13级线性代数期末统考的通知

华南理工大学广州学院基础部

关于2014年《线性代数》期末统考的通知

通知要点

一、

二、 三、

考试时间、重点内容与要求 考试的形式与试卷结构 题型示例与答案

一、考试时间、考试的重点内容与要求

考试时间：2014年1月15日（第20周周三上午9:00—11:00） 考试的范围是《线性代数》（同济大学·第五版）第一、二、三、四、五章。以下按章次明确考试的重点与要求：

第一章 行列式

1. 理解行列式的定义，会用对角线法则计算二三阶行列式；

2. 掌握余子式，代数余子式的概念，会求行列式的余子式和代数余子；

3. 理解行列式的性质和行列式按行按列的展开式，会利用行列式的性质及按行（列）展 开式计算高阶行列式；

3. 会求低阶的范德蒙行列式；

4. 掌握克拉默法则，会应用克拉默法则讨论方程组解的情况及求解方程组。

第二章 矩阵及其运算

1. 理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊的矩阵；

2. 掌握矩阵的加减法及数乘、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算 性质；

3. 理解伴随矩阵、可逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵法求矩阵 的逆阵，会用逆矩阵求解矩阵方程； 4. 了解分块矩阵的概念和运算。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1.掌握用初等行变换法把矩阵化成阶梯形矩阵和行最简形矩阵；

2.知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。 3.理解矩阵的秩的概念，掌握求矩阵的秩的方法，会求矩阵的最高阶非零子式。

4.掌握非齐次线性方程组无解、有唯一解或有无穷多个解的充要条件，齐次方程组有唯一零解、非零解的充要条件，会判断两类线性方程组解的情况。

5.掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法（包括求非齐次线性方程组及齐次线性方程组的通解）。

1

第四章 向量组的线性相关性 1.理解n维向量的概念，了解向量组的概念及向量组与矩阵的对应。

2.了解向量组的线性组合的概念，知道向量组线性相关、线性无关的概念，掌握判断向量组线性相关和线性无关的方法。

3.知道向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，知道向量组的秩和矩阵秩的关系，会求向量组的秩和最大无关组，以及用最大无关组来表示向量组的其余向量。

4.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并熟悉基础解系的求法。理解非齐次线性方程组通解的结构。

第五章 相似矩阵及二次型

1.了解向量的内积、长度及正交性。

2.理解矩阵特征值、特征向量的概念及性质。会求矩阵的特征值和特征向量。

最后我们指出，上述列出的各章内容与要求是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实，既要弄清概念、又要掌握运算规则、总结解题方法；同时还要注意行列式、矩阵、矩阵的初等变换等知识的区别与联系，通过做题熟练掌握内容，加深理解。

二、考试的形式、试卷结构

1. 考试形式为闭卷、笔试。满分100分，考试时间为120分钟。

2. 试卷内容比例：行列式约占20%，矩阵及其运算约占20%，矩阵的初等变换与线性方程组

约占30%，向量组的线性相关性约占20%，相似矩阵及二次型10%。

3. 试卷题型比例：选择题占15%，填空题占25%，计算题占30%，证明题占14%，解答题占16%.

三、题型示例与答案

一．选择题（在每小题的四个选项中，选出正确答案，并将正确答案填写在题干后的括号内。本题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设A、B是方阵，则下列命题中正确的是（ ） A. 若 A与B可交换，则(A+B)?A?2AB?B B. 若k为常数，?AB??AkBk

2C. 若A?E,则A?E或 A??E

222

k D 若矩阵C?0,且AC=BC, 则A=B

*?12. 设A、B均为n阶方阵，A?2,B??3,A是A的伴随矩阵，则3AB? ( )

* 2

n?1n?1A. 3 B. 6 C. ?6 D. 6

nn3. 已知n阶矩阵A，B和C都是可逆矩阵，且ABC?E，则下列结论必成立的是( )。

A. ACB?E B .CBA?E C . BAC?E D. BCA?E

4. 设n维向量组?1，?2，，则下述结论正确的是（ ）。 ?，?s（3 ? s ? n）A. 若?1?1??2?2????s?s?0，则向量组?1，?2，?，?s线性相关。

B. 若向量组?1，?2，?，?s线性相关，则任何一个向量都可由其余向量线性表示。 C．若存在一组不全为0的数?1，?2，?，?s，有?1?1??2?2????s?s?0 则向量组?1，?2，?，?s线性相关。

D. 若向量组中任意两个向量线性无关，则向量组?1，?2，?，?s线性无关 5. 设A,B都是对称矩阵，则下述论述中不正确的是（ ）

?1A. A+B也是对称矩阵 B. 对于n阶可逆矩阵P， PBP 为对称矩阵

C. 对任意的n阶矩阵Q ，QAQ 为对称矩阵 D.若A，B可交换，则AB为对称矩阵 二、填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

T1１. 计算行列式a1bb21c?__________。 c2a2?x1?4x2?0２.齐次线性方程组?有非零解的充要条件是______________________

2x??x?0?12ab３. 设4阶行列式D4?cabaddccccdd，则A11?A21?A31?A41?___________________ ab４. 设n阶矩阵A可逆，则A的秩R（A）= _______________．

?１??０??０???????则向量组

５．已知向量组?1?１,?2?３,?3?０，?1,?2,?3线性______________.

