09全国名校高三模拟试题汇编函数解答题

2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编

函数

三、解答题

?x2?bx?c(x?0)1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)设函数f(x)??，其中b?0，c?R．当且仅当

?2(x?0)x??2时，函数f(x)取得最小值?2

（Ⅰ）求函数f(x)的表达式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）若方程f(x)?x?a(a?R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合． 解：（Ⅰ）因为函数f(x)当且仅当x＝－2时取得最小值－2 b∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2＝－2 ? b＝4 且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2 ? c＝2

?x2?4x?2,x?0∴f(x)??

?2,x?0（Ⅱ）记方程①：2＝x＋a(x＞0),方程②:x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0) 分别研究方程①和方程②的根的情况： (1)方程①有且仅有一个实数根 ? a＜2；方程①没有实数根 ? a≥2 (2)方程②有且仅有两个不同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不同的非正实数根 1所以2－a≥0且△＝9－4(2－a)＞0 ? －4＜a≤2

方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有一个非正实数根 1所以2－a＜0或△＝0，即a＞2或a＝－4

1综上可知：当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不同的实数根时，－4＜a＜2 1当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根时，a＝－4或a＝2 1综上所述，符合题意的实数a的取值范围是[－4,2] 2、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)已知函数f(x)的定义域为(0,??)，且对任意的正实数x、y

都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)=1．（1）求证：f(1)=0；（2）求：f(（3）解不等式：f(x)+f(x-3)≤1． 解：（1）令x=4，y=1，则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1)，f(1)=0．

1)； 16111?16)=f()+f(16)=0，f()= -2． 161616x（3）设x1、x2＞0，且x1＞x2，于是f(1)＞0，

x2（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(1)=f(

x1x?x2)?f(1)?f(x2)＞f(x2)， x2x2∴f(x)为(0,??)上的增函数． 又f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4)， ?x＞0,?∴?x?3＞0,?3＜x≤4． ?x(x?3)≤4?f(x1)?f(3、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)已知函数

f(x)??x?log21?x.1?x

f( （1）求

11)?f(?)20082008的值；

（2）当x???a,a?,其中a??0,1?,a是常数,函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由。

1?x?0得(x?1)(x?1)?0解得?1?x?11?x解：（1）由

函数f(x)的定义域为（－1，1）

又

?f(?x)?x?log21?x1?x?x?log2??f(x)1?x1?x

)f?( ?函数f(x为奇函数，即?f(

x)?f(x? )11)?f(?)?020082008…………………………………（6分）

（2）任取

x1、x2?(?1,1)且设x1?x2.则

1?x21?x1?log21?x21?x1

f(x2)?f(x1)?(x1?x2)?log2

??1?x1?x2?1?x1?x2?0,0?1?x2?1?x1,1?x2?1?x1?0?

1?x11?x21?x21?x1?即log2?log2?01?x11?x21?x21?x1

?f(x2)?f(x1)?0　即f(x2)?f(x1) ?函数f(x)在(-1,1)上为减函数 又

x?(?a,a?且a?(0,1?

?函数f(x)在(?a,a?)上为减函数，故f(x)min?f(a)??a?log21?a1?a……（13分）

x?b(a,b?R,a?0)2ax?1是奇函数，

f(x)?4、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)定义在R上的函数

时,f(x)取得最大值。 当且仅当x?1 （1）求a、b的值；

f(x)? （2）若方程范围。

mx?0在区间(?1,1)1?x上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值

解：（1）由f(?x)??f(x)得b?0(或f(0)?0)

?f(x)?

xax2?1

又由函数f(x)的定义域为R知a?0

当x?时,f(x)?0当x?0时,f(x)?xax2?1?x2ax2?12a 2ax?1即 当且仅当

x?1时f(x)取得最大值a

?

1?即?a1?a

综上a?1,b?0…………………………………………………（6分）

由 （2）

xmx??0化简得2x?1x?1

x(m2x??xm?1)?0x?x?m?1m1??则0,m??1x不合题意1?,

?x?0或m2x?x?m1?0?2若0是方程mx?2此时方程mx?

