广州市育才中学2010届高三市调研考模拟测试试题答案

广州市育才中学2010届高三市调研考模拟测试试题答案

理 科 数 学

40分．

5分，满分30分．其中第

13题第一个空2分，第二个空3分．

9．3 10．2550 11．9 12． 13．60 ;75 ； 14． cos 2

15．72

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）

21

2

解：（1

）∵函数f(x) m n asinx bcosx的图象经过点 ,0 和 ,1 ，

3 2

asin bcos 0,1 a 1, b 0,33∴ 即 2 解得 ． 2

b asin bcos 1. a 1.

22

（2）由（1）得f(x) sinxx 2 sinx

1

2

x 2sin x ．

3

∴当sin x 即x 2k

x 2k ，即， 1 323

5

(k Z)时，f(x)取得最大值2． 6

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等） 解： 的可能取值是2，3，4，5，6． ∵n1 n6 1，

1 2 32 2 16

∴P 2 C ， P 3 C1， 4

3 3 81 3 81

4

43

1

P 4 C24

3

4

44

2

88 2 1 2

， ， P 5 C3 4

3273381

23

1 1

P 6 C ． ∴ 的分布列为

3 81

∴ 的数学期望为E 2

1632248110 3 4 5 6 ． 81818181813

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、放缩法等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）

解：（1）设等比数列 an 的公比为q(q R)，由a7 a1q6 1，得a1 q 6，

从而a4 a1q3 q 3，a5 a1q4 q 2，a6 a1q5 q 1．因为a4，a5 1，a6成等差数列，所以

a4 a6 2(a5 1)，即q 3 q 1 2(q 2 1)，q 1(q 2 1) 2(q 2 1)．

1 1 所以q ．故an a1qn 1 q 6 qn 1 64

2 2

n 1

27 n．

1 n

64 1 nn2 a1(1 q)1 （2）Sn 128 1 128．

1 q 2 1 2

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）

1中，∵A C AA AB BC 5， （1）证明：在正方形AA A1A

∴三棱柱ABC A1B1C1的底面三角形ABC的边AC 5．∵AB 3，BC 4，

1为正方形，AA1∴AB BC AC，则AB BC． ∵四边形AA A1A

∴AB BB1，而BC BB1 B，∴AB 平面BCC1B1． （2）解：∵AB 平面BCC1B1，∴AB为四棱锥A BCQP的高．

∵四边形BCQP为直角梯形，且BP AB 3，CQ AB BC 7，

222

BB1，

1

BP CQ BC 20， 2

1

∴四棱锥A BCQP的体积VA BCQP SBCPQ AB 20，

3

∴梯形BCQP的面积为SBCQP

由（1）知B1B AB，B1B BC，且AB BC B，∴B1B 平面ABC． ∴三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，

∴三棱柱ABC A1B1C1的体积为VABC A1B1C1 S ABC BB1 72． 故平面APQ将三棱柱ABC A1B1C1分成上、下两部分的体积 之比为72 2013

． 205

（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz， 则A 3,0,0 ，A1 3,0,12 ，P 0,0,3 ，Q 0,4,7 ，

∴ AP ( 3,0,3)， AQ1

( 3,4, 5)， ∴cos AP , AQ1 AP

AQ1

APAQ 1， 1

5∵异面直线所成角的范围为

0,

2

，∴直线AP与AQ

1

1所成角的余弦值为5

． 20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）

解：（1

） cb2a2 c2a a2 a2

1 12 12，∴a2 2b2……①

曲线过 ，则11

a2 2b2 1……②

由①②解得 a ， 则椭圆方程为x2 y2 1． b 1

2 x2(2)联立方程 2

2 y 1，消去y整理得：3x2 4mx 2m2

2 0

x y m 0则 16m2 12(2m2 2) 8 m2

3

0，解得 m

x1 x2

4m 43，yy m1 2 x1 x2 2m3 2m 2m

3

，

即AB的中点为

2m 3,m

3

54m2m25m25

又∵AB的中点不在x y 内，∴

99999

2

2

解得，m 1或m 1……④

由③④得： m 1或1 m

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）

（1）解：∵f(x) ex x，∴f (x) ex 1．令f (x) 0，得x 0．

∴当x 0时，f x 0，当x 0时，f x 0．

∴函数f(x) e x在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增．

x

∴当x 0时，f(x)有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e x 1，即1 x e．

k kk*

令x （n N,k 1,2, ,n 1），则0 1 en，

nn

x

x

k

k n k

∴ 1 e e(k 1,2, ,n 1)． n

n

n

n k n k即 ． ∵ e(k 1,2, ,n 1) 1,

n n

1 2 n 1 n (n 1) (n 2) 2 1

∴ e e e e 1． n n n n

∵e

(n 1)

nn

nnnn

e

(n 2)

1 e n1e

e e 1 ，

1 e 11 e 1e 1

2

1

e 1 2 n 1 n

∴ ．

e 1 n n n n

nnnn

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