掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

毕 业 设 计（论 文）

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的影响》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他

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论文作者签名： 时间： 年 月 日

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目录

摘要 ............................................................................................................................................. I Abstract ..................................................................................................................................... II 1引言 ......................................................................................................................................... 1 2砷化镓半导体量子阱 ............................................................................................................. 2

2.1半导体材料简述 ...................................................................................................... 2 2.2砷化镓半导体 .......................................................................................................... 2 2.3低维半导体 .............................................................................................................. 3 2.4费米能级 .................................................................................................................. 3 2.5量子阱 ...................................................................................................................... 4 2.6砷化镓半导体的应用 .............................................................................................. 6 3量子阱相关的基本理论 ......................................................................................................... 7

3.1量子力学与波函数 .................................................................................................. 7 3.2薛定谔方程 .............................................................................................................. 8

3.2.1薛定谔波动方程的应用 .......................................................................... 10 3.3有限差分法 ............................................................................................................ 11 3.4求解本征能级能量 ................................................................................................ 12 3.5求解费米能级 ........................................................................................................ 14 4掺杂浓度对费米能级的影响 ............................................................................................... 16

4.1量子阱结构 ............................................................................................................ 16 4.2软件计算 ................................................................................................................ 16 4.3数值结果 ................................................................................................................ 17 4.4数值分析 ................................................................................................................ 19 5结论 ....................................................................................................................................... 20 致谢 .......................................................................................................................................... 21 参考文献 .................................................................................................................................. 22 附录 .......................................................................................................................................... 23

摘要

单量子阱可以按照自己的意愿对半导体化合物分组和生长厚度进行控制，在不同的量子阱中电子的运动也会发生变化，电子的运动状态会影响到量子阱的能级能量。费米能级存在于两相邻能级之间，它的位置可以决定载流子分布状态。载流子的浓度会影响半导体的物理性能，从而可以制作出各种各样的半导体器件。然而，费米能级的位置不是一个固定不变的值，它会随着外界施主杂质掺杂浓度和温度的变化而变化。

首先，本文会介绍半导体物理的知识，系统的介绍量子阱方面的内容，然后再引出砷化镓半导体。在前面的内容都完成之后，介绍利用有限差分法求解薛定谔方程。再求出砷化镓单量子阱的本征能级能量。最后求解费米能级解析式，用Matlab软件数值计算出掺浓度对费米能级的影响。

关键字：砷化镓；量子阱；薛定谔方程；费米能级；有限差分法

I

Abstract

Single quantum well can follow their wishes to control their growth of semiconductor compounds group and thickness, the movement of the electronic are different in different quantum well, and it will affect the state of the electronic energy levels of the quantum well. Fermi level exists between two adjacent levels, it can determine the position of the carrier distribution. The concentration of the carrier will affect the physical properties of the semiconductor, so we can produce a wide variety of semiconductor devices. However, the position of the Fermi level is not a fixed value, it will changes if we change the concentration and temperature of the external donor doping impurity.

First, this article will introduce the knoweage of semiconductor physics, and systematic introduce the quantum well. Then leads to gallium arsenide semiconductors. After that, this article will introduce how to solving the Schr?dinger equation by finite difference method, and obtained single quantum well. After

II

re-solving analytic Fermi level, the impact of the doping concentration on the Fermi level of the value calculated using Matlab software.

Key word：GaAs; Quantum wells; Schr?dinger equation; Finite Difference Method; Fermi level

III

掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

1引言

费米能级在半导体当中是一个非常重要的参数，它指的是电子占据最高的那一层能级被电子占据的概率是二分之一。对于不同的半导体费米能级的位置也是不同的，并且半导体的费米能级也会跟随半导体掺杂浓度和温度的变化而会分布在半导体不同的位置。本文研究的是半导体当中掺杂浓度对砷化镓单量子阱半导体费米能级的影响，通过用薛定谔方程利用时域有限差法计算出本征能级的能量表达式，而后借助Matlab软件计算解出砷化镓半导体本征能级能量。通过系统表面电子密度的公式计算出费米能级的表达式，再用Matlab数值计算出掺杂浓度对砷化镓费米能级的影响。文章有涉及量子阱的基本知识、薛定谔方程还有Matlab的基本操作。

