应用时间序列分析习题答案

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第二章习题答案 2.1

（1）非平稳

（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图

2.2

（1）非平稳，时序图如下

（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图

应用时间序列分析习题答案

2.3

（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118

（2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4

LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平 =0.05，序列不能视为纯随机序列。 2.5

（1）时序图与样本自相关图如下

应用时间序列分析习题答案

（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6

（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机

第三章习题答案

3.1 解：E(xt) 0.7 E(xt 1) E( t)

(1 0.7)E(xt) 0 E(xt) 0 (1 0.7B）xt t

xt (1 0.7B) 1 t (1 0.7B 0.72B2 ) t Var(xt)

1

2 1.9608 2

1 0.49

2 12 0 0.49 22 0

3.2 解：对于AR（2）模型：

1 1 0 2 1 1 2 1 0.5

0.31120112 2

7/15解得： 1

2 1/15

3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(xt) 0

原模型可变为：xt 0.8xt 1 0.15xt 2 t

应用时间序列分析习题答案

Var(xt)

1 2

2

(1 2)(1 1 2)(1 1 2)

(1 0.15)

2=1.9823 2

(1 0.15)(1 0.8 0.15)(1 0.8 0.15)

1 1/(1 2) 0.6957 11 1 0.6957

2 1 1 2 0 0.4066 22 2 0.15 0.2209 33 01221 3

3.4 解：原模型可变形为：

2

(1 B cB)xt t

由其平稳域判别条件知：当| 2| 1， 2 1 1且 2 1 1时，模型平稳。 由此可知c应满足：|c| 1，c 1 1且c 1 1 即当－1<c<0时，该AR(2)模型平稳。

3.5证明：已知原模型可变形为：

(1 B cB cB)xt t

其特征方程为： 3 2 c c ( 1)( 2 c) 0 不论c取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

3.6 解：（1）错， 0

23

Var(xt) 2/(1 12)。

2

2

（2）错，E[(xt )(xt 1 )] 1 1 0 1 /(1 1)。

T(l) 1xT。 （3）错，x

（4）错，eT(l) T l G1 T l 1 G2 T l 2 Gl 1 T 1 T l （5）错，limVar[xT l

l

l

1 T l 1 12 T l 2 1l 1 T 1

1[1 12l]212

T(l)] limVar[eT(l)] lim x 。 2l l 1 21 11

1 4 12 1

1 1 3.7解： 1 2

2 11 1

MA(1)模型的表达式为：xt t t 1。

3.8解法1：由xt= + t 1 t 1 2 t 2，得xt 1= + t 1 1 t 2 2 t 3，则

应用时间序列分析习题答案

xt 0.5xt 1=0.5 + t ( 1 0.5) t 1 ( 2 0.5 1) t 2+0.5 2 t 3， 与xt=10+0.5xt 1+ t 0.8 t 2+C t 3对照系数得

0.5 10, 20, 0.5 0 0.5, 1 1

0.5 0.8，故 0.55,。

1 2 2

C 0.275 0.5 2 C

解法2：将xt 10 0.5xt 1 t 0.8 t 2 C t 3等价表达为

1 0.8B2 CB3

xt 20 t

1 0.5B 1 0.8B2 CB3 (1 0.5B 0.52B2 0.53B3 ) t

展开等号右边的多项式，整理为

1 0.5B 0.52B2 0.53B3

CB3

合并同类项，原模型等价表达为

0.54B4 0.5CB4

0.8B2 0.8 0.5B3 0.8 0.52B4

xt 20 [1 0.5B 0.55B 0.5k(0.53 0.4 C)B3 k] t

2

k 0

3

当0.5 0.4 C 0时，该模型为MA(2)模型，解出C 0.275。

3.9解：：E(xt) 0

Var(xt) (1 1 1

2

2

2) 2 1.65 2

1 1 2 0.98 0.5939 1.651 12 22

20.4 0.2424 k 0，k 3。

1 12 221.65

2

3.10解法1：（1）xt t C( t 1 t 2 )

xt 1 t 1 C( t 2 t 3 )

x t 1 xt t C t 1 t 1 xt 1 t (C 1) t 1

C

应用时间序列分析习题答案

即 (1 B)xt [1 (C 1)B] t

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2） yt xt xt 1 t (C 1) t 1为MA(1)模型，平稳。 1

1C 1

22

1 1C 2C 2

k

解法2：（1）因为Var(xt) lim(1 kC2) 2 ，所以该序列为非平稳序列。

（2）yt xt xt 1 t (C 1) t 1，该序列均值、方差为常数，

22E(yt) 0,Var(yt) 1 (C 1)

