香烟过滤嘴问题论文

《香烟过滤嘴问题》论文

新疆教育学院数学学院 2011级数学教育定向专科班

20110310468

张静 2014/4/2

香烟过滤嘴的作用问题

摘要：为了求解过滤嘴的作用及使用的材料和过滤嘴的长度的关系，我们建立一个描

述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。通过分析比较，我们得出过滤嘴可一定程度上阻碍烟毒进入人体。

关键词：过滤嘴 毒物量 毒物吸收率 1）问题的提出

普遍认为香烟过滤嘴的作用可使吸烟者对尼古丁和烟焦油等毒物的吸收率减少，肺癌死亡率下降。这有何根据呢？

本节从定量的角度介绍一个模型，描述烟雾通过香烟的过程，分析人体吸入毒物的数量与哪些因素相关，说明过滤嘴的作用与使用的材料和过滤嘴的长度之间的关系。 2）模型机理

假设毒物均匀地分布在香烟中，吸烟时点燃处的烟草化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分q0直接进入空气，另一部分q沿着香烟穿行。在穿行过程中，q又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的部分进入人体。q0:q的数量比例随吸烟的方式、环境等多种因素的变化而不同。烟雾沿香烟穿行的速度v随着吸烟动作变化也不断地变化。为了建立模型，我们希望避开这个复杂的过程。为此，设想吸烟者是架机器，吸烟的动作、方式及外部环境在整个吸烟过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例q0:q、烟雾穿行的速度v、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。香烟燃烧速度u与v相比，可认为燃点处于静止状态。下面用数学语言来描述。 3）模型假设

1．点燃处毒物随烟雾进入空气部分q0和沿香烟穿行部分q的数量比例是q0:q?(1?a):a, (0?a?1)；

2．烟雾沿着香烟穿行的速度v和香烟燃烧速度u都是常数。且v??u； 3．未点燃的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别为常数b和?；

4．香烟总长为l，烟草部分长l1，则过滤嘴长为l?l1。整支香烟所含毒物

Mw0?l1； 总量M均匀分布在长l1的烟草当中。于是毒物的平均密度

5．坐标系如图3-19所示。设t?0时刻，在x?0处点燃香烟，则在时整支香烟燃尽。

T?l1u

图3-19 x(0)?0香烟点燃状态

4）模型建立

首先定义几个基本函数：

毒物流量q(x,t)：在燃烧过程中的时刻t (t?0)，单位时间内通过香烟截面x (0?x?l)处的毒物量。

烟草毒物密度w(x,t)：在燃烧过程中的时刻t (t?0)，截面x (0?x?l1)处单位长度烟草中的毒物含量。

烟雾毒物密度?(x,t)：在燃烧过程中的时刻t (t?0)，截面x (0?x?l1)处单位长度烟雾内毒物的含量。则q(x,t)?v??(x,t)。

下面分三个阶段进行建模讨论

1． 确定t ?0瞬间，单位时间内通过x处的毒物量q(x,0)。 由假设2中关于v??u的假定，可以认为燃点x?0静止不动。

为简单起见，记q(x,0)?q(x)，?(x,0)??(x)。在[x, x??x]这一段香烟中，毒物通过x和x??x的流量之差为q(x)?q(x??x)，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未燃烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，即

