《常微分方程》答案 习题5.3

习题5.3

1、 假设A是n?n矩阵，试证：

a) 对任意常数c1、c2都有

exp(c1A+c2A)=expc1A·expc2A

b) 对任意整数k,都有

(expA)=expkA

(当k是负整数时，规定(expA)＝[(expA)

证明：a) ∵（c1A）·（c2A）＝（c2A）·（c1A）

∴ exp(c1A+c2A)= expc1A·expc2A b) k>0时，(expA)＝expA·expA……expA ＝exp（A+A+……+A）

＝expkA k<0时，-k>0

(expA)＝[(expA)

k?1kk?1k]

?k)

]

?k=[exp(-A)]

?k = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)

＝exp[(-A)(-k)] ＝expkA

故?k，都有(expA)=expkA

2、 试证：如果?(t)是x=Ax满足初始条件?(t0)＝?的解，那么

'k?(t)＝[expA(t-t0)]?

-1

证明：由定理8可知?(t)＝Ф(t)Ф(t0) ?＋Ф(t)??-1(s)f(s)ds

tt0又因为Ф(t)= expAt , Ф(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At）

-1

所以 ?(t)＝[expA(t-t0)]?

3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

i

?2?33????12?4?53?a）? b）?? ?43????4?42???

10??121??0????1?11001c）?? d）?? ?201???6?11?6?????

解：a）det（?E－A）=

??1?4?2??3=(?－5)(?+1)=0

∴?1=5, ?2=－1

????, (??0) ??2??对应于?1=5的特征向量u=?????对应于?2=－1的特征向量v=??????, (??0)

??

b) det（?E－A）=(?+1)(?+2)(?－2)＝0

∴?1＝－1，?2＝2，?3＝－2

?1???对应于?1＝－1的特征向量u1＝??1?， （ ??0 ）

?0????1???对应于?2＝2的特征向量u2＝??1?， （ ??0 ）

?1????0???对应于?3＝－2的特征向量u3＝??1?， （ ??0 ）

?1???

??1c）det（?E－A）=?1?2?1?1＝(?+1)2(?－3)＝0 ??1??10?2 ∴?1＝－1（二重），?2＝3

ii

??1???对应于?1＝－1（二重）的特征向量u＝??2?， （ ??0 ）

??2????2???对应于?2＝3的特征向量v＝??1?, （ ??0 ）

?2???

??1d) det（?E－A）=0?60?1=(?+3)(?+1)(?+2)=0 11??6 ∴?1＝－1，?2＝－2，?3＝－3

?1??? 对应于?1＝－1的特征向量u1＝???1?， （ ??0 ）

?1????1??? 对应于?2＝－2的特征向量u2＝???2?， （ ??0 ）

?4????1??? 对应于?3＝－3的特征向量u3＝???3?， （ ??0 ）

?9???

4、 试求方程组x=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：

a）??'??21??12??? b）??43?? ?12?????2?33??103?????c）?4?53? d）?81?1?

?4?42??51?1?????解：a）det（?E－A）=0得?1＝3，?2＝－3

对应于?1的特征向量为u＝??1???， （ ??0 ） ??2?3?? iii

对应于?2的特征向量为v＝??1???， （ ??0 ） ??2?3??∴u＝??1??1????，v＝是对应于?1，?2的两个线性无关的特征向量 ????2?3??2?3????是一个基解矩阵 ?3t?(2?3)e?e?3t3t3t3t?eФ(t)=??(2?3)e?3t1???(2?3)e ExpAt=

23??e?

?(2?3)e??e?3t3te(2?3)e3t3t?e??? ?3t??(2?3)e?3tb) 由det（?E－A）=0得?1＝5，?2＝－1

解得u＝????，v＝???1??2??1??是对应于?1，?2的两个线性无关的特征向量 ???1??e5t则基解矩阵为Ф(t)＝?5t?2e?e?t?? ?t??e?1??3? 1???3??1??11?－13Ф(0)＝??2?1?? Ф(0)＝?2?????3－1

1?e5t?2e?t则expAt＝Ф(t) Ф(0)＝?5t?t3??2e?2e

e5t?e?t??