的另一根为0??方程mx2?x?m?1?0在区间(-1,1)上有且仅有一个非零实根． 当m?0时,x??1不合题意

当m?0时，分两种情况讨论

?＝0，x?①

1?1?2?(?1,1)得m?2m2

2②令h(x)?mx?x?m?1则h(?1)?h(1)?0且h(0)?0解得?1?m?0

???1?2??(?1,0)???2????……………（13分） 综上所述实数m的取值范围为

5、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)如右图，两条相交成60°角的直路EF和MN交于O，起初甲在OE上距O点3km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以4km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向.

（1）求行走t小时后两人之间的距离（用t表示）； （2）当t为何值时，甲乙两人之间的距离最近？

解：（1）设t小时后，他们两人的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t.…………（1分） ①当0?t＜②当t?3时，PQ42?(3?4t)2?(1?4t)2?2(3?4t)(1?4t)cos60°; ……（3分）

33时，PQ?OB?BQ?1??4?4；……………………………………（4分） 443222③当t?时，PQ?(4t?3)?(1?4t)?2(4t?3)(1?4t)cos120?.…………（6分）

43?248t?24t?7(0?t?)?4?3?(t?)………………………………………………（7分） ∴PQ??44?3?248t?24t?7(t＞)?4?（2）由（1）知，当0?t?

3时， 4

即甲、乙两人之间的距离最小为2km…………………………………………………（12分）

6、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)已知，二次函数f（x）＝ax＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，

（Ⅰ）若a＞b＞c，a＋b＋c＝0.设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.

（Ⅱ）对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式f（x），使f（x）=0有两个小于1的不等正2

根，求a的最小值．

解：（1）依题意，知a、b≠0 ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0

设x1、x2为交点A、B之横坐标

则|A2

＝|x2

4b2?4ac4(a?c1B1|1－x2|＝a2?)2?4aca2

?4a2(a2?c2?ac) ?4??cc??(a)2?a?1??(**)

∵??a?b?c?0，∴

c?a?b?2a?c?0，而a＞0a??2 ∵??a?b?c?0c?c?b?a?2c?0，∴

a??12 ∴?2?ca??12 ∴4［（c2ca）＋a＋1］∈（3，12）

∴|A1B1|∈（3，23） 7分 （2）设二次三项式为：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N． 依题意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f(0)＞0，f(1)＞0．

又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，

所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．从而 f(0)·f(1)≥1． ① 另一方面，

且由x1≠x2知等号不同时成立，所以

a2x1(1?x1)x2(1?x12)?16a2 由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5． 13分

②

7、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)（1）已知集合P??x?1??x?3?, 函数f(x)?log2(ax2?2x?2)的?2?定义域为Q。若P?Q??,?,P?Q?(?2,3]，求实数a的值； （2）函数f(x)定义在R上且f(x?3)?f(x),当数a的值。

2解:(1)由条件知Q?(?2,) 即ax?2x?2?0解集(?2,).

?12??23?1?x?3时, f(x)?log2(ax2?2x?2).若f(35)?1，求实223234?2???23?a32∴a?0且ax?2x?2?0的二根为?2,.∴?，∴a??.

32?2??4?3?a (2)∵f(x)的周期为3，f(35)?f(3?11?2)?f(2)?log2(a?22?4?2)?1，所以a?1。

2x2,g(x)?ax?5?2a(a?0)。 8、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)设f(x)?x?1（1）求f(x)在x?[0,1]上的值域；

（2）若对于任意x1?[0,1]，总存在x0?[0,1],使得g(x0)?f(x1)成立,求a的取值范围。

4x(x?1)?2x22x2?4x解：(1)法一:(导数法)f?(x)???0 在x?[0,1]上恒成立.

