浅谈用环路定理求解磁场问题

目 录

1 引言.............................................................. 1 2 磁场及磁感应强度.................................................. 1

2.1磁场......................................................... 1 2.2 磁感应强度 .................................................. 1 3 磁场的安培环路定理................................................ 2

3.1 安培环路定理的表述 .......................................... 2 4 用环路定理求磁场的步聚和注意事项.................................. 4

4.1 步聚 ........................................................ 4 4.2 注意事项 .................................................... 4 5 安培环路定理的应用................................................ 4

5.1 无限长圆柱载流直导线的磁感应强度 ............................ 5 5.2 无限长载流螺线管的磁场 ...................................... 6 5.3 环形载流螺线环的磁场分布 .................................... 7 5.4 求无限大均匀载流平面磁场分布 ................................ 7 6 总结.............................................................. 8 参考文献：......................................................... 10 致谢............................................................... 11

浅谈用环路定理求解在真空中的磁场问题

摘要：恒定电流磁场中，磁感应强度：沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的?0倍，与环路外电流无关。这个结论称为安培环路定理

（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。

讨论一些复杂的磁场问题，用毕奥—萨伐尔定理不能用，所以我们用安培环路定理来解决磁场分布是对称的问题。一般地 ，当电流具有高度对称性分布时，安培环路定理是有效可行的。

关键词：磁场；稳恒磁场；安培环路定理；变磁场；磁感应强度；体电流密度；

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1 引言

本论文中我们主要讨论关于用安培环路定理求磁场的步聚、 注意事项,关于安培环路定理的应用等一些问题。它的数学表达式是?B?dl??0L（L内）?I 按照安培

环路定理 ，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。一般地 ，当电流具有高度对称性分布时，安培环路定理是有效可行的。当电流为无限长直导线分布，无限长圆柱体、无限长圆柱桶、无限长圆柱面分布，无限大面分布，长直螺线管、螺绕环分布等都能找到适当的安培环路，使磁感应强度B满足?B?dl??0L（L内） ?I。

大学物理中磁场的安培环路定理是我们重要掌握的主要内容之一，它不仅反映了磁感应强度沿磁感应线的环路积分不等于零，而其反映了磁场的涡旋性及磁场与电流的关系。讨论一些复杂的磁场问题，用毕奥—萨伐尔定理不能用，所以我们用安培环路定理来解决磁场分布是对称的问题。

2 磁场及磁感应强度

2.1磁场

如果把铁或磁针放在磁体附近，它们会受到一种力的作用。看来，磁体周围有一种物质，这种物质看不见，摸不着，我们把它叫做磁场。在物理学中，许多看不见，摸不着的物质，可以通过它对其他物体的作用来认识。像磁场这种物质，我们用实验可以感知它，所以它是确确实实存在的。

磁场对外的重要表现是：（1）磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载流导体有磁力的作用；（2）载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力将对载流导体作功。

存在静止电荷的周围存在着电场，如果电荷在运动，那么在它的周围就不仅有电场，而且还有磁场。不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也称为“静磁场”。 随时间变化的磁场叫做变磁场。稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又会对其他的运动电荷有作用力。

2.2 磁感应强度

为了定量地描述电场的分布，我们曾引入电场强度矢 E 。 同样，为了定量地描述磁场的分布，我们将引入磁感应强度B。

因为磁场要对运动带点粒子施力，试探电荷所所受的磁力F不但取决于其电荷q，而其取决于其速度?，实验还表明，对磁场中的任意给定点p，不论试探电荷有怎么样的q和v必定存在唯一的矢量B使下式成立：

1

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F?q??B 式（2-1） 可见同E的作用类似，B是描述磁场中每点性质的物理量。既然E 称为电场强度，应理把B称为磁场强度，只是由于历史原因，人们长期来把B称为磁感应强度。

3 磁场的安培环路定理

恒定电流磁场中，沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的?0倍。 表达式：

?B?dl???IL 式(3-1) 0（L内）3.1 安培环路定理的表述

3.1.1证明磁场中的安培环路定理

已知：导线电流I，圆周路径 L半径为R。

证明：选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点o圆心，半径为R的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。无限长直电流的磁场载流长直导线磁感强度为

B??0I 式（3-2） 2?R其中I是通过导体的电流，?0 是真空 导率，R是dl到导线距离，dl//B

?B?dl??l?0Idll2?Rdl??0I

图(3-1-1)设闭合回路l为圆形回路

?0I?2?

?2?R0可得出：

?B?dl??I 式（3-3）

l0若回路绕向化为逆时针时，则

?0I2πR?lB?dl??2πR?0dl???0I3.1.2对任意形状的环路 积分环路不平行平面

式(3-4)

?B?dl??B?(dl

//?dl?)