5t?t?2e?e? c） 由det（?E－A）=0得?1＝2，?2＝－2，?3＝－1

?e2t?2t 解得基解矩阵Ф(t)＝?e?e2t?

0e?2te?2te?t???te? 0???1?11???－1

0? Ф(0)＝??11?01?1????e2t?2t－1?2t 则expAt＝Ф(t) Ф(0)＝?e?e?e2t?e?2t?

iv

?e2t?e?t?e2t?e?2t?e?t?e2t?e?2te2t?e?t??2t?te?e? e2t??d）由det（?E－A）=0得?1＝－3，?2＝2＋7，?3＝2－7

???3t??3e? 解得基解矩阵Ф(t)＝7e?3t???4e?3t?则expAt＝Ф(t) Ф

－1

e(2?7)t47?5(2?7)te31?7(2?7)te3??e(2?7)t??47?5(2?7)t? e?31?7(2?7)t??e3?(0)＝

??87?3t?2?47(2?7)t2?47(2?7)t???e?e?e333??1?567?3t122?287(2?7)t?122?287(2?7)t?e?e?e?? 99947??32726?27?26?27??3t(2?7)t(2?7)t?e?e?e??999??

5、试求方程组x=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件?(0)??的解?(t)

'?1a)A???4??1?b)A??8?5??1?c)A??1?2?

2??3??????3??3????03??0????1?1?????2?

??7?1?1????21??1?????11????0??0?01?????e5t 解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为?5t?2e? ????3?????2??????????

?????? 所以??2,e?t?? ?t??e??3?????????1

?2e5t?e?t?? ?(t)???4e5t?e?t?

??

v

b）由第4题（d）知，基解矩阵为

???3t?3e?? Ф(t)＝ 7e?3t???4e?3t?所以

e(2?7)t47?5(2?7)te31?7(2?7)te3??e(2?7)t??47?5(2?7)t? e?31?7(2?7)t??e3???527?3t4?267(2?7)t?4?267(2?7)t??e?e?e333??1??3647?3t?748?1467(2?7)t748?1467(2?7)t??(t)?e?e?e??

99947???2087?178?227178?227??3t(2?7)t(2?7)t?e?e?e??999??

c) 由3（c）可知，矩阵A的特征值为?1＝3，?2＝－1（二重）

??2???????? ?1对应的特征向量为u1＝???，u2＝??????4??2????3????1??2????????? ∴?0?＝???＋??0?????4??2???????3?1????4?1? 解得???2?????1?4?

???? ??????? ????1???2??1? v2???4??1?????2??1????2?1?v1????4??1????2??(t)?e3tEv1?e?t[E?t(A?E)]v2

?13t1?t??e?e?2??213t1?t＝?e?e? ?44??13t1?t??e?e?2??2 vi

、 求方程组x'=Ax＋f（t）的解?(t)：

a)?(0)????1???12??1???,A????43???,f(t)???et????1???010?b)?(0)?0,A???001????,f(t)??0??0???6?11?6????

?e?t??c)?(0)?????1????,A???4?3??,f(t??sint?2????2?1??)????2cost???解：a）令x'=Ax的基解矩阵为Ф(t)

p(?)?det(?E?A)?(??5)(??1)?0所以?1＝5，?2＝－1

?e5t解得Ф(t)＝?e?t???e?t?5?e?t??， 则Ф－1

(t)＝

1?2et?3e4t?????2e5tФ

－1

(0)＝?1??1?13?????21?? ???3e5t?e?t?1t2?求得?(t)＝?204e?5???3? ?10e5t?e?t?12et?1?5??

b）由det（?E－A）=0得?1＝－1，?2＝－2，?3＝－3 设?1对应的特征向量为v1，则

??? （?）v???1E－A1=0，得v1＝????0

???????????1????1?? 取v??1???2???，v?3?1＝?1?，同理可得v2 ＝?13＝?1?