在砷化镓半导体的研究中，本文的研究结果非常重要。它的价值在于非常清楚地给学者提供了掺杂浓度对费米能级影响的参数，可以给予研究人员参考。

要想完成这个课题的研究，首先要对半导体物理学有相当程度的了解。对砷化镓半导体的物理性能理解清楚，还要深入理解半导体量子阱费米能级的物理意义，开发数值计算半导体单量子阱费米能级的程序，并分析不同掺杂浓度对其费米能级的影响。

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

2砷化镓半导体量子阱

2.1半导体材料简述

半导体材料是指物体的传输电子的能力在导体和绝缘体两者之间的一种东西。半导体材料可以分为很多的种类，如果按照半导体的化学组成物来分，可以将半导体分为元素半导体还有化合物半导体等半导体。元素半导体是一种元素组合成的半导体，例如硅（Si）。由多种元素化合组成的半导器件称为化合物半导体，比如砷化镓。其中GaAs是现在半导体界当中使用最多的一种化合物半导体。假如按照掺杂物种类的不同，可以分为N型半导体和P型半导体。

N型半导体就是空穴浓度比电子的浓度要小很多的一种半导体。N型半导体是构建互补电路还有双极性晶体管必须要有的材料[1]。比如在非常纯净的单格硅晶体中掺入正五价元素（如磷），这些元素的价电子带都有五个电子,使它可以取代硅晶格中原子的位置，那个位置就会多出一个电子，就形成了N型半导体。也有不少的材料导电性能很好是由于材料中有多出来带正电的粒子，但是其主要的还是因为里面有很多的多子引起的，所以“多数载流子”也在 N型半导体材料中是电子的别称。

P型半导体就是半导体中空穴的浓度远远大于自由电子的浓度的一类杂质半导体。像这样的半导体电子的传输主要是由空穴引发的，所以在这个时候下电子是少数载流子。

2.2砷化镓半导体

砷化镓（AsGa）这是一种化合物半导体材料，熔点 1238℃。是用作制作微波材料和电路板(集成电路)的重要半导体材料，它的性能比硅半导体更优良。和别的种类的半导体材料相比下，砷化镓半导体有它相对优于其它半导体的地方：

（1） 砷化镓的禁带宽度大，所以砷化镓半导体器件可以保持在更大的工作环境温

度下正常工作(当温度升高时,禁带宽度减小)；

（2） 其pn结的反向电压高，反向饱和电流低，适用于制作较大功率半导体器件； （3） 可以使得杂质更容易进入深能级，制作成内电阻率比硅要大出3倍以上的衬

底在集成电路中。

（4） 砷化镓的电子迁移率高，能满足信息当中的高频化。

（5） 砷化镓的电子有效质量小，从而减小了杂质电离能量，在温度非常低的环境

下仍然可以被电离，非常大的减小了砷化镓半导体工作环境的含水量，降低了器件在工作状态下的各方面噪声。

（6） 砷化镓半导体的光电转换能力强，它被广泛地作成激光器和红外光电器件。

砷化镓半导体按照掺杂浓度的不同可以制作成N型半导体和P型半导体，比如给砷化镓半导体中掺入硅（Si）元素杂质，如果硅元素杂质取代的是砷的位置，就会少一个成对电子（即对出一个空穴）就是P型半导体，如果取代的是镓的位置就

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会多出一个成对电子，就是N型半导体。在此说明，本文研究的砷化镓是N型半导体。

表1.1 T=300K时，砷化镓材料一些参数 禁带宽度Eg 1.43eV 电子迁移率 约为0.74cm2/V*s 2空穴迁移率 约为0.285cm/V*s 导带NC 4.7×1017/cm-3 价带Nv 7.0×1018/cm-3 电子有效质量 0.067 空穴有效质量 0.48 载流子浓度 108×106cm-3 熔点 1238℃ 密度 晶格常数 5.37g/cm3 5.65×10-10m 2.3低维半导体

低维半导体材料，指的是半导体中的二维量子阱和一维量子线还有零维量子点所组成的半导体材料。量子阱从维数上讲是在三维系统当中，如果去掉一维他就会变成二维量子阱。量子线是一种能使电子的运动只在空间的一个方向上不受到约束的半导体材料。量子点也就是专业术语当中所说的准零维的物体，它是由很少的原子构成。量子点的三个维度的长度都没有超过100纳米，它的内部电子在三个坐标的方向上的运动都受到约束，由此可以看出量子点的局限效应非常显著。由于能带工程的存在，有效的完成了半导体量子阱、量子线和量子点结构拥有的特性，使得纳米微粒和纳米量子点等展现出各种独特的性质，使得他们与电子学、计算机技术等的发展密切相关。

