挖掘课本资源,渗透数形结合(1)

正方形在代数中的应用

挖掘课本资源，渗透数形结合 ——谈正方形在代数中的应用 江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰 江苏省赣榆县欢墩中学（222133）朱林

摘要：数形结合是一种重要的数学思想，正方形因其完美的性质在新课标教材代数部分的内容中多次出现。构造正方形解决代数问题既是一种解题策略，更充分体现了数形结合思想。构造正方形解决代数问题有助于拓宽学生的解题思路，提高学生的思维能力，创新能力，有助于认识问题的本质。

关键词：数形结合 构造正方形 面积 数形变换

数形结合就是注重把数与形结合起来，使图形的问题借助于数量关系推演而具体量化，或者使数量关系的问题借助于几何图形而直观形象化，将抽象的数学语言玉直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象，表象的联系和转化，达到化难为易，化繁为简，化生为熟的目的。数学中许多代数问题有较强的几何意义，应用它的几何意义解析代数问题，可以使学生提高“数形变换”的思想认识。构造解决代数问题的几何图形有多种，其中正方形因其特有的性质在新课标教材中多出被用到。现在以北师大教材为例，谈谈正方形在代数中的应用。 一、正方形与乘法公式 1、 正方形与平方差公式 a平方差公式a2

b

2

(a b)(a b)或

(a b)(a b) a b

2

正方形在代数中的应用

b公式的几何解释 方法1：图1（1）中S∴a2

b

2

阴影

a b

22

，图1（2）中S阴影 S长方形 (a b)(a b)

(a b)(a b)

a b

2

2

方法2：在图2中S∴a2

b

2

阴影

又S阴影

a(a b) b(a b) (a b)(a b)

(a b)(a b)

2、.正方形与完全平方公式 a公式1：(a b)2几何解释：

方法1：在图3中

(a b) a 2ab b

2

2

2

a 2ab b

22

或a2

2ab b

2

(a b)

2

S正 (a b)

2

，又

S正 a 2ab b

22

∴

。

正

方法2：在图4中S∴(a b)2

2

(a b)

2

2

，又S

正

4ab (b a)

2

a 2ab b

22

a 2ab b

2

2

b公式2：(a b)2几何解释：

a 2ab b

或a2

2ab b

2

(a b)

2

S方法1：如图5中，

小正

(a b)

2

。又S

小正

a b 2(a b) a 2ab b

2222

。

∴(a b)2

a 2ab b

22

(a b)

2

方法2：在图6中S∴(a b)2

2

小正

，又S

小正

(a b) 4ab a 2ab b

222

a 2ab b

2

正方形在代数中的应用

点评：构造正方形表示乘法公式，让学生感受到乘法公式不再是枯燥的数学符号，而是具有直观的几何意义，从而加深对乘法公式的认识。

二、正方形与勾股定理

若把勾股定理中 形的方法验证。

方法1：在图7中，S大正

化简得a2

b c

2

2

a b c

222

看作是一个等式，则也可用构造正方

(a b)

2

，又S

大正

4

12

ab c

2

c 2ab

2

。

。

c

2

方法2：在图8中S大正

a

b c

2

2

2

，又S

大正

4

12

ab (b a)

2

，化简得

三、正方形与无理数的引入

北师大版八年级上是样引入无理数的：如图9，现有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形 （1） 设大正方形的边长为a，a满足说明条件？

正方形在代数中的应用

（2） a可能是整数吗？说说你的理由

（3） a可能是分数吗？说说你的理由，并与同学交流。

点评：两个边长为1的小正方形通过剪拼可得一个大正方形，（图略）其面积显然是2。设其边长是a，则a2

2

，显然a既不是整数，

也不是分数，所以a不是有理数，但a又实实在在存在，那么a到底是什么数呢？这样的引入能使学生感受到生活中的确存在不是有理数的数，能让学生产生强烈的认识冲突，激起学生的探索欲望。把抽象的无理数通过图形表现出来，充分体现了数形结合的魅力。 四、正方形与配方法

配方法是重要的数学方法，在教学中发现很多学生对配方中“加上一次项系数一般的平方”并不理解，而是机械的记忆，其实只要构造合适的正方形就很直观地揭示配方法，即配方法的几何意义。 例1：在下列横线上填上合适的数。使其成为完全平方式。 ①x2

8x _ (x _)

2

，②x2

4x _ (x _)

2

的正方形的基础上，

分析： ①就是在边长为“x2

就是在边长为x 8x”

再加上两个长为x，宽为4的小正方形，为使其成为完全平方式（即图形变为正方形），必须加上一个边长4的小正方形（如图10）即

x 8x 4 (x 4)

