第6章 参数的点估计

概率教案（第6章）

第六章 参数估计

数理统计是一门应用性很强的基础数学学科，以概率论为理论基础，侧重于应用随机现象本身的规律性来考虑资料的收集、整理和分析，从而对研究对象的客观规律作出种种合理的和科学的估计和推断。

这一章属于数理统计部分。其研究对象——随机现象，是一门应用性很强的科学，以概率论为基础。但是与概率论相反的学科。概率论主要是在已知总体的分布情况下，求局部发生的概率；而数理统计在未知总体分布的情况之下，从总体中提取数据，对这些数据进行处理来研究总体的具体情况。 点估计

参数估计

数理统计的核心：统计推断 区间估计

假设检验

§6.1总体与样本

一、总体与样本

1．总体：把研究对象的全体叫做总体，用X表示（数量指标：随机变量X取值的全体） 个体：组成总体的每个元素，叫做个体；

对总体的数量指标X而言，每个个体所取的值是不同的，在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这一数量指标X是一随机变量，我们对总体的研究就是对相应随机变量X的分布的研究．X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征，今后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X．

2．样本：从总体X中随机地抽取一部分个体（n个），测得观测结果X1，X2，…，Xn，

称X1，X2，…，Xn，是一个来自总体的样本；

样本值：X1，X2，…，Xn，观察值x1，x2，…，xn，称为样本值； 样本容量：样本中所含个体的数量。 X总体 简单随机样本（满足）： （1）X1，X2，…，Xn相互独立； （2）X1，X2，…，Xn与总体同分布。 X1， X2， …， Xn，样本 注意：如果抽取的个数远小于总体个数，可近似认为简单 随机样本；从理论上讲，抽取样本越多，观察效果越好， 但实际上却不是，要尽量少，而且能体现总体规律性；还 x1， x2， …， xn样本值 有些观察行不通：带有破坏性，如：灯泡的寿命。

例1 设X1,X2,X3,L,X16是总体X:N(1,4)的标本，求（1）Y=解 由题意知X1,X2,X3,L,X16独立同服从N(1,4) （1）所以由定理3.5知Y=?162

}

i=1?16Xi服从正太分布N(m,l2)，其中

i=1 1

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m=E(Y)=?16E(Xi)=16

i=116l2=D(Y)=?D(Xi)=64

i=1\\Y:N(16,64)

其密度为 f(x)=12p×8e-(x-16)2128

（2）P12

§6.2统计量

样本是进行统计推断的依据，在应用时往往不是直接使用样本本身，而是利用样本的适当函数来进行统计推

断，为此我们引入统计量的概念．

设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，g(X1,X2,?,Xn)是样本的连续函数．如果g

中不包含未知参数，则称g(X1,X2,?,Xn)是一个统计量．若x1,x2,?,xn是相应于样本X1,X2,?,Xn的观察值，则g(x1,x2,?,xn)是统计量g(X1,X2,?,Xn)的观察值．

注意：统计量g(X1,X2,?,Xn)是随机变量的函数，因而是一个随机变量． 下面介绍几种常用的统计量．

设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值．

1n例：全体学生平均身高，利用X??Xi来推断。

ni?1设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，Xn的样本值。

下面介绍几种常用的统计量．

设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值． 1.样本均值 观察值

1n1nX??Xi x??xi （6.1）

ni?1ni?12.样本方差 观察值

2

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1nS?(Xi?X)?n?1i?1

n21?(?Xi2?nX)n?1i?1222

1ns?(xi?x)?n?1i?1 （6.2）

n21?(?xi2?nx)n?1i?122样本标准差 观察值

2n1n12S?S?(xi?x) （6.3） ?(Xi?X) s?s?n?1?n?1i?1i?123.样本k阶矩 观察值

1nk1nkAk??Xi,k?1,2,? ak??xi,k?1,2,? （6 .4）

ni?1ni?1例1 从某厂生产的同种零件中抽得10个零件，测得重量(单位千克)为10.1，10，9.8，10.5，9.7，10.1，9.9，10.2，10.3，9.9，求（1）样本均值X（2）样本方差S（计算器的使用）