?x??xxb?(x)dx或?xx??x??(x)dx。

因此我们有

?bx??x?(x)dx, 0?x?l1??xq(x)?q(x??x)??x??x????(x)dx, l1?x?l?x，

即

?bx??x?(x)dx, 0?x?l1??xv(?(x)??(x??x))??x??x????(x)dx, l1?x?l?x。

假设?(x)可导，令?x?0，将上式两边分别求导：

?b??(x) 0?x?l1d???v??dx????(x) l1?x?l??v。

再设燃点x?0处在单位时间内放出的毒物量为H。由假设1知q(0)?aH，从

aH?(0)?v。这时，我们构成 而

b?d????(x)??dxv???(0)?aH?v?，

解之，得

?(x)?aHbxexp(?) (0?x?l1)vv。

根据?(x)在l1处的连续性，可知

?(l1)?因而构成

blaHexp(?1)vv，

??d????(x)??dxv???(l)?aHexp(?bl1)1?vv， ?解得

?(x)?即

aH?(??b)l1??x?exp? (l1?x?l)?vv??，

?aH??bx?exp?v?v? (0?x?l1)????(x)???aHexp?(??b)l1??x? (l?x?l)1???v???v。

当x?l时，

q(l)?v?(l)?a?H?exp((??b)l1??l)v。

2．确定香烟在燃烧过程中任意t?0时刻，单位时间内通过x?l处的毒物流量

q(l,t)。

由假设2知u为常数，则t时刻香烟燃至x?ut处。这时，将第1步中的q(x)、?(x)、H分别改记为q(x,t)、?(x,t)、H(t)，其中H(t)表示t时刻点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量。根据与第1步完全类似的推导，只需将第1步中的?(x)的表达式中的x、l1和H分别替换为x?ut、l1?ut和H(t)，即得

?aH(t)??b(x?ut)?exp?v?? (0?x?l1)v????(x,t)???aH(t)exp?(??b)l1?but??x? (l?x?l)1???vv???。

由上式直接得出

q(l，t)?a?H（t）?exp(下面首先确定H(t)：

?bl1??（l?l1）?but)v。

设t?0时刻x?ut处，单位时间内燃烧的长度u，又烟草内毒物数量H(t)的密度为w(x,t)，故H(t)?u?w(ut,t)。

综合上述q、?、H三式，得

?(x，t)?aub(x?ut)?w（ut，t）?exp(?) (0?x?l1)vv

q（l，t）?auw（ut，t）exp（现在的任务是确定w(ut,t)：

?bl1??（l?l1）?but）v。

由假设4记w(x,0)?w0。随着t的增长，未点燃的烟草在吸烟过程中不断地

吸收烟雾中的毒物，致使w(ut,t)上升，根据守恒定律其增量应该等于单位长度烟雾中的毒物被未点燃的烟草吸收的部分。即在[t,t??t]时间内，

w(x,t??t)?w(x,t)?b?(x,t)?t，

令?t?0，得

?w?b??(x,t) (0?x?l1)?t

将?(x,t)的表达式代入，推得

b（x?ut）??wabu?w（ut，t）exp（?）??tvv???w(x,0)?w0

对上式从0到t积分：

w（x，t）?w0?exp(abu?bxtbutexp（）w（ut，t）exp（）dt?0vvv

but)v，得

以x?ut代入并两端同乘

w（ut，t）exp（butbutabutbut）?w0exp（）?w（ut，t）exp（）dt?0vvvv

butbutabutf（t）?w（ut，t）exp（）f（t）?w0exp（）?f（t）dt?0vvv记,则上式为

?w0，从而得到关于f（t）两端同时对t求导，并注意到t?0时f（0）的微分方程

buw0abubut??t）?f（t）?exp（）?f（vvv??f（0）?w0?，

解之，得

f（t）?w0but?（1?a）but??exp（）??1?aexp（?）?1?avv??。

结合f（t）的原始表达式，这等价于

w（ut，t）?于是

w0?（1?a）but?1?aexp（?）??1?a?v?。

H（t）?uw（ut，t）?uw0?（1?a）but?1?aexp（?）?1?a?v??，

q（l，t）?auw01?a?bl1??（l?l1）?but（1?a）but??1?aexp（?）exp（）??vv??

