析式；

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 第八课时 26.2用函数观点看一元二次方程 学习目标

1．总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程

有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

4.通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．

学习重难点

重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 难点:二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 学习过程

一、复习引入 指导预习

1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由________________确定。

2不解方程判断下列方程的根的情况。

（1）x 2+x-2=0 （2） x 2 - 6x +9=0 （3） x 2 – x+ 1=0

二.自主合作 探究新知

问题 如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系h ＝20t —5t 2。

考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？

x

y

-1-2-3-4123-1-2-3

-4

1234O x

y

C B A O

（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？

由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？

问题的讨论

二次函数（1）y ＝x 2＋x －2；（2） y ＝x 2－6x ＋9；（3） y ＝x 2－x ＋0。的图象如图26.2－2所示。

（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？

（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。 归纳：一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，

（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根。

（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。

例 利用函数图象求方程x 2－2x －2＝0的实数根（精确到0.1）。

解：作y ＝x 2－2x －2的图象（图26.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7。 所以方程x 2－2x －2＝0的实数根为x 1≈－0.7,x 2≈2.7。 三.分层练习 变式提高

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1）方程02=++c bx ax 的根为___________； （2）方程23ax bx c ++=-的根为__________； （3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；

（4）不等式20ax bx c ++>的解集为________；

（5）不等式20ax bx c ++<的解集为_____ ___；

2.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++????；（7）0a b c -+????；

四.归纳提升 培养能力

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 五.达标反馈 落实目标

1.不与x 轴相交的抛物线是( )

A y=2x2 – 3

B y= - 2 x2 + 3

C y= - x2 – 2x

D y=-2(x+1)2 - 3

2.如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿ 个交点.

3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.

4.抛物线y=x2-3x+2 与y 轴交于点＿＿＿＿,与x 轴交于点＿＿＿ ＿.

5.抛物线y=2x2-3x-5 与y 轴交于点＿＿＿＿,与x 轴交于点 .

6.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D 不能确定

第九课时 实际问题与二次函数（1） 学习目标：

1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

2、应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。

3、在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。 学习重难点：

重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值。 难点：建立二次函数模型 学习过程：

一、复习引入 指导预习

1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点

坐标是 . 当a>0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。

2. 二次函数y=-3(x+4) 2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。

3.二次函数y=2x 2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。 二.自主合作 探究新知

问题1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，若其中一边长为l，面积为100m2，可列方程为____________

问题2：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，若其中一边长为l，当l是多少时，场地的面积S最大？

1.矩形面积S随矩形一边长l的变化而______.

2.s=______

3.当l=______时，s最大=______

探究一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

思考：1）题目中有几种调整价格的方法？

（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？

讨论：先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出件,每件利润为元，因此，所得利润为元∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元.

(2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。

由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?

探究二看书自学

总结：解决这类问题的一般步骤是：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三.分层练习变式提高

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？

四.归纳提升培养能力

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?

2．谈谈你的学习体会。

五.达标反馈落实目标

1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。则定价才能使利润最大，最大利润是。

2.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。则定价才能使利润最大，最大利润是。

3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 问增种多少棵橙子树，果园的总产量最高，若每个橙子市场售价约2元，果园的总产值最高约为多少？

4.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

第十课时实际问题与二次函数（2）学习目标：

1．根据实际问题建立适当的坐标系，选择恰当的解析式求二次函数解析式；

2.经历数学建模的基本过程，体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值

重点难点：

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点；用二次函数的性质解决简单的实际问题。

难点：建立适当的坐标系，选择恰当的解析式求二次函数解析式。

学习过程：

一、复习引入指导预习

1.根据下列条件求二次函数的解析式：

（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）

(2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）

（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）

2.给你长8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

二.自主合作探究新知

探究三：一座抛物线形拱桥，当水面在ι时，拱顶离水面2m，

水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？

分组讨论：1.你认为A、B、C、D四点，哪一点作为原点

较好？X轴、y轴怎么规定呢？

2.下列各种建立坐标系的方法中如何求抛物线的解析式？通过计算比较哪种方法简便？

（0、

0）

-2

（2、

-2）

o

X

（0、

0）

（4、

0）

y

（2、

2）

x

o

（-2、

0）

（2、

0）

（0、

2）

x

y

o （-4、

0）

（0、

0）

（-2、

2）

Y

O X

3选择适当方法解决问题，写出解题过程。

三.分层练习 变式提高

如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB 时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水面宽为10米。

（1）求抛物线型拱桥的解析式。

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始， 在持续多少小时才能达 到拱桥顶？

（3）若正常水位时，有一艘

宽8米，高2.5米的小船 能否安全通过这座桥？

四.归纳提升 培养能力

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 五.达标反馈 落实目标

1.如图，用长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃．设花圃的一边AB 为xm ，面积为ym 2． （1）求y 与x 的函数关系式；

（2）如果要围成面积为63m 2的花圃，AB 的长应是多少？

(3)能围成比63m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

2．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽

是

2m ，抛物线的解析式为21

44

y x =-+。

（1）一辆货运车车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？

（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m ，那么这辆卡车是否可以通过？

第十一课时 第二十六章 二次函数（复习） 学习目标：

1. 通过复习掌握二次函数的概念，掌握二次函数的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax 2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。

2.理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与X 轴的位置关系并能做出判定。

3.使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

4．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。 重点难点：

1．重点：二次函数的图像和性质

2．难点：根据实际问题建立二次函数模型。 学习过程：

一.复习引入 指导预习

1．二次函数的概念，二次函数的图象性质。 2．抛物线与x 轴有哪几种位置关系？怎么判定？ 3．如何用二次函数解决实际问题？

二.自主合作 探究新知 例1：已知函数4

m m

2

x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，

抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?

例2：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。

例3.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一

A B 20m

C

段墙体(墙体的最大可使用长度a＝10米)。

(1)如果所围成的花圃的面积为45平方

米，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比

45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最

大面积，并说明围法，如果不能请说明理由．

三.分层练习变式提高

例4：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，

且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标，

(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥

BC，垂足为D，求点M的坐标。

四.归纳提升培养能力

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?

2．谈谈你的学习体会。

五.达标反馈落实目标

1.如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物

线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积

相等，

2.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年

销售量将是原销售量的y倍，且y＝－

1

10

x2＋

3

5

x＋1，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告

费。 (1)试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式．

(2)如果投入广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次?

(3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?

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