2§6.3常用的统计分布

在数理统计中，由总体X中获得样本后，通常是借助于样本的函数对未知总体进行统计推断，为了实现这

一目的，需要了解样本的函数所服从的分布，即统计量的分布．本节介绍几种常用分布．

一、?2分布

定义6.1 设X1,X2,?,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称随机变量

?2?X12?X22???Xn2 （6.5）

服从自度为n的?2分布，记为?2~?2(n)，其中n是上式右边独立变量的个数． 可以证明?2(n)分布具有概率密度

nx?1??1x2e2?n?nf?2(n)(x)??22?()2???0x?0 （6.6）

其他其中?（s）=???0e?x?xs?1dx(s?0)是?（伽马）函数， f?2(n)(x)的图形见图6-1．

f?2?n??x? f?2?n??x? n?1 n?3 n?4 n?5 o o x 图6-1 图6-2

? ??2?n? x 3

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可以证明下述结论 ：

1)设?2~?2(n)，则E(?2)?n, D(?2)?2n； 2）?221~?2(n1), ?222~?2(n2)，且?1，?2相互独立， 则

?221??2~?2(n1?n2)

设?2~?2(n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件

P{?2??2?(n)}??

的点?22?(n)为?(n)分布的上?分位点（见图6-2）．

对于不同的?,n的上?分位点?2?(n)的值已制成表格可以查用（见附表）． 如?20.01(19)?36.191．

二、t分布

定义6.2 设X~N(0,1),Y~?2(n) 且X,Y相互独立，则称随机变量

T?XY/n 服从自由度为n的t分布，记为T~t(n)．

t(n)分布的概率密度为

?(n?1)2n?1fT(x)?2(1?x)?(???x???) （6.8）?n??(n22)nfT(x)的图形见图6-3．

fT?x? T?x? n?10 f n?4 n?1 ?

图o6-3 x 图o6-4 t??n? x 可以证明limfT(x)1?x22n???2?e

设T~t(n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件

P{T?t?(n)}??

的点t?(n)为t(n)分布的上?分位点（见图6-4）．

6.7）

4

（

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t?(n)的值可查附表，在n?44时可利用t?(n)?Z?得到．

三、F分布

定义6.3 设X~?2(m),Y~?2(n) 且X,Y相互独立，则称随机变量

F?X/m （6.9） Y/n服从自由度为m,n的F分布．记为F~F(m,n)．

由定义知道，F~F(m,n)则

1~F(n,m)． FF(m,n)分布的概率密度为

mm?m?nm22?1)()x??(2n??n fF(x)??mnmxm2??(2)?(2)(1?n)??0x?0其他 （6.10）

fF(x)的图形见图6-5．

设F~F(m,n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件P{F?F?(m,n)}??的点F?(m,n)为

F(m,n)分布的上?分位点（见图6-6）

fF?x? o fF?x? ? 图6-5 图6-6 x o F??m,n?xF?(m,n)可自附表查到．它具有性质

F1??(m,n)?

1．

F?(n,m)四、正态总体的统计分布

设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的样本，则由定理3.5有

21n?2X??Xi~N(?,) （6.11）

ni?1n 5

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或

X??~N(0,1) （6.12）

?/n定理1

(n?1)S22?12?(Xn2i2且X与S相互独立． ?X)~?2(n?1) （6.13）

??i?1 （证明见附录）。 定理2

X??S/n~t(n?1) （6.14）

证明：由（6.12）及（6.13）按t分布定义有

x-mx-msnSn=(n-1)S2:t(n-1) s2n-1

F10.95(10,20)?F?1?0.36

0.05(20,10)2.77

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§6.4参数的点估计（参数的近似值）

参数估计：实际工作中碰到的总体X，它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。 例如：产品的质量指标X~ N（μ，σ2），但μ，σ2未知，借助于总体X的一个样本来估计。 由于μ=E（X），可测得x1，x2，…，x10，用x来估计μ。 分为参数的点估计和参数的区间估计。

例1 某地区去年每月因交通事故死亡的人数如下：

3 ，2， 0， 5， 4， 3， 1， 0， 7， 2， 0， 2

假设每月交通事故死亡的人数X服从参数为?的泊松分布，?未知，??0，试估计参数?．

解 由于X~P(?)，所以??E(X)

设X1,X2,?,Xn是总体X~P(?)的样本，由大数定律知

1npX??Xi???E(X)??

ni?1故可以用

X的观察值

x作为?的估计值．于是

?的估计值为

x?