(x?1)2(x?1)2 ∴f(x)在[0,1]上增，∴f(x)值域[0,1]。

?0,x?02x2????2,x?(0,1], 复合函数求值域. 法二:f(x)?x?1?11???xx22x22(x?1)2?4(x?1)?22??2(x?1)??4用双勾函数求值域. 法三:f(x)?x?1x?1x?1 (2)f(x)值域[0,1]，g(x)?ax?5?2a(a?0)在x?[0,1]上的值域[5?2a,5?a]. 由条件,只须[0,1]?[5?2a,5?a]，∴??5?2a?05??a?4. 2?5?a?19、）(2008年重庆一中高2009级第一次月考)设f(x)?a?(log2x)2?b?log2x?1(a,b为常数）。当x?0时，

F(x)?f(x)，且F(x)为R上的奇函数。

（1）若f(12)?0，且f(x)的最小值为0，求f(x)的解析式； （2）在（1）的条件下，求F(x)的表达式； （3）在（1）的条件下,g(x)?f(x)?k?1log在?2,4?上是单调函数,求实数k的取值范围。

2x解：（1）f(x)?alog2log12x?b2x?1，由f(2)?0得a?b?1?0，

∴f(x)?alog22x?(a?1)log2x?1，若a?0则f(x)?log2x?1无最小值，∴a?0，

?欲使f(x)取最小值为0，只能使?a?0?4a?(a?1)2，得a?1,b?2。??4a?0

∴f(x)?log22x?2log2x?1。

（2）设x?0，则?x?0，∴F(?x)?f(?x)?log22(?x)?2log2(?x)?1， 又F(?x)??F(x)，∴F(x)??log22(?x)?2log2(?x)?1，又F(0)?0，

??log22x?2log2x?1(x?0)∴F(x)???0(x?0) ????log22(?x)?2log2(?x)?1(x?0)（3）g(x)?log22x?2log2x?1?k?1klog?log2x??2，x?[2,2xlog4]。

2x法一：令log2x?t，则y?t?kt?2,t?[1,2]，∴当y??1?kkt2?0或y??1?t2?0，

y为单调函数。综上知k?1或k?4。

法二：复合函数法。

10、(北京市东城区

2009

届高三部分学校月考)已知f(x)对任意实数x,y均有f(x)?f(y)?2f(x?y2)f(x?y2),f(0)?0，且存在非零常数c,使f(c)?0.（1）求f(0)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性并证明；

数

函

（3）求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期. 解：（1）?任意x,y?R均有f(x)?f(y)?2f(x?yx?y)f() 22令x?y?0,?2f(0)?2f(0)?f(0)

?f(0)?0，?f(0)?1………………4分

（2）令y??x,?f(x)?f(?x)?2f(0)f(x)，?f(?x)?f(x)

?f(x)为偶函数 ………………8分

（3）?f(2c?x)?f(x)?2f(2c?2x2c)?f() 22?f(c)?0,?f(2c?x)?f(x)?0,即f(2c?x)??f(x)

?f(x)??f(2c?x)??[?f(2c?(2c?x))]?f(4c?x)，

?f(x)的周期为4c…………13分

11、(甘肃省兰州一中

2008—2009

高三上学期第三次月考)已知函数

f(x)?|x?a|,g(x)?x2?2ax?1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等。

（I）求a的值；

（II）求函数f(x)?g(x)的单调递增区间。

解：（I）由题意，

f(0)?g(0),|a|?1又a?0,所以a?1.

（II）f(x)?g(x)?|x?1|?x?2x?1

当x?1时,f(x)?g(x)?x?3x,它在?1,???上单调递增；

22…………4分

…………7分

当x?1时,f(x)?g(x)?x?x?2,它在??2?1?,1?上单调递增 …………10分 ?2?22212、(广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试)已知a?10b(b?0),求[lg(ab)]?lgalgb的值。