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关

1

C 1

, k 0,k 2

1 (C 1)2

所以该差分序列为平稳序列。

3.11解：（1）| 2| 1.2 1，模型非平稳；

1 1.3738 2 -0.8736

（2）| 2| 0.3 1， 2 1 0.8 1， 2 1 1.4 1，模型平稳。 1 0.6 2 0.5

（3）| 2| 0.3 1， 2 1 0.6 1， 2 1 1.2 1，模型可逆。 1 0.45＋0.2693i 2 0.45－0.2693i

（4）| 2| 0.4 1， 2 1 0.9 1， 2 1 1.7 1，模型不可逆。 1 0.2569 2 -1.5569 （5）| 1| 0.7 1，模型平稳； 1 0.7 | 1| 0.6 1，模型可逆； 1 0.6

（6）| 2| 0.5 1， 2 1 0.3 1， 2 1 1.3 1，模型非平稳。 1 0.4124 2 -1.2124

应用时间序列分析习题答案

| 1| 1.1 1，模型不可逆； 1 1.1。

3.12 解法1： G0 1，G1 1G0 1 0.6 0.3 0.3，

Gk 1Gk 1 1k 1G1 0.3 0.6k 1,k 2

所以该模型可以等价表示为：xt t

0.3 0.6

k

k 0

t k 1。

解法2：(1 0.6B)xt (1 0.3B) t

xt (1 0.3B)(1 0.6B 0.62B2 ) t (1 0.3B 0.3*0.6B2 0.3*0.62B3 ) t t 0.3*0.6j 1 t j

j 1

G0 1，Gj 0.3*0.6j 1

3.13解：E[ (B)xt] E[3 (B) t] (1 0.5)2E(xt) 3

E(xt) 12。

3.14 证明：已知 1

11

， 1 ，根据ARMA(1,1)模型Green函数的递推公式得：

42

G0 1，G1 1G0 1 0.5 0.25 12，Gk 1Gk 1 1k 1G1 1k 1,k 2

0 1

1

GG

j

j 0

j 1

2

1

2j 31

G

j 0

j

j 0

2j

1 12(j 1)

j 1

j 1

15

1 12 12 14 157 0.27

141 12 14261

1 12

21

k

GG G

j 0

j k

G G

j

1

j k 1

2j

j 0

1

GG

j

j 0

j 0

j k 1

G

j 0

2j

G

1 k 1,k 2

2j

3.15 （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立

应用时间序列分析习题答案

3.16 解：（1）xt 10 0.3*(xt 1 10) t， xT 9.6

T(1) E(xt 1) E[10 0.3*(xT 10) T 1] 9.88 x

T(2) E(xt 2) E[10 0.3*(xT 1 10) T 2] 9.964 x

T(3) E(xt 3) E[10 0.3*(xT 2 10) T 3] 9.9892 x

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj 1j，j 1，2， eT(3) G0 t 3 G1 t 2 G2 t 1 t 3 1 t 2 12 t 1 Var[eT(3)] (1 0.32 0.092)*9 9.8829

％的置信区间： xt 3的95[9.9892-1.96*.8829，9.9892＋1.96*.8829]

即[3.8275,16.1509]

T(1) 10.5 9.88 0.62 （2） T 1 xT 1 x

T 1(1) E(xt 2) 0.3*0.62 9.964 10.15 x

T 1(2) E(xt 3) 0.09*0.62 9.9892 10.045 x

Var[eT 2(2)] (1 0.32)*9 9.81

％的置信区间： xt 3的95[10.045-1.96×.81，10.045＋1.96*9.81]

即[3.9061,16.1839]。

3.17 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.18 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

应用时间序列分析习题答案

3.19 （1）平稳非白噪声序列 （2）MA(1)

(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）

3.20 （1）平稳非白噪声序列 （2）ARMA(1,3)序列

（3）拟合及5年期预测图如下：

第四章习题答案 4.1 解：

T 1 x

T 2 x

1

(xT xT 1 xT 2 xT 3)4

15551 T 1 xT xT 1 xT 2) xT xT 1 xT 2 xT 3(x416161616

所

5 xxx以，在T 2中T与T 1前面的系数均为16。

4.2 解 由

t xt (1 )x t 1 x

t 1 xt 1 (1 )x tx

代入数据得

应用时间序列分析习题答案

t 5.25 5(1 ) x

t

5.26 5.5 (1 )x

解得

t 5.1x

0.4(舍去 1的情况)

4.3 解：（1）

11

21 (x20 x19 x18 x17+x16) x13+11+10+10+12）=11.2

55

11 22 (x 21+x20 x19 x18 x17) 11.2+13+11+10+10）x=11.04

55

（2）利用

t 0.4xt 0.6x t 1 x 21 x 20 x1xxx且初始值0进行迭代计算即可。另外，22 该

题详见Excel。11.79277

（3）在移动平均法下:

19

11 X XX2120i55i 16

19

111 X X XX222120i555i 17

1116a

55525

在指数平滑法中:

22 x 21 x 20 0.4x20 0.6x 19x

b 0.4

6

b a 0.4 0.16。

25

4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1 )有（2）式成立

t t (t 1) (1 ) (t 2) (1 )2 (t 2) (1 )3 (1)x t (1 )x

t (1 ) (t 1) (1 ) (t 2) (1 ) (2)

2

3

（1）-（2）得

应用时间序列分析习题答案

t t (1 ) (1 )2 x

t t (1 ) (1 )2 x t

1

1

t tx

则lim lim t tt t

1。

4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.7 本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考

（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下

（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：xt Tt St It。（注：如果用乘法模型也可以）

首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）

0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566 1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179

消除季节影响，得序列yt xt Stx，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：

Tt 97.70 1.79268t，t 1,2,3,

（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）

应用时间序列分析习题答案

得到残差序列It xt Stx yt Tt，残差序列基本无显著趋势和周期残留。

预测1971年奶牛的月度产量序列为xt Tt Smod t x

得到

,t 109,110, ,120

771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989 839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327

（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为

趋势拟合图为

应用时间序列分析习题答案

4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar）或曲线指数平滑（expo）进行预测（trend=3）。具体预测值略。

第五章习题

5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 xt=xt-1+ t,估计下一天的收盘价为289 5.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。

拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：

5.3 ARIMA(1,1,0) (1,1,0)12

5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为

xt=7.472+ t

=-0.5595 +v

t-1t t

vt t

h=11.9719+0.4127v2

t-1 t

5.5(1)非平稳

（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为

lnx~ARIMA((1,3),1,0)

（3）预测结果如下：

应用时间序列分析习题答案

5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。

第六章习题

6.1 单位根检验原理略。

例2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳

例2.2 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳 例2.3 原序列带漂移项平稳 例2.4 原序列不带漂移项平稳

例2.5 原序列带漂移项平稳( =0.06)，或者显著的趋势平稳。

6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳

（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR（2）疏系数模型。 （3）两者之间具有协整关系

（4）谷物产量t 23.5521 0.775549降雨量t

6.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即{yt- xt-2}为平稳序列。

（2）被掠食者拟合乘积模型：ARIMA(0,1,0) (1,1,0)5,模型口径为:

5xt=

1

5t

1+0.92874B

拟合掠食者的序列为： yt=2.9619+0.283994xt-2+ t-0.47988 t-1 未来一周的被掠食者预测序列为：

Forecasts for variable x

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526 50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167 51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651 52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579 53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355 54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.7208

应用时间序列分析习题答案

55 80.3352 133.4800 -181.2807 341.9511 56 55.5269 143.5955 -225.9151 336.9690 57 73.8673 153.0439 -226.0932 373.8279 58 75.2471 161.9420 -242.1534 392.6475 59 70.0053 189.8525 -302.0987 442.1094 60 120.4639 214.1559 -299.2739 540.2017 61 184.8801 235.9693 -277.6112 647.3714 62 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606

掠食者预测值为：

Forecasts for variable y

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 32.7697 14.7279 3.9036 61.6358 50 40.1790 16.3381 8.1570 72.2011 51 42.3346 21.8052 -0.4028 85.0721 52 58.2993 25.9832 7.3732 109.2254 53 78.9707 29.5421 21.0692 136.8722 54 106.5963 32.7090 42.4879 170.7047 55 66.4836 35.5936 -3.2787 136.2458 56 41.9681 38.6392 -33.7634 117.6996 57 46.7548 41.4617 -34.5085 128.0182 58 39.7201 44.1038 -46.7218 126.1619 59 44.9342 46.5964 -46.3930 136.2614 60 45.3286 48.9622 -50.6356 141.2928 61 43.8411 56.4739 -66.8456 154.5279 62 58.1725 63.0975 -65.4964 181.8413

6.4 （1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。所以对这两个序列取对数后进行单个序列拟合和协整检验。

（2）出口序列拟合的模型为lnxt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnxt=0.14689+

1

t

1-0.38845B

进口序列拟合的模型为lnyt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnyt=0.14672+

（3）lnyt和lnxt具有协整关系

1

t

1-0.36364B

（4）协整模型为：lnyt=0.99179lnxt+ t-0.69938 t-1 （5）误差修正模型为： lnyt=0.97861 lnxt-0.22395ECMt-1

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