第一章n阶行列式

第一章 n阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,?,pn构成的不同排列有n!种． 解 在n个元素中选取1个 n种取法 在剩余n?1个元素中选取1个 n?1种取法 在剩余n?2个元素中选取1个 n?2种取法 ?????? ???? 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共n!种取法

2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数：

(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序．

(2) 排列p1p2?pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作?(p1p2?pn)． 算法：固定i(?2,?,n), 当j?i时,

满足pj?pi的“pj”的个数记作?i（称为pi的逆序数）, 那么?(p1p2?pn)??2????n．

例2 排列6372451中, ???2????7?1?0?3?2?2?6?14． 例3 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42, 求逆序数．

解 记作p1p2?pnpn?1pn?2?p2n?1p2n ?2?0, ?,?n?1?0

?n?2?2?2?1, ?n?3?4?2?2, ?, ?2n?2?(n?1) ??2[1?2???(n?1)]?n(n?1) 4．奇偶性：排列p1p2?pn

?(p1p2?pn)?奇数时, 称为奇排列； ?(p1p2?pn)?偶数时, 称为偶排列． 5．对换：

相邻对换：p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般对换：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn (i?j)

定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变． 证 先证相邻对换：(1) a1?alabb1?bm (2) a1?albab1?bm

a?b：对换后?a增加1, ?b不变, 故t2?t1?1； a?b：对换后?a不变, ?b减少1, 故t2?t1?1． 所以t2与t1的奇偶性相反．

再证一般对换：(1) a1?alab1?bmbc1?cn (2) a1?alb1?bmabc1?cn (3) a1?albb1?bmac1?cn (1)?(2)经过m次相邻对换 (2)?(3)经过m?1次相邻对换

(1)?(3)经过2m?1次相邻对换, 所以t3与t1的奇偶性相反．

2

推论 奇排列?标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列?标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n阶行列式的定义 1．二阶：

a11a21a11a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21

a13a23?a33a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32

2．三阶： a21a31 ?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 (1) 乘积中三个数不同行、不同列：?a1pa2pa3p

123 行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：p1p2p3是1,2,3的某个排列(共6种) (2) 正项：123, 231, 312为偶排列 负项：132, 213, 321为奇排列

a11a12a22a32a13a23?a33 于是 a21a31?(?1)(p1p2p3)?a1p1a2p2a3p3, ???(p1p2p3)．

3．n阶：n2个数aij(i,j?1,2,?,n), 称

a11a12a22?an2???a1na2n?ann D?a21?an1

为n阶行列式, 它表示数值

?(?1)(p1p2?pn)?a1p1a2p2?anpn, ???(p1p2?pn)

其中, 求和式中共有n!项．

3

a11a12a22???a1na2n?anna11???a1,n?1a2,n?1a1n 例3 计算D1?, D2?a21?an1.

解 D1中只有一项a11a22?ann不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 ?(12?n)?0, 故D1?(?1)?a11a22?ann?a11a22?ann．

D2中只有一项a1na2,n?1?an1不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

?(n?21)?1?2???(n?1)?n(n?1)n(n?1)2

故D2?(?1)a1na2,n?1?an1?(?1)?2a1na2,n?1?an1．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素

n(n?1) 的乘积, 并冠以符号(?1) 特例：

?12．

?1?2???1?2??n，

?2?n(n?1)?(?1)2?1?2??n

?na11a12a22?an2???a1na2n?ann??n 定理2 D?a21?an1?(?1)(q1q2?qn)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn (2)

证 由定义知 D??(?1)(p1p2?pn)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn (1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

?(qq (?1)12?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(q1q2?qn)a1p1a2p2?anpn (3)

4

① ?(q1q2?qn)?偶数

q1q2?qn?12?n 偶数次对换 12?n?p1p2?pn 偶数次对换 所以?(p1p2?pn)?偶数 ② ?(q1q2?qn)?奇数

q1q2?qn?12?n 奇数次对换 12?n?p1p2?pn 奇数次对换 所以?(p1p2?pn)?奇数 因此(?1)?(qq (?1)?(qq12?qn)?(?1)?(p1p2?pn), 由(3)可得

?(p1p2?pn)12?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)a1p1a2p2?anpn

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

§1.4 行列式的性质

a11?a1n??anna11?an1??ann 性质1 设D??an1, DΤ??a1n, 则DΤ?D．

证 令bij?aji(i,j?1,2,?,n), 则

b11?bn1??? DΤ??b1n??(?1)(p1p2?pn)?b1p1b2p2?bnpn ???(p1p2?pn)

bnn ??(?1)(p1p2?pn)ap11ap22?apnn?D (根据Th2)

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