解：[lg(ab)]?lgalgb

222?(lga?lgb)2?4lgalgb (lga)2?2lgalgb?(lgb)2……………………8分 ?(lga?lgb)2

a?lg()2?(lg10)2?1…………………………10分

b13、(广东省深圳中学

2008—2009

学年度高三第一学段考试)已知二次函数

f(x)满足f(x?1)?f(x)?2x?1,.f(?x)?f(x)且f(0)?1

（1）求f(x)的解析式；

（2）求y=f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值。 解（1）：?f(0)?1设f(x)?ax2?bx?1(a?0)

则f(?x)?f(x)?ax2?bx?c

?ax2?bx?c

?b?0……………………………………2分

则f(x?1)?f(x)

?2x?1?2ax?a?2x?1

?a?1

?f(x)?x2?1……………………………………4分

（2）f(x)?x?1

2f(x)在[?2,0]上是减函数，在[0，1]上是增函数……………………8分 ?x?0时,ymin?1,x??2时,ymax?5………………10分

2x?114、(广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试)已知函数f(x)?x

2?1 （1）试判断函数的单调性并加以证明；

（2）当f(x)?a恒成立时，求实数a的取值范围。

2x?x解（1）函数f(x)?x的定义域为R，

2?1函数f(x)在R上是增函数，

设x1,x2是R内任意两个值，并且x1?x2

2x1?12x2?1?则f(x1)?f(x2)?x

21?22x2?1

(2x1?1)(2x2?1)?(2x2?1)(2x1?1) ?x1x2(2?1)(2?1)2(2x1?2x2)……………………5分 ?x1(2?1)(2x2?1)?x1?x2

?2x1?2x2

2(2x1??2x2)?f(x1)?f(x2)?x1?0. x2(2?1)(2?1)即?f(x1)?f(x2)

?f(x)是R上的增函数。……………………7分

2x?12?1?x（2）f(x)?x 2?12?1?2x?0

?2x?1?1 2?0??2 x1?22??2??0

1?2x2??1?1??1 x1?2即?1?f(x)?1……………………10分

,a?1…………………………12分 当f(x)?a恒成立时315、(广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试)已知方程 x?a?4 x3 （1）当a=0时，求方程x?a?4的各个实根； x （2）若方程x3?a?44的各个根x1,x2,?,xk(k?4)所对应的点(xi,)(i?1,2,?,k) 均在直线y=x的同xxi4 x侧，求实数a的取值范围。

3解：（1）当a=0时，x?解得x1?2或x2??2……………………2分

44,设f(x)?x3?a,g(x)?, xx3（2）x?a?

函数g(x)?4与y?x的图象相交于两点（2，2），（—2，—2） x函数y?x3与y?x的图象相交于两点（1，1），（—1，—1）…………4分 ①当a=0时，点(2,22),(?2,?22)的直线y=x的异侧…………5分 ②当a<0时，要使f(x)?x3?a与g(x)?4的两个交点在同直线y=x的右侧 x?43?2?a??2解得a??6；……………………8分 满足?43???2?a???2当a>0时，要使f(x)?x?a与g(x)?34的两个交点在同直线y=x的左侧 x?43?2?a??2解得a?6 需满足?43???2?a???2所以满足条件的a的取值范围是（??,?6?(6,??)……………………10分 本题重点考查方程与函数的数学思想、分类讨论的数学思想。

x2(a,b为常数）16、(河北省衡水中学2008—2009学年度第一学期期中考试)已知函数f(x)?，且方程ax?bf(x)?x?12?0有两实根3和4

（1） 求函数f(x)的解析式；

（2） 设k?1，解关于x的不等式：f(x)?(k?1)x?k

2?x?9?9?0?x?3a?b?x?12?0有两根3和4，所以?解：（1）即方程 得

ax?b?16?8?0??4a?b2?a??1 ??b?2x2所以f(x)? ---------------4分

2?xx2(k?1)x?k?（2）即整理的(x?2)(x?1)(x?k)?0 2?x2?x1.1?k?2时，不等式的解集{x|1?x?k或x?2}

2.k?2时，不等式的解集{x|1?x?2或x?2}

3.k?2时，不等式的解集{x|1?x?2或x?k} -----------------------12分 17、(哈尔滨市第九中学2008—2009学年度高三第三次月考)已知函数f(x)?x? （1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f(x)在x??2,???上为增函数，求a的取值范围。 答案：a?0偶函数；a?0非奇非偶