2.4费米能级

假设一个微小系统由费米子组成，每一个费米子都处在他们的能态上。现在我们想象把全部费米子从这些能态上转移。之后再把这些费米子按一定的规矩填充在可以让费米子占有的能级，而且在填充的时候最低的量子态都会被费米子占有着。费米能级就是被最后某个费米子填充的量子能态。其中费米子可以是电子、中子、质子。

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对于每一种各个不太相同的半导体而言，费米能级是个非常重要的参数。在费米能级以下的能级，会被电子全部充满，在费米能级以上的能级，没有电子。所以当解出了费米能级，就对计算材料各方面物理性质有非常大的意义。因为由费米能级可以确定半导各种各样的非常多特性，比如如何确定该半导体是N型半导体还是P型半导体。在此之外，还可以由费米能级的位置可以确定PN结的电势，然后可以推导出PN结的载流子的浓度高低等。

图2.1 砷化镓半导体费米能级的位置变化

一般情况下，为了求出热平衡下电子和空穴的浓度，第一要知道费米能级EF相对于导带下面Ec还有价带上面Ev的位置（不含杂质的本征半导体的费米能级的位置是在禁带中央）。当外界温度不太高的时候，费米能级以上的能及基本为零，费米能级以下的能级会被电子填满，在费米能级以上的能级，被电子占据概率就比较大。而对于N型半导体而言，比较多的自由电子会存在导带中，那么费米能级就比较接近导带底Ec，相对于P型半导体来说，它的价带里面有比较多的自由空穴，所以费米能级在价带顶Ev之上靠近价带的地方。如果施主杂质被掺入的浓度变多，费米能级就会非常接近导带下面。

2.5量子阱

在物理学中量子阱是指由几种（一般是两种）不一样半导体材料各种排列形成的、有比较大限制电子在能带中运动的电子或空穴的电势，这种效应被称为量子限制效应。量子阱的基本特征是载流子的波函数在单维坐标方向上的部分区域化。量子阱是有着三层结构，位于中心的是一层很薄的半导体薄膜，量子阱的外侧是两个分隔层区域。在电场的作用下两个相近的量子点当中会产生空穴，令它们结合并放出光子在由两种不一样

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的材料上长出形成的多于两层系统结构中，如果势垒层非常的厚，那么相邻一起的两个势阱载流子之间耦合很微弱，则将形成许多不连续的量子阱，称为多量子阱。相反，如果势垒层不是很厚，挨在一起的两个势阱之间载流子之间耦合很强，这样的量子阱称为耦合的多量子阱。

量子阱结构中井壁起到限制效应非常大，使得势阱中载流子不能在垂直于井壁运动，只在平行于阱壁的平面内运动（二维自由度）。在对于两维自由度的量子阱来说，空穴和电子的密度和能量两者之间的关系为阶级形状。但是对于三维体的材料来说空穴和电子的密度与势阱能量两者之间的关系为抛物线形状[2].一般会从两个方面来研究量子阱：第一个是电子气从半导体的价带到导带的移动；第二个是电子气从半导体的价带或导带内子带间的移动。

方势阱结构是最简单的量子结构也称为单量子阱，也就是半导体厚度很小的那一层被两层间距较大的半导体层覆盖的结构，一般会把厚度很小的那一层称为阱，夹着阱的那一个称为势垒。可将方量子阱分为对称量子阱和非对称量子阱。势阱两侧的势垒长短是一样的量子阱会被叫做对称量子阱，对称量子阱是人们经常研究的量子阱，在这篇论文中我研究的单量子阱也是对称量子阱。在对称量子阱中，有不少的参数，比方粒子的相对质量、分布几率等都具有一定的对称性，研究过程和成果也都相对简单。

图2.2 方量子阱

对于简单的单量子阱来说阶梯型量子阱有着对称性人工残缺不齐的特点，对于不同的能级波函数存在状态不同，而且区别比较大。近年来，研究者在研究阶梯量子阱中的由类氦杂质引起的单束缚极化子和双束缚极化子时发现了一个十分有趣的新现象，就是由于阱的阶梯的存在而导致极化子效应明显增强的现象[3]

