第一讲：整数四则混合运算及简便运算

第一讲 整数四则混合运算

的简便运算

知识点拨

一、

整数四则运算定律

（1） 加法交换律：a?b?b?a

（2） 加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) （3） 乘法交换律：a?b?b?a

（4） 乘法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

（5） 乘法分配律：a?(b?c)?a?b?a?c；(b?c)?a?b?a?c?a （6） 减法的性质：a?b?c?a?(b?c) （7） 除法的性质：a?(b?c)?a?b?c；

（8） 除法的“左”分配律：(a?b)?c?a?c?b?c；(a?b)?c?a?c?b?c，这里尤其

要注意，除法是没有“右”分配律的，即c?(a?b)?c?a?c?b是不成立的！ 备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、 加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去

那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千??，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

三、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相

乘，使得运算简便。例如：4?25?100，8?125?1000，5?20?100

理论依据：乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c

1

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

四、乘、除法混合运算的性质

⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： a?b?(a?n)?(b?n)?(a?m)?(b?m)　　m?0，n?0

⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a?b?c?a?c?b

⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．

例如：a?b?c?a?c?b?b?c?a

⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

a?(b?c)?a?b?c　　　a?(b?c)?a?b?c ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

a?(b?c)?a?b?c　　　a?(b?c)?a?b?c

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符

号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即a?b?c?(a?　　　)b?c?a(?b?c?a?bc

a?b?c?(a?　　　)b?c?a(?b?c)?a?bc⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即

(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)?(a?d)?(b?c) 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

例题精讲

一、加法

【例1】：278+463+22+37

举一反三：732+580+268

二、减法

【例2】：2871-299

2

举一反三：

（1）157-99 （2）363-199 （3）968-599

三、连减（5种）

【例3】：528－53－47

举一反三：

（1）489－134－76 （2）470－254－46

【例4】：496－（296＋144）

举一反三：

（1）675－（175＋89） （2）466－（66＋125）

【例5】：496－（144＋296）

举一反三：

（1）675－（89＋175） （2）466－（125＋66）

3

3）545－167－133 （3）354－（154＋77） （3）354－（77＋154） （

【例6】：528－72－28

举一反三：

（1）489－77－389 （2）465－267－65 （3）545－167－145

【例7】：824－224－176－124

举一反三：

（1）643－164－133－243 （2）487－187－139－61 （3）545－167－145

四、乘法分配律（8种）

【例8】：计算：125×（80＋32） （24＋40）×25

举一反三： （1）125×（64＋80） （2）（80＋32）×125 （3）（16＋32）×25

4

【例9】：（1）125×（100－8） （2）（125－40）×8

举一反三： （1）125×（100－48） （2）（100－16）×25

【例10】：（1）117×56＋117×44

举一反三： （1）269×26＋74×269 （2）521×65＋35×521 （3）126×72＋126×12＋126×16

【例11】：125×69－125×61

举一反三： （1）25×127－25×119 （2）365×251－365×151

（3）156×59－156×27－156×22 （4）137×97－44×137－137×43

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