18、(哈尔滨市第九中学2008—2009学年度高三第三次月考)已知a是实数，函数f(x)? （1） 求函数f(x)的单调区间；

（2） 设g(a)为f(x)在区间?0,2?上最小值。

①写出g(a)的表达式；

②求a的取值范围，使得?6?g(a)??2。

答案：（1）a?0,?0,???增区间；a?0,(,??)增区间，(0,)减区间

2a（x?0，常数a?R） xx(x?a)

a3a3a?0?0?3?232（2）g(a)???a0?a?6 [3,2?32]

9??2(2?a)a?6?19、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)对任意x?R,给定区间[k?表示实数x与x的

给定区间内整数之差的绝对值. （1）当x?[?11,k?](k?z),设函数f(x)221111,]时,求出f(x)的解析式；当x?[k?,k?](k?Z）时，写出f(x)的 2222解析式，并说明理由；

（2）判断函数f(x)(x?R）的奇偶性,并证明你的结论； （3）求方程f(x)?log12x?0的实根.(要求说明理由)

解：（1）当x?[?1111,]时，由定义知：x与0距离最近，f(x)?|x| x?[?,]. 222211当x?[k?,k?](k?Z)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故

2211f(x)?|x?k|x?[k?,k?](k?Z)

22

(2）对任何x?R，函数f(x)都存在，且存在k?Z，满足k?.由k?1111?x?k?可以得出?k???x??k?(k?Z) 222211?x?k?,f(x)?|x?k| 22即?x?[?k?11,?k?](?k?Z）. 22由（Ⅰ）的结论，f(?x)??x?(?k)|?|k?x|?|x?k|?f(x),即f(x)是偶函数. （3）结合函数图像知：x?1,x?1. 2?2x?b20、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。

2?a（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围。

22b?11?2x?0?b?1?f(x)?解：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 x?1a?2a?211?2 又由f（1）= -f（-1）知??2?a?2.

a?4a?11?1?2x11??? （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?，易知f(x)在(??,??)上 x?1x2?222?122为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t?2t)?f(2t?k)?0 222等价于f(t?2t)??f(2t?k)?f(k?2t)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t2?2t?k?2t2．即对一切t?R有：3t2?2t?k?0，

从而判别式??4?12k?0?k??.

21、(山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考)（1）求函数y?log3x?（2）已知函数y?log1(2x?a?2)的值域是R，求a的取值范围．

2131的定义域;

log3x解：（1）log3x?1?0．

log3x1?0,解得?1?t<0,或t?1,即?1?log3x<0,或log3x?1． t1[3,??)． ∴函数的定义域是[,1)∪ （6分） 3令t?log3x,则t?

（2）令f(x)?2x?a?2（x∈R）,则f(x)的值域包含(0,??)． 又f(x)的值域为(2?a,??),所以2?a?0, ∴a?2．

（12分）

22、(山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考)当x∈[0,2]时,函数时取得最大值,求实数a的取值范围．

解：若a+1=0，即a??1,则f(x)??4x?3，不在x=2时取得最大值．

若a?1?0,即a??1,则?f(x)?(a?1)x2?4ax?3在x=2

（2分）

2a1?1,解得a??． （7分） a?132a1若a?1?0,即a??1,则? （11分） ?2,解得a??,与a??1矛盾．

a?121综上,a的取值范围是a??． （12分）

323、(山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考)已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R,x?k,k?Z},2且f(x)?f(2?x)?0,f(x?1)??11,当0?x?时,

2f(x)f(x)?3x．

（1）求证:f(x)是奇函数; （2）求f(x)在区间(2k?解：（1）由f(x?1)??1,2k?1)(k?Z）上的解析式; 211?f(x), 得f(x?2)??f(x)f(x?1) （3分）