图2.3 阶梯型量子阱

在许多个量子阱叠加出来的结构中，由于势垒层厚，所以可以不考虑势阱之间耦合的结构，把具有这种结构的量子阱称为多量子阱。对于比如铟镓氮/氮化镓

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（InGaN/GaN）结构，垒厚和阱宽对光电子物理性能的影响很大。随着阱宽和垒厚的加大铟镓氮/氮化镓多量子阱结构辐射最高点波长会变长，辐射强度也会减小。

图2.4 多量子阱示意图

2.6砷化镓半导体的应用

现在的电子工业当中半导体器件主要被用来生产电子器件中内部核心器件还有被生产于各种激光器器件。我们现在常见的晶体管有两种，也是在各种电子器件中常见的两种这两种是双极型晶体管和场效应晶体管。第一个是电脑中CPU(中央处理器装置)对指令进行操作部分的最小单元，场效应管是计算机存储器的基本单元。

砷化镓半导体材料是在锗还有硅发展起来之后被普遍应用的一种材料。它的工作效率、各方面物理性能还有工作条件等很多方面都有着无比强大的优势。砷化镓半导体材料是当下使用最普遍的化合物半导体材料，它主要应用的范围是光电子和微电子领域。还有雷达技术现在成为现代科技的一个地位非常高的地位。在医学方面也是电子技术应用的一个重要领域。微电子学还有量子力学也是近代电子技术学科当中中最受人欢迎的前沿领域之一。

可以使用半导体的热敏特征，将半导体电阻制作成体积非常微小的热敏电阻，测温范围可以达到生产、生活等各个方面还有科研教学的领域，有非常高的准确度和稳定性，分辨率可达很小的分度范围内，甚至达到0.01℃也可能，线性度会达到百分之二，测温范围可达400摄氏度，是性价比特别高的一种测温元件。还可以利用它的光敏特性制作光敏电阻，光敏电阻可以起到开关的作用，在需要对光强度有快捷反应的控制设备当中有比较好的应用。

利用半导体的发光特性，可以制作半导体激光器。它是一类把半导体当做激光器当中的工作物质然后产生受激激发的激光器。单质结和同异质结激光器在常温（T=300K）下时很多种类型都是脉冲激光器件，双异质结激光器在常温下一直不间断地工作。半导体激光器出现时间有点晚，但是它从刚开始到成熟期经历的时间短，是一类发展很快的激光器。它的特性是生产流程不难、原材料便宜，还有就是半导体激光器作为一个重量很轻、调制速度快、很安全运行性、消耗能量小、有效工作时间长而且工作效率非常高，因此半导体激光器在打印复印、医院医疗、雷达测距、传输通信、存储、自动控制等领域得到了广泛的应用。

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3量子阱相关的基本理论

3.1量子力学与波函数

基于牛顿的运动定律理论体系可以非常精确地计算出大型物体的运动，但是却与电子和高频电磁波的许多实验结果相矛盾。而如果利用量子力学的规则却可以准确地计算这些实验结果。

在量子力学中为了描述微观粒子状态而引进了波函数，可以用平面波来描写自由粒子，平面波的震动频率还有波长范围可以与粒子的能量和动能然后再由德布罗意关系关联起来。德布罗意在19世纪提出了物质波是存在的理论(波粒二象性)。他认为如果波具有粒子性，离子那也应该具有波动性。德布罗意的假定便是波粒二象性原理。光子的动量可写为：

p?h （3-1)

?式中λ为光波波长，h为普朗克常数它的值为。于是，德布罗意就将粒子的波长表示为：

??h (3-2)

p式中P为粒子的动量，λ是德布罗意波长。

经典物理中无拘无束的粒子匀速直线运动形态，在量子理论中对应动量为微观确定值的微小粒子状态。彻底解释这类微观粒子状况的波函数是平面的德布罗意波：

?（r,t） (3-3) ?Ae这里A为某个常数。确切的说，这个波函数解释了动量值为p的没有上限的粒子云团，在这个粒子云团当中每个单位体积内大概都会有有??A个粒子存在。