1(3?2?0?5?4?3?1?0?7?2?0?2)?2.417． 12参数点估计：总体X的分布函数F（x;?1,?2?,?k）的形式是已知的，其中?1,?2?,?k是待估计的参数。点估计问题就是根据样本（X1,X2,?,Xn）对?1,?2?,?k进行估计。

??h（X,X,?,X）叫做θ的估计量 估计量：X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，?12n（此时是随机变量）

??h（x,x,?,x）叫做θ的估计值（此时估计值：将样本值x1，x2，…，xn，代入（X1,X2,?,Xn），得到?12n是个具体数值）

对于不同样本值，估计值一般是不同的。 常用的方法：矩估计法，极大似然估计法 一、矩估计法

英国统计学家皮尔逊提出的，古老而直观的方法。

思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。 具体做法：

如果总体的分布含有k个待估计的参数?1,?2?,?k，若E（X）存在，令?i?E(Xi)(i?1,?,k)也是

k?1,?2?,?k的函数，这样就构造了k个方程组，从中解出?i?gi(?1,?,?k)(i?1,?,k)

1ni现实生活中，用样本的i阶原点矩：Ai??Xj

nj?1

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?i?Ai(i?1,2,?,k) 来估计相应的?i，即???g(A,?,A)(i?1,?,k) 用A1,?,Ak来估计相应?i，?ii1k?(??1)x?,0?x?1例1．设总体X的概率密度为f(x;?)??，其中θ>-1为待估参数。设X1,X2,?,Xn是来自

0,其他?总体X的一个样本，试求θ的矩估计量。 解：总体的一阶矩为?1?E(X)??????xf(x;?)dx=?x(??1)x?dx=

01??1??21??1x|0? ??2??2n??11?2A11??A1?，其中A1??Xi?X ????2A1?1ni?1???1?2X??1?2x为θ的估计值。 为θ的估计量，而?x?1X?1若X为连续型，其概率密度为f(x;?1,?2)时：

?1?E(X)??xf(x;?1,?2)dx??1(?1,?2)

?????2?E(X2)??x2f(x;?1,?2)dx??2(?1,?2)

?????1(?1,?2)?A1，??2(?1,?2)?A2 令???h(X,?,X)，???h(X,?,X)估计量 解得?111n221n??h(x,?,x)，???h(x,?,x)估计值 ?111n221n???1?x??e,x??，其中μ，θ（θ>0）为待估参数。设X,X,?,X是

例2．设总体X的概率密度为f(x;?,?)???12n??0,其他来自X的样本。试求μ，θ的矩估计量。 解：?1?E(X)?2???????xf(x;?,?)dx=????xe1?x????dx=μ+θ

?2?E(X)??x2f(x;?,?)dx=μ2+2θ（μ+θ）

??令μ+θ=A1，μ2+2θ（μ+θ）=A2

1n21n22?解得??A2?A1?Xi?X?(Xi?X)2 ??ni?1ni?1n1??X???X?? ?(Xi?X)2 ?ni?1例3．设总体X的均值μ，方差σ2>0均未知，X1,X2,?,Xn是来自样本总体X的样本，试求μ，σ2的矩估计量。

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解：?1?E(X)??，?1?E(X2)?D(X)?E2(X)??2??2 令A1??，A2??2??2

1n??A2?A??(Xi?X)2 ??A1?X，?解得：?ni?1221由此题可见，总体均值可用样本均值估计，总体方差可以用样本方差来估计。 二、极大似然估计法

基本思想：若事件A的概率依赖于未知参数θ，如果观察到A已经发生，那么就取θ的估计值使A的概率为最大。（极大似然法的直观想法：如果随机试验的结果得到样本观察值x1,x2,?,xn，则我们应当这样选取?，使这组样本观察值出现的可能性最大，作为?的估计值??．）

1．设总体X为离散型，其分布律为P{X=x}=p（x；θ），θ??为待估参数，设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则样本取到的样本值x1,x2,?,xn的概率为

P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}=P{X1?x1}P{X2?x2}?P{Xn?xn}

=

?P{Xi?1ni?xi}??p(xi;?)

i?1n令L（θ）=L（x1,x2,?,xn；θ）=

nn?p(x;?)——极大似然函数

ii?1inLnL（θ）=ln?p(x;?)=?lnp(x;?)

ii?1i?1dL(?)dlnL(?)??f(x,x,?,x) ?0或?0从而得到?12nd?d?d2L(?)?0，极大似然估计值 且

d?2例4．设总体X~π（λ），λ>0为待估参数，设X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本，试求λ的极大似然估计值和估计量。