所以f(x)是周期为2的函数． ∴f(x)?f(2?x)?0即为f(x)?f(?x)?0,

故f(x)是奇函数．

（6分）

(,1)时, f(x)?f[1?(x?1)]??（2）当x∈

12111??1?x． （9分）

f(x?1)f(1?x)3(2k?所以, 当x∈

1,2k?1)(k?Z）时, 21f(x)?f(x?2k)?2k?1?x=3x?2k?1

3 （12分）

24、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，在保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，

逐步偿还转让费（不计息），在甲提供资料中：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售单价P（元/件）的关系如右图所示；③该店每月需各种开支2000元。

（1）写出月销量Q（百件）与销售单价P（元/件）的关系，并求该店的月利润L（元）关于销售单价P（元/件）的函数关系式（该店的月利润=月销售利润－该店每月支出）；

（2）当商品的价格为每件多少元时，该店的利润最大？并求该店的月利润的最大值； （3）若企业乙只依靠该店，最早可望在多少年后脱贫（无债务）？

??2P?50,14?P?20.?解：（1）Q??3 …………3分

?P?40,20?P?26.??2L?Q(P?14)?100?2000

?(?2P?50)(P?14)?100?2000,14?P?20.?因此，L??3…………4分

(?P?40)(P?14)?100?2000,20?P?26.??2（2）当14?P?20时，求得Lmax?4050，此时，P?当20?P?26时，求得Lmax因为4050?401639?19.5 2612?4016，此时，P?…………8分

332，所以当P?19.5元时，月利润最大，为4050元。…9分 3（3）设可在n年后脱贫（元债务），依题意有12n?(4050?3600)?50000?58000?0

解得n?20，即最早在20年后脱贫 …………12分

25、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)已知函数f?t?对任意整数x、y均有

f?x?y??f?x??f?y??2xy，且f?1??1

（1）当t?Z，用t的代数式表示f?t?1??f?t?

（2）当t?Z，求f?t?的解析式

（3）如果x???1,1?，a?R，

????f?2004???a恒成立，求a的取值范围. 且?f?1????f?2??????f?2003

x2x2x2x2

解：（1）?f?x?y??f?x??f?y??2xy

?f?t?1??f?t??f?1??2t?2t?1

（2）由（1）知，

t?1t?2f?2??f?1??3f?3??f?2??5 f?4??f?3??7 t?3??f?n??f?n?1??2n?1t?n?1左右两边分别相加f?n??f?1???n?1??3?2n?1??n2?1

2?f?n??n2 即 t?Z?，f?t??t2

t?0时 f?0??f?0?0??f?0??f?0??0?f?0??0

t?z?时 0?f?0??f?t?t??f?t??f??t??2t2

?f?t???f??t??2t2 ?t?Z?

?f?t?????t??2t2?t2

2?当t?Z时，f?t??t2

（3）原式即为1?2?3???2003?2004?a恒成立 x???1,1?

xxxxx?1??2??2003?即a???????????恒成立

200420042004???????1??2??2003?令g?x????????????

?2004??2004??2004??1??2??2003????、?、??、??都是减函数

200420042004???????g?x?min?g?1??1?1?2???2003??2003 20042xxxxxxxxx2003???a????,?

2??126、(西南师大附中高2009级第三次月考)已知函数f(x)?|1?|， (x?0).

x（1）当0 < a < b，且f ( a ) = f ( b )时，求证：ab>1；

（2）若存在实数a，b（a < b），使得函数y?f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为[ma，mb](m?0)，求m

的取值范围．

?11?，x?1??x解：(1) ∵ x > 0，∴f(x)??