量子力学的基本方程是个假设，它既不能由其他公式计算出，也不借助传统的物理观念推理出来，它是不是可行的只能由它求解出来的结论是否和实验的结果相同来检

（x,t）验。 波函数??是用来描述晶体当中的电子状态。?(x,t)是波的函数，所以要清

2i(p?r?Et)?楚电子与函数之间的关系。整个波函数的表达式是与坐标有关的式子和与时间有关的式子的乘积。

?（x,t）??(x)?(t)??(x,t)e?j(E?)t (3-4)

因为波函数?(x,t)是个复函数，所以波函数自身不可以被看做是一个真实的物理参数，波函数?本身没有意义它指的是t时刻在r处微粒出现的概率。

1926年，马克思·波恩假设函数?（x,t）dx是一个不确定的时间段在x与x+dx坐标范围中间出现微粒子的几率，也有时候称?（x,t）函数是几率密度波函数。所以就会有：

?x,t） ?（x,t）??(x,t)??（ (3-5)

222在上面的式子中?*(x,t)为复合共轭函数。所以：

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?*（x,t）??*(x)?e?j(E?)t (3-6) 由（3-5）式和（3-6）式可以求出来：

?（x,t）??(x)?*(x)??(x) (3-7) 上面的式子是与时间无关的概率密度函数。经典力学和量子力学中不一样的地方是：量子力学当中只能确定某个固定坐标上出现粒子的几率。但是，经典力学当中的粒子坐标可以被精确的确定。所以在很多的实例中只计算概率密度函数，又因为它与时间无关，因此在这篇论文当中我只考虑与时间没有关系的波函数。

微观粒子的各种状态可以用波函数来描述，但是并不是全部的函数都可以被用来表示粒子的运动状态，所以波函数需要在特定的条件下才可以。波恩用它的统计学方法很好的解释了波函数比较详细的物理意义，按照的它的统计法波函数必须满足下面的条件：

（1） 物理定律是在一定区间里的，因为波函数是可以解出根的一种微分方程，所

以要求波函数连续、一阶导数连续。

（2） 需要?（r,t）取有限值，也就是要求?(r,t)取有限值，这个?（r,t）只表

示概率密度，在物理学中仅仅希望在固定的空间里面的非无穷单体积中找到微

粒数的几率不是无穷大数就行。

（3） 要求?（r,t）为单值，但是这并不要求?(r,t)也是单值，这个可以用自旋后

的电子波函数证明这一点。

由上可以知道在一般情况下，波函数?（r,t）要符合几个必要的条件，就是有限性和单值性还有连续性。

22223.2薛定谔方程

1926年，薛定谔提出波动力学理论假设，这个假设是通过普朗克和德布罗意的原理（量子化原理和波粒二象性原理）的结合而提出来的。这种波的理论是通过薛定谔方程来描述的。这个方程是以波粒二象性为原理为基础，就可以用这种波的理论来描述电子的运动。下面就简单的推导一下薛定谔方程。

由上面（3-3）式我们知道了，没有外场下的粒子波函数可以表示为:

?（r,t） (3-8) ?Ae如果把这个式子进行微商可以的得到方程

??(x,t)?E?(x,t) (3-9) i??t??(x,t)-i??px?(x,t) （3-10）

?x22??(x,t)2???px?(x,t) （3-11） 2?xi(p?r?Et)?8

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上面的式子中算符和力学量对应的关系为

?E???i? (3-12)

?t?px????i? (3-13)

?x222?px????? (3-14) 2?x传统物理学自由微粒中它的能量可以表示为：

2pxE? (3-15)

2m将上式的对应关系可以化简为：

??2?2i????? (3-16) ?t2m?x2如果将上面的对应关系使用在波函数当中，就可以得到微粒的薛定谔方程表示为： ??2?2i??(x,t)???(x,t) （3-17） 2?t2m?x现在我们假想微粒子在电势场U(x,t)中来回移动，该粒子的能量可以表示为：

p2E??U(x,t) （3-18）

2m算符对应关系为：

??2?2i??????U(x,t) (3-19) ?t2m?x2如果将面的式子再作用于波函数的话，就可以得到薛定谔方程

??2?2???i??(x,t)????U(x,t)?(x,t) （3-20） 2???t2m?x??简单的化简就可得到

?2?2?(x,t)??(x,t)-?U(x,t)?(x,t)?i? （3-21） 22m?x?t上面的式子是一维薛定谔方程，三维薛定谔方程是 ?2??2??2??2?????????U(x,y,z)??i? ? （3-22） 22?2m??z?t?x?y??如果引入拉普拉斯算符