解：由题可知P{X=x}=p（x；λ）=

?xe??x!(x?0,1,2,?)/*难点：整理部分*/

L（λ）=

?i?1n?exi??xi!=

??xii?1ne?n?i?x!i?1n

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LnL（λ）=?n???x?ln???x!

iii?1nnni?1xi?dlnL(?)1ni?1???n?令=0，得???xi?x估计值

d??ni?11n?其估计量???Xi?X

ni?12．设总体X为连续型，其概率密度为f(x;?),???，设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本，则

X1,X2,?,Xn的联合概率密度为 f(x1;?)f(x2;?)?f(xn;?)=?f(xi;?)

i?1nLnL（θ）=

?f(x;?)——极大似然函数

ii?1n?(??1)x?,0?x?1例5．f(x;?)??（θ>-1，待估参数）

0,其他?解： L（θ）=

?f(x;?)=(??1)?x?

niii?1i?1nnLnL（θ）=nln(??1)???lnx

ii?1nndlnL(?)n???1????lnxi令=0，得?d???1i?1n?lnxi?1n为极大似然估计值

i若含两个待估参数： L（θ1，θ2）=

?f(x;?,?)或?p(x;?,?)令

i12i12i?1i?1nn?lnL?lnL=0，=0 ??1??2例6．设X~N（μ，σ2）；μ，σ2>0未知，x1,x2,?,xn为一个样本值，求μ，σ2的极大似然估计。 解：f(x;?,?2)n1e2???(x??)22?2(???x???)

n?22?12?2L（μ，σ2）=

?i?1?1e2??(xi??)2?2=(2??)e?(xi??)2i?1n

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n1n2lnL（μ，σ）=?[ln2??ln?]?(xi??)2 2?22?i?12

n?lnL1n?lnLn12=0 ??2(?xi?n?)=0，???(x??)?i2222???i?1??2?2(?)i?1n?xx????i?1?x??解得? nn?21???(xi?x)2??ni?1?3.评定估计量好坏的标准

对于总体分布中一个未知参数，可提出不同的估计量

??如例1和例5中θ的估计量，矩估计：?1?2X X?1???1?极大似然估计：?n?lnXi?1n

i这就出现了比较好坏的问题，给出评定好坏标准

下面介绍三个常用的评定估计量好坏的标准： 1）无偏性

?????(X,X,?,X)为参数θ的一个估计量，若E（??）=θ，则称??为θ的一个无偏估计量。称|E（??-θ）设?12n|为系统误差。

1nk例7．试证：无论总体的分布如何，样本k阶原点矩Ak??Xi是总体k阶原点矩?k?E(Xk)的无偏估计（当

ni?1k=1时，X是μ的无偏估计）

n1nk11n1nkkkk证明：E(Ak)?E(?Xi)=E(?Xi)=?E(Xi)=?E(X)?E(X)??k

ni?1ni?1ni?1ni?1例8．试证：无论总体（E（X）=μ，D（X）=σ2）分布如何，S2是σ2的无偏估计

1n证明：S=(Xi?X)2，E（X）=μ，D（X）=σ2/n， ?n?1i?12

n11n1222E（S）=E[]=E[]=[nE（X2）-nE（X）] (X?X)(X?nX)??iin?1n?1i?1n?1i?12

11[n（σ2+μ2）-n（σ2/n+μ2）]= （n-1）σ2=σ2 n?1n?1n?12n?122

M2=S，E（M2）=σ≠σ，所以M2不是σ2的无偏估计

nn=

11

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1n/* M2=n?(Xi?X)2*/

i?1纠偏：

nn?1 M2 例9．设总体X~U（0，θ），证明???max(X1,X2,?,Xn)是有偏的。 ?1?0,x?0证明：f(x)???,0?x??，分布函数F??x??X(x)?,0?x??，则 ?0,其他???1,??x?Fz)?[F(z)]n??0,z?0???zn?nzn,0?z????(??n,0?z??，其概率密度f??(z)???n