???????２??０??５???????

3

三、计算题（本大题共5小题，每小题６分，共30分）

?121??010?T????1．已知矩阵A?2?10，B?210，求?AB?.

?????110??021?????２.计算行列式（任选一道）

31?1231131302?513?4131 D1=2 D2?3-4297D3?01?1113222031?53?3111?012??11?????3．解矩阵方程114X?01 ?????2?10???10?????1113

?11123???2?1388?的列向量组的秩R(A)，并求向量组的一个最大无关组，将其4．求矩阵A=???32?1?9?5???01?2?3?4??余向量由这组最大无关组线性表示。

?x1?2x2?x3?x4?0?5．解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ，用基础解系表示其通解。

?5x?10x?x?5x?0234?1

四．证明题（本大题共２小题，每小题7分，共14分）

1. 如果向量组设向量?1,?2,?3线性无关，?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1。 证明：向量组?1,?2,?3线性无关。 2. 若A为n阶可逆矩阵，证明：（1）(kA)?1k?1?1k（2）(A)?(A)。 ?k?1A?1；

五．解答题（本大题共２小题，每小题8分，共16分）

?kx1?x2?x3?k?3?1． k取何值时，非齐次线性方程组?x1?kx2?x3??2

?x?x?kx??223?1（1）有唯一解；（2）无解；（3）无穷多个解？并用向量形式表示其通解。

4

?400???（1）求A的特征值和特征向量。*?1２．已知矩阵A?532，（2）求A与A的特征值，

????202???参考答案

（以下答案仅作为参考，并非详细答案，做题时须注意解题步骤）

一．选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） A C D C B

二. 填空题。（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

1. (b?a)(c?a)(c?b) 2. ?=8 3. 0 4. R(A)?n 5. 线性无关 三. 计算题（本大题共5小题，每小题６分，共30分）

?4?22???1. 512 ???100???2.

3?521110?5?123?413?1?35?110?5110?5?113?1130D1=?511511?62?620??30?10?40. =?111?1=?5?50?5?50?5?50

3130231300+231300312D2?3?4297?3?4300-3?3?4300?3?4?3??5

2220322200+322200223D3=48

?012???3.X??114??2?10???

-1??1??11??1????01=32?（或用初等行变换法） ?????10???????1?1??2??11123??10??r?012?1388???4.???32?1?9?5??00???01?2?3?4???00020?111001??0?，R(A)=3，?1,?2,?3是最大无关组。?2?0? 5

?4=2?1??2??3,?5=?1?2?3,

?x1???2??1???2??1???????????x1012??c??，方程组的基础解系为????,???0? 5. ???c1?1?x3??0?2?0??0?2?0????????????0??1??0??1??x4?

四、证明题（本大题共２小题，每小题7分，共14分） 1.证明：设存在λ1,λ2,λ3?R，使得 ?1?1+?2?2+?r?3=0

??1??3?0a,a,?,ar线性无关，则?????0

化简得 (?1??3)a1?(?1??2)a2???2+?3?a3?0 又因为12?12????=03?2解得 ?1??2??3?0 所以，?1, ?2, ?3线性无关. 2.证明：（1）?(kA)?1?1?1??1?A???k??AA?1??E，?(kA)?1?A?1?k?1A?1；

k?k??k?k1?1?1k（2）(Ak)?1?(?AA?A)?1???A?1?A??A?????????(A)

k五、解答题（本大题共２小题，每小题9分，共１8分）

k 1. （1）当方程组的系数行列式A?111k1? (k?1)2(2?k)?0时方程组有唯一解，

11k即k?1 或 k??2

（2）当 k?1时， R(A)?R(B)?1?3 ， 方程组有无穷多解。 通解为

??x1??-1??-1??-2???????? x?c1?c?2?1??2?0?+?0??0??1??0??x????????3?（3）当k??2 时， R(A)?R(B)，方程组无解。 2. （1）A的特征多项式为

4??A??E?5?203??002?（4-?)(3??)(2??)?0 2??所以A的特征值为?1?4,?2?3,?3?2

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??1???当?1?4时，解方程组(A?4E)x?0得基础解系?1???3?,，所以k?1是对应于?1?4的全部特征

?1????0???向量。当??3时，解方程组(A?3E)x?0得基础解系?2??0?,所以k?2是对应于?2?3的全部特

?1????0???征向量。 当??2时，解方程组(A?2E)x?0得基础解系?3???2?,所以k?3是对应于?3?2的

?1???全部特征向量。

**（2）A的特征值??A?分别为?1*=6,?2*=8,?3*=12

A?1的特征值???111分别为?1?=,?2?=,?3?= ?4321

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