2

2

2

正方形在代数中的应用

②把x2看作边长为x的正方形面积，把4x看作是长为x，宽为4的两个全等的长方形的面积，“x2 4x”就是从边长为x的正方形中减去两个长为x，宽为2的长方形，为使其成为完全平方式，多减了一个边长为2的小正方形（如图11）从而②的左边应填上

2

五、正方形与一元二次方程的解法。

一元二次方程其实也可以用几何方法来解。现举一例，解方程

x 2x 35 0

2

解法一：三国时期数学家赵爽的解法。 由于x2

2x 35 0得x(x 2) 35

如图14，构造边长为x(x 2)的正方形。

则其面积为(x x 2)2，又由图12知大正方形的面积又等于

4(x 2)x 2 4 35 4 144

2

∴(x x 2)2

144

∵x表示边长， ∴x 5

2x x(x 2)

点评：赵爽的解法是把方程中含未知数的项x2

看作是

矩形的面积。然后用四个这样的长方形及一个边长为2的正方形组成一个边长为(x x 2)的正方形，再由面积关系求出x。

正方形在代数中的应用

解法二：阿拉伯数学家阿尔.花拉子米的解法

如图13，先构造边长为x 的正方形，然后补上长，宽分别是x和1的矩形，再补上一个边长为1的小正方形，这样就组成了一个大正方形，显然其面积是(x 1)2。另一方面，大正方形面积等于

x 2 x 1 1 35 1 36

2

∴(x 1)2

36

∴x

5

点评：花拉子米的解法是把x2 看作一个边长为x的正方形的面积，把2x 看作是2个长与宽分别是x 和1的矩形的面积，再补上一个边长为1的正方形，就能组成一个新的正方形，其边长为x 1，再由面积关系求出x。注：上述几何方法构造正方形只能得到方程的正根。若原方程只有负根，则不能用几何解法。 六、正方形与不等式的证明 例2：设m，n，p为正整数，且m2

n p

2

2

0

求证：

pm n

22

证明：如图14，构造边长m n的正方形ABCD点E,F,G,H 分各边为m, n.易知 EG等号成立），∴

2P

且EG

p

AB（当 HA HB 即m n时，

2p m n 即

m n

22

求

例3：已知正数 a，b，c，A,B,C 满足证 :aB

a A b B c C

bC cA

<K2 .

正方形在代数中的应用

证明：已知：如图15，构造边长为K的正方形，由图易知三个阴影的矩形面积之和小于正方形面积，∴aB

bC cA

点评：以上两例通过构造正方形，以形示数，数形结合，把原本复杂的问题变得简单。把抽象问题变的直观。 七、正方形与实际问题

例4，一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出一部分酒精后，用水加满。第二次又倒出同样多的液体，再用水加满，这时容器剩下的纯酒精是28升，求每次倒出液体多少升？

解：如图16，构造边长为x y的正方形，其面积(x 器的容积63升。易知S1的体积为x(x

y)升，图

y)

2

表示容

x(x y)

，S2

xy

，S

3

y

2

设第一次倒出酒精

19接着用水加满，即加入S1升水，由图形可

知。此时容器中纯酒精与水的比为y:x，因第二次又倒出同样多的液体，故第二次倒出的液体中，纯酒精占S2器

xy

升，水占x2升。最终容

2

里剩下的纯酒精为

S3 y

28

升。∴

正方形在代数中的应用

S1 x(x y) (x y) y(x y) 63

2

63

28 21即每次倒出液体为21

升。

总之，数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美，统一美。数，式能反映图形的准确性，图形能增强数式的直观性，著名数学家华罗庚曾说过：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”可见“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。对于数形结合，在日常教学中教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从“形”到“数”，揭示“形”中“数”的本质开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力。

参考文献：

［1］马小为.中学数学解题思想方法技巧［M］.陕西师范大学出版社

［2］张连平.配方法的几何意义［J］.中小学数学（初中教师版）2005（6）.9-10

［3］王绪峰.例谈在课堂教学中渗透数形结合思想［J］.中国数学教育（初中）2012（3）

［4］程峰.一元二次方程的几何解法［J］初中数学教与学2010（7）

［5］程峰.小议正方形在代数中的应用［J］数学周报（初中华师

正方形在代数中的应用

九年级）2005—2006第34期第4版

［6］义务教育课程标准试验教科书［M］七年级（下）八年级（上）九年级（上）。北京师范师范大学出版社 邮箱：421689042@ 电话：13815680091 姓名：朱林

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