??1,??z??0,其他E（z）=

???nnnzn?1??zf(z)dz???0?nzdz??n?nn?1|0?n?1??? 纠偏

n?1nmax(X1,X2,?,Xn) 2）有效性

设??1，??2同为θ的无偏估计，若D（??1）≤D（??2），则认为??1更为有效。

例10．总体X~π（λ），X1,X2,?,Xn为来自总体的样本 则

??1?X1， E(??1)?E(X1)?? ???112?2X1?2X2，E(?2)?E(12X1?12X2)?? ??3?13X1?23X2，E(??3)?E(13X1?23X2)??都是λ的无偏估计 D(??1)?D(X1)?? D(??2)?D(12X1?12X2)?14D(X1)?14D(X2)??2 D(??)?D(13X?23X)?19D(X)?49D(X)?5312129? 显然??2更有效 nn例11．证明：X与

?ciXi（

i=1）同为E（X）=μ的无偏估计，但X更有效

i?1?ci?1nn证明：E（X）=μ，E（

?ciXi）=

iXi)=μ

i?1?cE(i?1

12

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X）=?2D（n，

nnnD（

?c22iXi）=

i

i?1?cD(X)??2iii?1?ci?1n2n2nnn?ci?2n)2i?1，进而i?1?1i?1?c?(?1?ci?c21i?i?1i?1i?1n n也就是说D（X）≤D（?ciXi）

i?13）一致性

若???0，lim?n??P{|???|??}?1，????P??，则称??为θ的一致估计量。

如弱大数定理

nlimP{|X??|??}?1，X??P??，同理AP??k????k?E(Xk)

X是总体均值μ的无偏，有效，一致估计量

S2是总体方差σ2的无偏，有效，一致估计量

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§6.5区间估计

?去估计未知参数，由于??是一个随机变量，由一组样本确定的，不会总是恰好与θ相等，有一定的误用点估计?差。也就是说点估计值仅仅是未知参数的一个近似值不能反映这个近似值的误差范围。区间估计正好弥补了点估计这个缺点。

/*区间尽量小，未知参数落在这个区间的概率尽可能大*/ 1．定义：设总体X的分布函数F（x；θ），其中含有一个未知参数θ，对于给定α（0<α<1），如果有两个统计量：θ=θ(X1,?,Xn)，???(X1,?,Xn)使P{θ<θ

θ θ

一、单个正态总体X~N（μ，σ2） 1．μ的置信度为1-α的置信区间

下面通过解决一个实际问题来考察求置信区间的一般方法

例1．某车间生产滚珠，滚珠的直径X~N（μ，σ2），随机取6个X1,?,X6为一个样本， （14.7，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1）为一组观测值，给定置信度1-α=0.95，求μ的置信区间。

X?16?6Xi~N（μ，σ2/6）

i?1分析：P{μ<μ

X?1n?nXX??i~N（μ，σ2/n）令Z=

~N（0，1） i?1?/n给定1-α，由分位点定义

P{?z??z?z?}? P{?zx?????/n?z?}=1-α?

2222P{x??nz?????x?2nz?}=1-α

2

14

概率教案（第6章）

则μ的1-α置信区间为（x??nz?,x?2?nz?）

2例1．给出σ=0.2，n=6，计算x=14.97，α=0.05，z?=1.96（查表）

2/*?(z?)=1-α/2=0.975?z?=1.96*/

22经计算得到μ的0.95置信区间为（14.81，15.13） 构造枢轴量的步骤： 1） 从点估计出发 2） 含有待估参数 3） 不含其他未知数 4） 分布已知 （1）σ2未知 T=

fT?x? X??~t（n-1），其中T为枢轴量

S/n?t??n? 2o t??n? x 2P{?t?(n?1)?2x??ss?t?(n?1)}=1-α?P{x?t?(n?1)???x?t?(n?1)} s/nnn222sst?(n?1),x?t?(n?1)） n2n2得μ的1-α置信区间为：（x?16例1．若σ未知，计算s=(xi?x)2，查表t0.975(5)=2.5706 ?5i?1得到μ的0.95置信区间为（14.76，15.18） 2．σ2的置信度为1-α的置信区间 只考虑μ未知的情况

??2(n?1)S2?2~?2(n?1)枢轴量

P{?2?(n?1)?1?22

(n?1)s2?22???(n?1)}=1-α

2f?2?n??x? (n?1)s2(n?1)s2得σ的1-α置信区间为：（2） ,2??(n?1)??(n?1)1?o ?2?n? ?2?n? x 总结解题步骤：