1??1，0?x?1??x∴ f ( x )在（0，1）上为减函数，在(1，??)上是增函数．

由0 < a < b，且f ( a ) = f ( b )，

1111可得 0 < a?1 < b和?1?1?．即??2． ·············································· 3分

abab∴2ab = a + b > 2ab． ·························································································· 4分

故ab?1，即ab>1． ··························································································· 5分

(2) 若存在实数a，b（a < b），使得函数y = f ( x )的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]． 则a > 0，m > 0．

?1?1?mb,??a1)时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故?① 当a，b?(0，．此时得a = b不符合题意，所

1??1?ma.??b以a，b不存在． ········································································································· 7分

1)或b?[1，??)时，由（错误！未找到引用源。② 当a?(0，）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，

所以a，b不存在． ····································································································· 9分

故只有a，b?[1，??)．

∵f(x)?1?1在[1，??)上是增函数， x?11??ma,??f(a)?ma,?a ∴ 即 ? ········································································· 10分 ?1?f(b)?mb.?1??mb.??ba，b是方程mx2?x?1?0的两个根．即关于x的方程mx2?x?1?0有两个大于1的实根．

11设这两个根为x1，x2．则x1?x2?，x1?x2?．

mm???0,m?0,?1?41??∴ 解得 0?m?． ?(x1?1)?(x2?1)?0, 即 ?14?2?0.?(x?1)(x?1)?0.??m?121故m的取值范围是0?m?． ······················································································· 12分

4?????0?1?4m?0??1解得0?m? 另解：设g(x)?mx2?x?1，则?g(1)?0??m?04?1?1??m??1?2?2m27、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)已知函数

f(x)对任意实数x,y均有f(x)?f(y)?2f( （1）求f(0)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性并证明；

x?yx?y)f(),f(0)?0，且存在非零常数c,使f(c)?0. 22

（3）求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期. 解：（1）?任意x,y?R均有

f(x)?f(y)?2f(令x?y?0x?yx?y)f()22

?2f(0)?2f(0)?f(0)?f(0)?0?f(0)?1………………4分

（2）令y??x,?f(x)?f(?x)?2f(0)f(x)

?f(?x)?f(x)

?f(x)为偶函数 ………………8分

（3）?f(2c?x)?f(x)?2f(2c?2x2c)?f() 22?f(c)?0?f(2c?x)?f(x)?0 即f(2c?x)??f(x)?f(x)??f(2c?x)??[?f(2c?(2c?x))]?f(4c?x)?f(x)的周期为4c…………13分

28、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知f(x)对一切实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?2，

当x＞0时，f(x) ＜0

（1）证明f(x)为奇函数 （2）证明f(x)为R上的减函数

（3）解不等式f(x?1)?f(1?2x?x)＜4 （1）证明，依题意取x?y?0有f(0)?2f(0)

∴f(0)?0……………………1分

又取y??x可得f(x?x)?f(x)?f(?x)?f(0)(x?R) 即f(x)?f(?x)?0(x?R)

∴f(?x)??f(x)(x?R)……………………3分 由x的任意性可知f(x)为奇函数……………………4分

（2）证明：设x1?x2,则x2?x1?(x2?x1),其中x2?x1?0…………5分

2

∴f(x1)?f(x2)?f(x2)?f[x1?(x2?x1)]

?f(x1)?[f(x1)?f(x2?x1)]??f(x2?x1)………………7分

∵x2?x1?0 ∴f(x2?x1)?0

∴f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2) ∴f(x)在R上减函数……………………8分

（3）解：依题意有f(2)?f(1)?f(1)?4………………9分 ∴不等式可化为f(x?1)?f(1?2x?x)?f(2), 即f(x?1)?f(1?2x?x)?f(2)

∴f(x?1)?f(3?2x?x)………………10分 因为f(x)是R上的减函数

∴x?1?3?2x?x解得x??4或x?1………………11分 所以不等式的解集为{x??4或x?1}………………12分

29、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知函数f?x??x?bx?cx?d在???,0?上是增函数，在?0,2?是

322222减函数，且方程f?x??0有三个根，它们分别是?,2,?。 （1）求c的值；

（2）求证：f?1??2； （3）求???的取值范围。 解：f?(x)?3x?2bx?c(x?R)

2…………1分

（1）依题意知x?0为函数f(x)的极大值点?f?(0)?0?c?0

（2）证明：由（1）得f?(x)?x(3x?2b)

…………4分

?x?2为f(x)?0的根?8?2b?d?0

又f(x)在[0,2]上为减函数?f?(2)?2(b?2b)?0

① ②

由知②b??3 由①知d??4b?8

?f(1)?1?b?d?1?b?4b?8??3b?7

由b??3知f(1)?2

（3）解：?f(x)?0的三个根为?,2,?

