专题1.2 十字相乘法（精讲深剖）-拾阶而上之初高中数学衔接读本

第一章 因式分解

第2讲 十字相乘法------精讲深剖 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。 【知识梳理】

1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b． （3）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （4）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b；

2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系． （1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； （2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘． 4．因式分解的思路：

（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式； （2）再看能否使用公式法；

（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的； （4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止． 5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）． 【精讲深剖】

1．对于二次项系数为1的二次三项式x+(p+q)x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和。

即； x?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)

2222233223322222注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。 【典例解析】把下列各式因式分解： (1) x2?5x?6；

(2) x2?13x?12； (3) x2?5x?24； 【变式训练】

1.把下列各式因式分解：

（1）x2?5x?6?__________________________________________________。 （2）x2+7x+6=__________________________________________________。 （3）x2?5x?6?__________________________________________________。 （4）x2?5x?6?__________________________________________________。 （5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。

2（6）x2?11x?18?__________________________________________________。 （7）-x+12-x__________________________________________________。 （8）x?xy?6y__________________________________________________。 （9）若x?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? 。

2222

（10）x?4x? ??x?3??x? ?

22．对于一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

因为，(a1x?c1)(a2x?c2)?a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2． 反过来，就得到；a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)

222a1我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

a22?c1c2，这里按斜

2线交叉相乘，再相加，就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于ax?bx?c的一次项系数b，那么ax?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行。 【典例解析】把下列各式因式分解：

(1) 12x?5x?2； (2) 5x?6xy?8y 【变式训练】

1.把下列各式分解因式： (1)m?4mn?5n； 222

22

(2) x?7x?18 ；

42

(3) 6x2?7x?3；

5）8x2?26xy?15y2 ；

(4) 2a2?5ab?33b2；

(6) 7(a?b)2?5(a?b)?2

给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯 （

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