?1??221） 列出已知条件

2） 确定待估计参数的区间 3） 计算 4） 查表 5） 回代

例2．在某一计算机终端上调试程序，其响应时间X（以S计）具有正态分布X~N（μ，σ2），μ，σ2未知，今测得X的样本值如下：

2215

概率教案（第6章）

1.48 1.26 1.52 1.56 1.48 1.46；1.30 1.53 1.28 1.43 1.43 1.55；1.57 1.51 1.53 1.74 1.68 1.37；1.47 1.61 1.44 1.43 1.64 1.51；1.51 1.60 1.65 1.60 1.64 1.50

试求（1）μ的置信度为0.95的置信区间（2）求σ2的置信度为0.95的置信区间。 解：

（1）已知n=30，置信度1-α=0.95，α=0.05 μ的置信度为0.95的置信区间为（x?snt?s?(n?1),xt?(n?1)） 2n2计算x=1.5097，s=0.1143 查表t0.025(29)=2.0452 回代得（1.4670，1.5524）

（2）求σ2

的置信度为0.95的置信区间为（(n?1)s2(n?1)s2?2,2） 1??(n?1)??(n?1)22计算s2=0.0131，查表?2?20.025(29)=45.722，0.975(29)=16.047

回代得（0.0083，0.0237）

二、双正态总体X~N（?221,?1），Y~N（?2,?2），X与Y相互独立

1．均值差?1??2的估计 /*构造含有?1??2的枢轴量*/ 设X1,X2,?,Xn1，Y1,Y2,?,Yn2分别为来自总体X，Y的样本 （1）?221,?2均已知

1n1?2n2我们知道X?n?X(?112?2i~N1,)，Y??Yi~N(?2,)

1i?1n1n2i?1n2则X?Y~N(?1???212,n??22

1n)2令Z=

(X?Y)?(?1??2)?2）

1?2~N（0，12n?1n2由单正态总体的区间估计可知?1??2的置信度为1-α的置信区间： （X?Y??2?212?22n?1nz?，X?Y??2122n?z?）

1n22（2）?221,?2均未知，但相等 令T=

(X?Y)?(?1??2)~t(n1?nS112?2)

pn?1n2

16

概率教案（第6章）

2(n1?1)S12?(n2?1)S2其中Sp?，则还是由单正态总体的区间估计可知?1??2的置信度为1-α的置信区间：

n1?n2?2（X?Y?t?(n1?n2?2)Sp21111，X?Y?t?(n1?n2?2)Sp） ??n1n2n1n22例3．为提高生产率，试验加入催化剂，得到以下两组数据

2旧：n1=8，x=91.73，s1=3.89，X~N（?1,?12）

22新：n1=8，y=93.75，s2=4.02，Y~N（?2,?2）求?1??2的0.95的置信区间。

2解：由题意1-α=0.95，则α=0.05，?12,?2均未知，但相等，则?1??2的1-α的置信区间为

（X?Y?t?(n1?n2?2)Sp21111，X?Y?t?(n1?n2?2)Sp） ??n1n2nn1222(n1?1)S12?(n2?1)S2计算Sp?=3.96?1.99

n1?n2?2查表t0.025(14)=2。1448，代入得到（-4.15，0.11） /*从这个区间上可以看出?1??2的可能性比较大*/ 2．方差比?1/?2的置信区间（?1,?2未知） 我们知道

22(n1?1)S12?212221~?(n1?1)，

22(n2?1)S2?22~?2(n2?1)

(n1?1)S12令F=

??/(n1?1)/(n2?1)2(n2?1)S22S12/S2?22~F(n1?1,n2?1) ?1/?2则?/?2122置信度为

S121S121-α的置信区间：（2，2S2F?(n1?1,n2?1)S2F21?1）

(n?1,n?1)?122例4．为比较两个煤矿所产煤的质量，测得一下的发热两（以百万卡/吨计）

煤矿A：8500 8330 8480 7960 8030 煤矿B：7710 7890 7920 8270 7860

设样本依次来自总体X~N（?1,?1），Y~N（?2,?2），但?1,?1，且两样本独立，试求方差比?1/?2?2,?2均未知，的置信度为0.90的置信区间。 解：?/?2122置信度为