…………9分

?f(x)?(x??)(x?2)(x??)?x3?(????2)x2?(2??2????)x?2??

…………10分

?????2??b??????(b?2)???2(???)????0??

???2b?4???2???d?…………12分

?|???|2?(???)2?4???b2?4b?12?(b?2)2?16…………13分 ?b??3?(b?2)2?16?9即|???|2?9?|???|?3…………14分

30、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)求函数y?x?1?x?2的最小值 (其中?3?x??2)。 解：∵?3?x??2

∴x?1?0,x?2?0………………2分

∴y?x?1?x?2??x?1?2?x?1?2x………………4分 ∵y?1?2x在[?3,?2]递减，………………6分 故当x??2时，y取得最小值５………………7分

?1?231、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)下图是函数y???和y?3x图象的一部分,其中

?2?x?x1,x2??1?x1?0?x2?时,两函数值相等.

x?1?(1)给出如下两个命题:①当x?x1时,???3x2;

?2??1?②当x?x2时,???3x2.判断命题①②的真假并说明理由.

?2?(2)求证:x2??0,1?

解(1) 命题①是假命题,反例:x??10,则x?x1,

xx?1?但是???2?

?10?1??1024,3???10??300,???3x2不成立.-------------3分

?2?2x

?1?命题②是真命题,因为y???在?x2,???上是减函数,函数y?3x2在?x2,???上是增函数,所以当x?x2?2??1??1?时,??????2??2?xx22?3x2?3x2. -7分

x5?1?(2)构造函数f(x)?3x2???,则f(0)??1?0,f(1)??0,所一f(x)在区间?0,1?有零点.有因为

2?2?x?1?f(x)?3x???在区间?0,1?是增函数,所以f(x)在区间?0,1?有唯一个零点,即x2,所以x2??0,1?.--------14分

?2?2x32、(广东省恩城中学2009届高三上学期模拟考试)已知二次函数f(x)?x2?16x?q?3：

(1)若函数在区间??1,1?上存在零点，求实数q的取值范围；

(2)问：是否存在常数t(t?0)，当x??t,10?时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12?t。 解：⑴ ∵二次函数f(x)?x?16x?q?3的对称轴是x?8 ∴函数f(x)在区间??1,1?上单调递减

∴要函数f(x)在区间??1,1?上存在零点须满足f(?1)?f(1)?0 即 (1?16?q?3)?(1?16?q?3)?0

解得 ?20?q?12 --------------------------------------4分

2?t?8?⑵ 当?8?t?10?8时，即0?t?6时，f(x)的值域为：?f(8),f(t)?，

?t?0?2q?61,t?16t?q?3?即 ???

∴t?16t?q?3?(q?61)?t?16t?64?12?t

222∴t?15t?52?0 ∴t?15?17 2经检验t?15?17不合题意，舍去。---------------------------7分 2?t?8?当?8?t?10?8时，即6?t?8时，f(x)的值域为：?f(8),f(10)?，即 ?q?61,q?57? ?t?0?

∴q?57?(q?61)?4?12?t, ∴t?8

经检验t?8不合题意，舍去。-----------------------------10分 当t?8时，f(x)的值域为：?f(t),f(10)?，

2t即 ???16t?q?3,q?57??

∴q?57?(t2?16t?q?3)??t2?16t?60?12?t

2∴t?17t?72?0 ∴t?8或t?9

经检验t?8或t?9满足题意。---------------------------13分

所以存在常数t(t?0)，当x??t,10?时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12?t。---14分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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