2019届高三适应性测试数学(理科A)试题(2019)

华中师大一附中高三2019年五月适应性考试

数学试题（理工农医类）

（试卷类型：A ）

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

祝考试顺利

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．若集合{|2,}x M y y x R ==∈,{|1}P y y x ==≥, 则M

P = A ． {|1}y y > B ． {|1}y y ≥

C ． {|0}y y >

D ． {|0}y y ≥ 2．在复平面内，复数23i z i =-

+在复平面内所对应的点在 A ． 第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．设(5n x -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为

A ．－150

B ．150

C ．－500

D ．500

4．设{n a }为公比大于1的等比数列，若2008a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，则

20102009a a +=

A ．16

B ．18

C ．24

D ．27 5．12,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

6．对于函数32()1f x x ax x =+-+的极值情况，3位同学有下列看法：

甲：该函数必有2个极值；

乙：该函数的极大值必大于1；

丙：该函数的极小值必小于1；

这三种看法中，正确的的个数是

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

7．将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的21倍，得到函数)6

cos(π-=x y 的图象．另一方面函数)(x f 的图象也可以由函数12cos 2+=x y 的图象按向量平移得到，则可以是

A ．(,1)12π-

B ．(,1)12π

C ．(,1)6π-

D ．(,1)6

π 8．如果关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是两次投掷骰

子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率=P

A ．181

B ．91

C ．61

D ．18

13 9．若a ，b ，0>c 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为

A ．13-

B ．13+

C ．232+

D ．232-

10．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，顶点S 在底面内的射影O 在正方形ABCD 的内部（不在边上），且SO a λ=，λ为常数，

设侧面,,,SAB SBC SCD SDA 与底面ABCD 所成的二面角依次为1234,,,αααα，则下列各式为常数的是

①12cot cot αα+

②13cot cot αα+

③23cot cot αα+

④24cot cot αα+

A ．①②

B ．②④

C ．②③

D ．③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11．设函数()y f x =存在反函数1()y f

x -=，且函数2()y x f x =-的图象过点(2,3)，则函数1()2y f x x -=-的图象一定过点 ．

12．已知函数2,0()1,

0a b x f x x x x x x ?+>?=+??+≤?在R 上连续，则a b -= ．

13．已知a 、b 、c 、d R +

∈，且满足下列两个条件：

①a 、b 分别为回归直线方程y bx a =+的常数项和一次项系数，其中x 与y 之间有

②20

c d +=；则ac bd +的最小值是 ． 14．A B C 、、是球面上三点，且2cm AB =，4cm BC =，

60ABC ∠=，若球心O 到截面ABC 的距离为，则该球的表面积为 ．

15．设30(,)|41x y M x y y x ?+-≥?????=≤??????≤???

， Q 是x 轴上一个动点，定点(2,3)R ,当点P 在M

所表示的平面区域内运动时，设||||PQ QR +的最小值构成的集合为S ，则S 中最大的数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，已知O 为ABC ?的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、

C 的对边，且满足CO AB BO CA ?=?．

（Ⅰ）证明：2222c b a +=；

（Ⅱ）求tan tan tan tan A A B C

+的值．

17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） C A B O

某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m 处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m 处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m 处击中目标的概率为12

，且各次射击都相互独立． （Ⅰ）求选手甲在三次射击中命中目标的概率；

（Ⅱ）设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，上、下两个底面ABCD 和1111A B C D 互相平行，且都是正方形，1DD ⊥底面ABCD ，111222AB A B DD a ===．

（Ⅰ）求异面直线1AB 与1DD 所成的角的余弦值；

（Ⅱ）试在平面11ADD A 内确定一个点F ，使得1FB ⊥平面11BCC B ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角1F CC B --的余弦值． 1D

1C 1B

B 1A D

C A

19．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

以12(0,1),(0,1)F F -为焦点的椭圆C 过点P (

2，1)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过点S (13

-，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 对于函数()f x ，若存在,0R x ∈使得.)(00x x f =则称0x 为函数)(x f 的一个不动点．比如函数()ln(1)h x x =+有唯一不动点.0=x 现已知函数c

bx a x x f -+=2)(有且仅有两个不动点0和2．

（Ⅰ）试求b 与c 的关系式；

（Ⅱ）若2c =，各项不为0的数列{}n a 满足,1)1(

4=?n n a f S 其中n S 为{}n a 的前n 项和，试求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设{}.,1项和的前为数列n b T a b n n n

n -=记20092010,ln 2010,1,A T B C T ===-试比较A ,B ,C 的大小，并说明理由．

21．(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效．

） 已知定义在实数集上的函数()n n f x x =，n N *∈，其导函数记为()n f x '，且满足： 22212121211

()()()[()]f f f ξξξξξξξλ'=+-+-12()ξξ≠，12,,λξξ为常数．

（Ⅰ）试求λ的值；

（Ⅱ）设函数21()n f x -与(1)n f x -的乘积为函数()F x ，求()F x 的极大值与极小值；

（Ⅲ）试讨论关于x 的方程11(1)1(1)1

n n n n f x f x λλ++'+-='+-在区间(0,1)上的实数根的个数．

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