2

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??B?dl???B?dl// ?l?B?dl?

0?B?dl??I 式（3-5）

图（3-1-2）任意形状的环路

等于把磁场对环路投影的积分。 3.1.3电流在回路之外

曲线不围绕长直导线的情况（图3-2-2） 从平面与导线交点出发作曲线的两条切线将 曲线分为两部分，与导线距离为r1和r2处 的磁感应强度：B1,B2的大小为：

B?0I?0I1?2πr B2?12πr

2?lB?dl??lB?dl?11?lB2?dl?2?0I?2????????Ild??1?ld2??02???????0?lB?dl?0式（3-6）

3.1.4多电流情况

B?B1?B2?B3

?B?dl??0?I2?I3? 式（3-7）

L可得：恒定电流磁场中，磁感应强度：沿任意 闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代 数和的?0倍。

表达式： ?LB?dl??0

（?IL内）符号规定：至于B方向，可由右手螺旋法 则判断：用右手弯曲的四指代表磁感应电流方 向（图3-1-5），则拇指的指向就是轴线上的电 流方向，不穿过回路边界所围面积的电流不计 在内。

不难看出，如果比曲线L围绕长导线n周

3

3-1-3）电流在回路之外

图3-1-4多电流情况

图(3-1-5) 符号规定

图（

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?B?dl??l0nI；

穿过L的电流：对B和?B?dl均有贡献；不穿过L的电流：

ll对L上各点B有贡献； 对?B?dl无贡献。以上结果对任意形状的闭合电流（伸向无限远的电流）均成立。

命题1：设两电流源关于平面N镜像对称，则他们在N上激发的合磁场B必

垂直于N（除非B=0）。

4 用环路定理求磁场的步聚和注意事项

4.1 步聚

(1)分析磁场的对称性；(2)根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路,使得沿此环路的积分易于计算；B的量值恒定，dl与B的夹角处处相等； (3)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负；(4)利用公式

?B?dl???I求磁感强度。

L0（L内）4.2 注意事项

（1）任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立；(2)环路虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有电路在空间产生磁场的叠加；穿过L的电流：对B和

?B?dl均有贡献；不穿过L的电流：对L上各点B有贡献，对?B?dl无贡献；(3)?B?dl（环流）与曲线的形状无关,与回路外的电流无关，只与包围的电流

lll有关；（4）安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线；（5）静电场的高斯定理说明静电场是有源场，环路定理有说明静电场无旋；稳恒磁场的环路定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理有反映稳恒磁场无源。

5 安培环路定理的应用

我们用毕奥—萨伐尔定理当求载流长直导线上的磁场B，无限大平面电流上的磁场B，载流圆线圈轴线上的磁场B，螺线管轴线上的磁场B时，已经遇到很复杂的一些积分，有的时候不知道从什么地方入手。但利用安培环路定理时顺利的很容易求磁场对称性分布的，电流为无限长直导线分布，无限长圆柱体、无限长圆柱桶、无限长圆柱面分布，无限大面分布，长直螺线管、螺绕环分布等一些问题。

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5.1 无限长圆柱载流直导线的磁感应强度

为R的无限长圆柱载流直导线，流I沿轴线方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算意点P的B=？

解：设圆柱形导线半径为R，电流为I。 分析对称性

由电流分布沿主轴平移对称性可知B也有这种对称性，因此只需讨论任一与轴垂直的平面内的情况。

电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称

在此平面内任取一个与轴距r的点场P，以N代表由P和主轴决定的平面（图5-1），则易见N是电流分布的镜像对称面。（圆柱形可被分成无数对电流元，每对电流元对于N镜像对称）于是由命题1可知p点的B与N垂直B?oP（在图5-1中）。过P点做圆周L，其圆心在主轴上。由绕轴旋转的对称性可知L上个点的B有相同数据B方向沿切线，以r代表P与轴的距离。 先讨论P在导线外的情况（r>R）。对L使用环路定理，

?B?dl??Bdlcos??B?2?r

又?B?dl??I B?2?r??0I

Ll0?B??0I2?r 式（5-1-1）

可见主外的磁场等同于全部电流集中于主轴 所得直线电流的磁场。再讨论电场P在导线 内的情况（ r

2?r的电流不是I而是(?Rr2)I?(2R2)I.