?auw0bl??（l?l1）?butabut?exp（?1）exp（）?aexp（）??1?avvv??。

3．确定抽完整支香烟时通过x?l处的毒物总量Q。

抽完整支香烟的时间

l1u0t?l1u。应用积分的方法，易知

Q??q（l，t）dt

auw0bl1??（l?l1）lu1butabut?exp（?）[exp（）?aexp（）]dt?01?avvv aw0v?（l?l1）（1?a）bl1?exp（?）[1?exp（?）]（1?a）bvv

回顾

w0?Ml1，代入上式，得

?（l?l1）（1?a）bl1aMvQ?exp（?）[1?exp（?）]（1?a）bl1vv。

5）模型分析

根据假设1、4可知，烟雾沿烟草穿行的毒物总量为aM，过滤嘴长度为l?l1。 下面我们从几个不同的角度分析Q与?、b、l1、l等因素的关系。

）Qv 1．注意到的表达式中是使Q下降的因子。因此，提高?值，或加大l?l1都能够对Q起到负指数衰减的效果，并且?和l?l1在数量上增加一定比例时所起的作用相同。这体现了香烟过滤嘴减少毒物进入人体的作用。另外，降低穿行速度v也可减少Q。

exp（??（l?l1） 2．记y?bl1，

??1?av，则在Q表达式中的

（1?a）bl111?e?ay[1?exp（?）]??f（y）bl1vy。

?0，从而Q?0。所以，提高烟草吸收率b，或加 当y???时，f（y）长l1也有助于减少Q。但与?和l?l1对Q所起的负指数衰减作用相比，增加b和

l1的效果要小得多。 3．当v???时，因子

exp（??（l?l1）v）?1，

（1?a）bl1v[1?exp（?）]?1v，

由此推出Q?aM。即烟雾穿行的速度v过大时，香烟过滤嘴失去作用。因此，

奉劝抽烟者切勿猛力抽吸。

4．为了更清楚地对过滤嘴的有效性作出评估，我们比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另外一支没有过滤嘴，香烟总长仍为l，但只吸到l1处即扔掉，参数w0、b、a、v与第一支相同。

吸第一支和第二支烟进入人体的毒物量分别记作Q1和Q2，Q1当然如同上面的Q的表达式，Q2也不必重新计算，只需把第二支烟设想成过滤嘴的吸收率与烟草吸收率相同为b的假过滤嘴香烟即可，这样由Q的表达式可直接写出

aw0v?（l?l1）（1?a）bl1exp（?）[1?exp（?）]Q1?（1?a）bvv

和

aw0vb（l?l1）（1?a）bl1exp（?）[1?exp（?）]Q2?（1?a）bvv，

两式相比，我们得到

Q1（??b）（l?l1）?exp（?）Q2v。

可见，若??b，则Q1?Q2；若??b，则Q1?Q2。因此，要做到比不装过滤嘴

有更好的效果，那么过滤嘴对毒物的吸收必须比烟草更为有效。

Q1我们还可以看到，如果过滤嘴的长度l?l1不变，那么比值Q2随吸收率??bQ1的增加成指数下降。再进一步，如果吸收率??b不变，则比值Q2随过滤嘴的长度l?l1的增加也成指数下降。由于提高??b必须研制新材料，难度较大，所以

一般都会建议采用增长过滤嘴的办法，它可达到同样的效果有较易办到。 5．设了过滤嘴，或加长l?l1又会带来另一番恶果。根据调查统计，过滤嘴香烟减少有害物质，但是，吸烟者在吸烟时，需要花费更大的劲抽吸，并且增加抽吸抽吸的次数。所以，参照3的分析，在一定程度上抵消了过滤嘴的作用，甚至有可能增加有害物质的吸入。此外，由于过滤嘴的卷烟纸较一般烟纸厚，阻碍了香烟燃烧时的氧化作用，增加吸烟的阻力。因此，吸烟者吸入一氧化碳（CO）的量增加。而一氧化碳（CO）可导致冠心病。 6）模型点评

这个模型在基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题。从提出假设，到运用物理学上的守恒定律建立微分方程，从而构造出模型，最后到结果的分析，整个过程可以说是用建模方法解决实际问题的一个范例。

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