???1?????2???3????????vii

?e?t?e5t???6 1???1?2? 则Ф(t)＝?11??1?2??1???3?1? ?3?????2t1?3t3?t1?t??e?e?e?te?442??351?2t?3t?t?t从而解得?(t)???2e?e?e?te?

??442?9?3t7?t1?t??2t?4e?e?e?te?442??

c）令x=Ax的基解矩阵为Ф(t) 由det（?E－A）=0得?1＝1，?2＝2

'?t?e解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝??et???t?e∴Ф(t)＝?2???e?2t?－1

32t?e?2? e2t??3???23??e?t?－1

?? 从而Ф(0)＝ 2????2?2?e?2t??t?(t)??(t)?(0)?(0)??(t)???1(s)f(s)ds0?1∴

?cost?2sint?et(?4?2?1?3?2)?3e2t(1??1??2)?

????2cost?2sint?et(?4?2??3?)?2e2t(1????)?1212??

7、 假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组

x'?Ax?cemt

有一解形如

?(t)?pemt

其中c，p是常数向量。

证：要证?(t)?pe是否为解，就是能否确定常数向量p

mtpmemt?Apemt?cemt

则p（mE－A）＝c

由于m不是A的特征值

viii

故mE?A?0 mE－A存在逆矩阵

那么p＝c（mE－A）1 这样方程就有形如?(t)?pemt的解

－

8、 给定方程组 ??x1''?3x1'?2x1?x2'?x2?0

?x1'?2x1?x2'?x2?0a） 试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中

10??u1??x1??0?? ????2u＝u2?x1'，A=?44?????????2?1?1???u3????x2??b） 试求a）中的方程组的基解矩阵

c） 试求原方程组满足初始条件

x1(0)=0, x1’(0)=1, x2(0)=0

的解。

证：a）令u1?x1,u2?x1',u3?x2 则方程组①化为

?x1'?u2?u1'??u2'?x1''?3u2?2u1?u3'?u3 ?u'?x2'??u2?2u1?u3?310??0??2?u即u’＝??44?2?1?1???u’=Au ①

反之，设x1=u1,x1’=u2,x2=u3 则方程组②化为

?x1''??4x1?4x1'?2x2??x2'?2x1?x1'?x2

x''?2x'?2x?x'?x?1122??1?x2'?2x1?x1'?x2b）由det（?E－A）=0得?1＝0，?2＝1，?3＝2

?u2?0??1????由?4u1?4u2?2u3?0 得u1???0???2u?u?u?0?2?123???同理可求得u2和u3

ix

??0

?1??1??1???????取v1??0?,v2??1?,v3??2?

?1??2??0????????2???1则?(t)??0??2?etet1te2?e2t?2e2t?是一个基解矩阵

?0??c）令u1?x1,u2?x1',u3?x2，则①化为等价的方程组①且初始条件变为

u1(0)?0,u2(0)?1,u3(0)?0.而②满足此初始条件的解为： 32t??1t?2e?e???0?22????eAt??eAt?1????2et?3e2t? ③

??0??1?et??????于是根据等价性，①满足初始条件的解为③式

9、 试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。 证明：略。

10、 求下列初值问题的解：

?x'?x'?0a)?12?1(0)?1,?2(0)?0?x1'?x2'?1?x1''?3x1'?2x1?x2'?x2?0b)??x1'?2x1?x2'?x2?0?1(0)?1,?1'(0)??1,?2(0)?0?x1''?m2x2?0c)?2?x2''?mx1?0x1(0)??1,x1'(0)??2,x2(0)??3,x2'(0)??4解：a)根据方程解得x1'＝

11 ， x2'＝－ 2211∴x1＝t＋c1，x2＝－t＋c2

22∵?1(0)?1

x

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