222222S121S121-α的置信区间：（2，2S2F?(n1?1,n2?1)S2F21?1）

?(n1?1,n2?1)2已知1-α=0.90，则α=0.10，n1=n2=5

17

概率教案（第6章）

2计算S12=63450，S2=42650，

查表F0.05(4,4)=6.39，F0.95(4,4)?1=0.157

F0.05(4,4)2回代得到（0.233，9.506）由此可见?12??2的概率比较大

18

概率教案（第6章）

习题六

1．设X1,X2,X3为来自均值为?，方差为?的总体的样本． 求（1）D(

（2）E(X1?X2?X3)2

2．设X1,X2,X3是总体N(?,?2)的样本，其中?已知，?未知． （1）写出

（2）写出X1,X2的联合概率密度；

（3）指出1(X1?X2?X3)，X1?X2?2?，max{X1,X2,X3}，2(X1?X2?X3)中哪些是统计量，

?3哪些不是统计量．

2222

11X1?X2?X3) 232

11X1?X2?X3的概率密度； 2313．假设某种设备每天停机时间服从均值为??4小时，标准差为??0.8小时的分布． （1）求一个月（30天）中，每天平均停机时间在1到5小时的概率．

（2）求一个月（30天）中，总的停机时间不超过115小时的概率．

4．已知样本观测值为

15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.8 19.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，计算样本均值X及样本方差

S2．

19

概率教案（第6章）

5．填空题

2（1）设X1,X2,?Xn是抽自总体N(?,?2)的样本，X，S分别为样本均值和样本方差，则 X~ 分布；

nX??X??~ 分布；~ 分布；

?/nS/n

?(i?1Xi??2? 分布； )~?(i?1nXi?X2?)~ 分布．

（2）设随机变量X~N(?,1)，Y~?2(n)，且二者独立，则T?

X??~ 分布． Y/n（3）设X,Y相互独立，且X~?2(8),Y~?2(10)，则X?Y~ , E(X?Y)? ．

（4）设X1,X2,?Xn为总体B(1,p)的样本，0?p?1为常数，X为样本均值，则P{X?}? ．

6．设总体X~N(40,52)

（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X在38与43之间的概率．

（2）抽取样本容量多大时，才能使P{|X?40|?1}达到0.99．

7．设X1,X2,?X16是来自总体N(?,?)的样本，其中

2kn?,?2均未知，S2为样本方差，求

P{S2/?2?2.041}? ．

8．设X1,X2,?X10为总体N(0,0.3)的一个样本，求P{

9．设X1,X2,?Xm是来自总体?(n)的样本，求样本均值X的期望及方差．

22?Xi?1102i?1.44}

20

概率教案（第6章）

10．灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命（小时）数据如下： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值．

11．设X1,X2,?Xn为抽自二项分布B(m,p)的样本，m已知，求p的矩估计和极大似然估计．

12．设X1,X2,?Xn是来自总体X~P(?)的样本，?未知(??0)，求?的矩估计与极大似然估计．

13．设总体X的概率密度为

??(1?x)??1f(x,?)??,0?x?1?0,其它

其中?未知，X1,X2,?Xn为来自总体X的样本． 求?的矩估计量及极大似然估计量．

14．设总体X的概率密度为

?1?1xf(x)???e?,x?0

???0,x?0X1,X2,?Xn为总体X的样本．

求 （1）?的矩估计量与极大似然估计量． （2）证明所求估计量为?的无偏估计量．

21

概率教案（第6章）

15．一个电子线路上电压表的读数X服从[?,??1]上均匀分布，其中?是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设X1,X2,?Xn是此电压表上读数的一组样本． （1）证明样本均值X不是?的无偏估计． （2）求?的矩估计量，证明它是?的无偏估计．

?)??2,D(??)??2，取 ?和??都是?的无偏估计，且D(?16．设?112212??c???(1?c)??(0?c?1) ?12（1）证明??是?的无偏估计

?,??相互独立，确定c使D(??)达到最小． （2）如果?12

17．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 ，设干燥时间X~N(?,?)，求?的置信度为95%的置信区间 （1）??0.6(h)

（2）?未知

18．某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径均值为x?14.91，直径的标准差

2s?0.203，设滚珠直径服从正态分布，求

（1）直径的均值?的置信度为0.95的置信区间．

（2）直径的方差?的置信度为0.95的置信区间．

222

概率教案（第6章）

19．已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2)，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 ，求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间．

20．欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣，现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从N(?1,2.182)和

N(?2,1.762)，试验者从这两种棉纱中分别抽取样本X1,X2,?X200和Y1,Y2,?Y100，其均值为X?5.32Y?