N

?B?dl??B?dlcos?ll?B?2?r

I 2?R

2若电流密度是均匀的，有j?Ir2通过截面积2?r的电流是: j?r?2

R图5-1无限长圆柱载流直导线

l????B?d l0I2j?ds??0?r

?R2 5

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I?0I2B?2?r??0?rB?r 式（5-1-2） 22?R2?R由式（5-1-1），（5-1-2）可作出B对r的函数曲线。我们用安培环路定理得的值与毕萨定理结果一致，与实验结果比较符合。

5.2 无限长载流螺线管的磁场

设P1是任一场点。螺线 管的“并排园电流”模型 （在图5-2中）加上无限 长的条件，便知过P1并与 管周垂直的平面N是电流 分布的镜像对称面，故由 命题1可知道P1点的磁场 与N垂直，即沿轴向。另一方面，由无限长条件不难证明过P1的任一直线上个点的磁场有相同的大小。 下面分别讨论P在管内和管外两种情形：

先讨论管内任一点P1（在5-2）。对它使用环路定理，注意到在两个竖直边上B与dL垂直的

图(5.2）无限长载流螺线管对N平面的载止平面

0??0I??B?dl??B?dl??B?dl?BAB??BFE?

ABFE其中?为AB的边长，BAB 和BFE分别是AB和FE边的B值。又因BAB??0nI，故式（5.1）给出BAB?BFE??0nI.因为FE是管内任意位置，所以对管内任一点有 B内??0nI 式（5-2-1）

再讨论管外任一点p2.改用图（5.2）的矩形ABCDA，这时安培环路定理给出

?0nI??B?dl??B?dl??B?dl?BAB??BCD?ABCDAABCD???0nI?BCD??故BCD?0 . 以上推理的出发点是轴线上的B??0nI，可见管外任一点

?B外?0 式（5-2-2）

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5.3 环形载流螺线环的磁场分布

设换水平放置，过环心的水平解剖面如图（图5-3），以r代表内线圆周的半径平均值.因为过环心的任意竖着平面N都是电流分布的镜像对称面，所以环内外任一点的B都与过该点并与中心圆周心的园相切。设小圆半径为a，我们只讨论a<

分析对称性

磁力线分布如图,作积分回路如图 由于电流对称分布，与环共轴的圆周上， 各点B大小相等取以o为中心，半径为 r的圆周为L。

环路方向

N

B

当R1?r?R2方向 右手螺旋 计算环流

?B?dl??Bdl?2?rB

把安培环路定理应用于中心园得：

图（5-3）环形载流螺线管对N平面的载止面

?B?dl??0NI B?讨论：同无限长螺线管

若 r?R1 ?0?Ii?0 ?B?0 r?R2 ?0μ0NI式（5-3-1）

2πr

?Ii??0?NI?NI??0?B?0

当a??r 即r ? R B??0nI 其中 n?N式（5-3-2）

2?R

上式是中心圆上的B。对环路任意长点，可过它作与中心园同心的圆周L。L上的B也沿切向，L的半径可近似看做r（a<

5.4 求无限大均匀载流平面磁场分布

先考虑一块载有恒定电流的金属平板其电流密度J在版内为常矢量，其平行板的一边（图5-4-1）。设板的厚度为d时则其厚度则上长度为L的一端相应的面积Ld上的电流为I=JLd.当场点与板的距离远大于d时，可忽略d而认流集中

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ia 图（5-4-1）无厚度的平面 图（5-4-2）载流面

于个无厚度的平面上，这就是面电流的概念定义面电流密度a为面上这样的矢量

场，其方向与J相同，大小等于与a垂直的单位长度上的电流，即

Ijld（5-4-1） a???jd 式

ll

其中J在必要时则改称为体电流密度。a为常矢量的无限大平面称为均匀载流无限大平面。下面计算它的磁场B。按图（图5-4-2）取直角坐标系在载流面两侧对称的任取两点P1，P2 (图5-4-2)因为电流分布具有沿X和Z方向的平移不变形，所以过P1（或P2）并与载流面平行的平面上个点的B相同。以B1和B2分别代表P1和P2点的磁场。易见与Z轴垂直的任一平面都是电流分布的镜像对称面，故命题1可知B1和B2都同Z轴平行，即B?B1ZK,B?B2ZK。即B1x，B2x，作如图（图5-4-2）的矩形。

设其与载流面平行的边长为L，则有安培环路定理得

?0il??B?dl?B2Zl?B1Zl, 故B2Z?B1Z??0i

·

式（5-4-2）

有对称性可以知B1?B2,即B2Z??B1Z ，代入上式得

B2Z??B1Z??0i2

6 总结

对于大学物理课程，磁场的安培环路定理是非常重要的一个知识点．它反映

了磁场与产生磁场的电流之间的关系，反映了磁场是个有旋场，利用该定理可以方便地求出均匀无限大介质中具有对称分布的电流产生的磁场分布．现有的教材一般都采用无限长载流直导线产生的磁场进行讨论，归纳出恒定磁场的安培环路定理。

我们本论文中利用磁感应强度的对称性特点，讨论怎样选择适当形状的环路，利用稳恒磁场有旋等特点。还我们本论文中只要讨论真空磁场的求磁场问题，

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bfkf.html