?2?2?2 ??2?2?2 （3-23）

?x?y?z2就可以得到定态薛定谔方程

?22 ????U(r,t)??E? （3-24）

2m9

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3.2.1薛定谔波动方程的应用

薛定谔方程是用来研究某个空间里面电子的运动状态，假设作用于粒子的外力等于零的情况下，那么势函数V（x）为常亮，并且E>V(x)。在一维空间中运动的物理粒子，它的电势能在一定的区域内为零，但是在这个区域外势能是无穷大，也就是

?00?x?a U(x)? (3-25)

??x?0,x?a

图3.1一维无限深势阱示意图 在势阱的边缘地方，微粒将受到指向阱内非常大的引力。这就表明了粒子不能出现在势阱外，也就是粒子在势阱外的概率为零。

所以在势阱外，波函数为

?(x)?0,x?a,x?0 （3-26） 在势阱内也就是x的范围在0和a中间，还有电势等于零的状态下波的定态薛定谔方程为：

?2d2?-?E? （3-27） 22mdx可令:

k2?2mE (3-28) 2?则(3-27)式可以化简为

d2??k2??0 (3-29) dx波函数的解为

?(x)?Csin(kx??) (3-30)

边界条件为波函数?(x)必须连续，所以

?(x?0)??(x?a)?0 (3-31)

并且波函数还满足归一化条件

?a0?(x,t)dx??2a0n?x??Csindx?1 (3-32) ??a??210

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2 a定态波函数表达式为 可以解得C??(x,t)?波函数的表达式

2n?sinx (3-33) aai2n???Et?(x,t)?sinxe (3-34)

aan?,n=1,2,3,? 因为粒子的能量不可能是一个连续的数值，它只可能取分离的值，由k?a所以

?2?22E?n,n?1,2,3,? (3-35)

2ma2上面的式子为无限深势阱能级本征能量表达式。

3.3有限差分法

在物理学学科领域的许多问题研究之后，经常可以被归结为常微分方程和偏微分方程求解问题。处理一个特定的物理问题，必须对它满足的数学方程非常清楚，也要对它定解条件要非常的清楚。这两个东西都知道了之后才可以策划实用的计算方法。

有限差分法是利用偏微分方程里面没有联系的变量可以代替取相互联系的解。也就是将改变的变量离散开来，再去取值。在有限差分法当中，去掉了方程没有联系的变量可以取连续值，现在变为关心单独变量的离散取值所对应的函数值。这种方法是可以达到任何一个适合的值，可以通过缩小没有联系的变量离散取数值的间隔来表示方程的连续解。上面的这种方法是随着计算机的应用而发展起来的，它的实际应用已经构成了计算物理量的重要组成部分。

一个函数在x点上的微商，这个可以用相邻的两个坐标点上的数值近似地来表示。比如在对一个单变量函数f(x)，x是义在区间[a,b]的连续值变量，假设以步长h??x将[a,b]区间变成一个个不连续的值，这样就会得到很多个点值x1?a，x2?a?h，

x3?a?2h，?，xN?a?(N?1)h，xN?1?b，之后再求出f(x)在这些点上面的近似值。所以取得h越接近于零，解的值的范围自然而然地就越精确。与点值xi临近的点值有

xi?h和xi?h，由上可知在x点我们给它组成以下相差的值： f(xi?h)?f(xi)，这是节点xi的一阶向前差分；

f(xi)?f(xi?h)，这是节点xi的一阶向后差分； f(xi?h)?f(xi?h)，这是节点xi一阶中心差分；

与xi点相邻的两点的泰勒展开式为：

h2h3h4f??(xi)?f???(xi)?f????(xi)?? (3-36) f(xi?h)?f(xi)?hf?(xi)?23!4!11

掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

h2h3h4f(xi?h)?f(xi)?hf?(xi)?f??(xi)?f???(xi)?f????(xi)?? (3-37)

23!4!根据（3-30)和(3-31)式的泰勒展开式可以求得一阶微分的中心差商表示为：

f(xi?h)?f(xi?h)f?(xi)? (3-38)

2h一阶微分的向前差商：

f(xi?h)?f(xi)f?(xi)? (3-39)