21．随机地从A批导线中抽取4根，从B批导线中抽取5根，测得电阻(?)为： A： 0.143 0.142 0.143 0.137

B： 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设A, B两批导线的电阻分别服从正态分布N(?1,?12)和N(?2,?22)，?1,?2,?12,?22未知． 求：(1)当?12??22??2时，求?1??2的置信度0.95的置信区间．

?1??2的置信度为0.95的置信区间． 5.，求均值差76?12（2）方差比2的置信度为0.95的置信区间．

?2

22．设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)，X1,X2,?X9与Y1,Y2,?Y9分别来自总体X和Y的样本．证明：U?2X1?X2???X9Y?Y2???Y92122~t(9)．

23

概率教案（第6章）

补充与提高

23．填空

（1）已知一批零件的长度X（单位 cm）服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则?的置信度为0.95的置信区间是 ． （附表：?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95）

（2）设总体X~N(?1,?2)，总体Y~N(?2,?2)，X1,X2,?Xn1和Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的

?(X样本，则E[

i?1n1i?X)??(Yj?Y)22j?1n2n1?n2?2]? ．

（3）设总体X的概率密度为f(x)?1?|x|e2(???x??)，X1,X2,?Xn为总体X的样本，其样本方差为

S2，则E(S2)? ．

24．选择

（1）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）

222 （A） X?Y服从正态分布 （B）X?Y服从?分布

X2 （C） X和Y都服从?分布 （D）2服从F分布

Y22

2

（2）设随机变量T服从分布t(n)，对给定?(0???1)，数t?(n)满足P{T??t(n)}??，若

P{|T?|t}??，则t等于（ ）

(A) t?/2(n) (B) t1??/2(n) (C) t1??(n) (D) t1??(n)

2

（3） 设X1,X2,?Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则（ ）

2(n?1)X(n?1)X12~t(n?1)（D）n~F(1,n?1) （A）nX~N(0,1)（B）nS~?(n) （C）

S?Xi222i?2

24

概率教案（第6章）

（4）设一批零件的长度服从N(?,?2)，其中?,?2均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值

x?20cm，样本标准差s?1cm，则?置信度为0.90的置信区间是（ ）

（A） (20?

25．设某种元件的使用寿命X的概率密度为

1111t0.05(16)) （B）(20?t0.1(16)) （C） (20?t0.05(15)) （D）(20?t0.1(15)) 4444?2e?2(x??),x?? f(x,?)?? x???0,其中??0未知，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的极大似然估计值．

26．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的样本值，已知Y?lnX服从正态分布N(?,1)，求： （1）X的数学期望E(X)．

（2）求?的置信度为0.95的置信区间；

（3）利用上述结果求b?E(X)的置信度为0.95的置信区间．

27．设总体X服从N(?,?)，从该总体中抽取样本X1,X2,?X2nn212n(n?2)，其样本均值为X??Xi，

2ni?1求统计量Y?

?(Xi?12的数学期望E(Y)． ?X?2X)in?i25

概率教案（第6章）

28．设总体X的概率分布为 0 1 2 3 X p ? 2?(1??) ? 1?2? 22其中?(0???)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3.求?的矩估计值和极大似然估计值．

29．设总体X的分布函数为

121??1??,F(x,?)??x??0,x?1x?1

其中未知参数??1，X1,X2,?Xn是来自总体X的样本． 求（1）?的矩估计量．

（2）?的极大似然估计量．

30．设总体X的概率密度为

??,?f(x,?)??1??,?0,?0?x?11?x?2 其它其中?是未知参数(0???1)，X1,X2,?Xn为来自总体X的样本，记N为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数．

求（1）?的矩估计．

（2）?的极大似然估计．

26

概率教案（第6章）

28．设总体X的概率分布为 0 1 2 3 X p ? 2?(1??) ? 1?2? 22其中?(0???)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3.求?的矩估计值和极大似然估计值．

29．设总体X的分布函数为

121??1??,F(x,?)??x??0,x?1x?1

其中未知参数??1，X1,X2,?Xn是来自总体X的样本． 求（1）?的矩估计量．

（2）?的极大似然估计量．

30．设总体X的概率密度为

??,?f(x,?)??1??,?0,?0?x?11?x?2 其它其中?是未知参数(0???1)，X1,X2,?Xn为来自总体X的样本，记N为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数．

求（1）?的矩估计．

（2）?的极大似然估计．

26

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