2h一阶微分向后差商：

f(xi)?f(xi?h) f?(xi)? (3-40)

2h如果将(3-36)和(3-37)式相加的话，我们就可以解出二阶微分函数的中心值差：

f(xi?h)?2f(xi)?f(xi?h)f??(xi)? (3-41)

h2一般情况下，利用(3-38)和(3-41)式就可以解出微分方程的两式之差的式子。要注意的是：在构造差分格式的时候，要根据解出的差分方程的解的稳定性和收敛性来考虑他各方面的问题，这个问题是它应该向前选择、向后选择等。

3.4求解本征能级能量

本课题数值计算能级能级能量的顺序是：

（1） 剖分渗流区，确定离散点。将所研究的量子阱按某种几何形状(如矩形、直

线等)剖分成网络系统； （2） 建立薛定谔方程的差分方程组； （3） 利用有限差分法求解薛定谔方程。

由(3-21)式知道一维状态下的薛定谔方程，现在假设将波函数写为如下形式：

?(x,t)??(x)?(t) (3-42)

其中，?(x)是坐标x的函数，?(t)是时间t的函数。如果将式(5-42)形式的波函数带入一维薛定谔方程当中，会得到：

-?2?2?(x)??(t)?(t)?U(x)?(x)?(t)?i??(x) (3-43) 2m?t?x2如果用(3-43)式除以式(3-42)就会得到式子：

-?21?2?(x)1??(t) (3-44) ?U(x)?i?22m?(x)?x?(t)?t式子的右边可以看做是粒子的总能量E。所以(3-44)式可以化解为

-?2?2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) (3-45)

2m?x2要解出一维薛定谔方程要知道E和U（x）的值，还要知道?(x)的边界条件。E为本征值函数，U(x)是电势在本论文中电势是以知的值为V0。一维薛定谔方程利用有限差分

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

法求解的方法类似于前面所讲的有限差分法求解的方法。

图3.2 取点示意图

如图所示，现在用以步长?x将区间[a,b]等间距离散化为N个小区间，并且有

b?a?x? (3-46)

Na和b分别是边界的坐标。因为a和b两点的坐标已经知道，所以两端边界的波函数值已经知道。这就把问题转换为求出在a到b中每个节点上的?(xi)近似值。上面也说过，如果节点数越多近似值的精度也就越高。

?2?(x) 根据式(3-41)可以得到二阶微分的中心差商为： 2?x?2??(i?1)??(i?1)?2?(i) 2? (3-47) 2?xi(?x)将(3-47)式带入(3-45)式可以得到：

-?2?(i?1)??(i?1)?2?(i)?V(i)?(i)?E(i)?(i) (3-48) 22m(?x)然后再把(3-48)式化简可以得到：

??2????2??m(?x)2?V0???(i)???2m(?x)2???????2???(i?1)???2m(?x)2??????(i?1)?E(i)?(i) (3-49) ?式子(3-49)可以用矩阵的形式记为：

K1?1?K2?2?K3?3?E?1 (3-50) 该式中E为系数K1,K2,K3的特征值。

?-?2????V102?m(?x)?2????1?V01? (3-51) 2K1??m(?x)???????2??-?1?V0??2m(?x)??13

掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

???2?2?2m(?x)?1K2??????????2?2?2m(?x)?1K3???????1??12m(?x)21??22m(?x)2????1? (3-52)

?????2???1?2m(?x)2?????1? (3-53)

???????2?1?2m(?x)2???1???1???2??E1???????????E??2??3??2??2??1????，?2????,?3????E???? (3-54)

??????????N?1???N?1??EN?1???N?2????????E?????N??N??N??N?1?根据上面的矩阵，就能够把一维薛定谔方程变换成求解(3-50)式的线性方程组。之后可以用Matlab软件计算出来本征能级能量。

3.5求解费米能级

在前面简单的介绍了费米能级在半导体器件中的重要性，在这部分论文中我会重点研究费米能级的数学求解。现在我介绍几种求解费米能级的方法。 第一种方法：

现在考虑假设有掺有施主杂质的浓度是ND的半导体，假设本文中的砷化镓受主半导体为N型半导体。施主杂质上面带有电子，所以半导体的价带会被电子占据，但是半导体的导带确是空的。因为半导体一直是处于电中性状态，当温度不变时，导带里面的电子是由价带和施主杂质激发出来的，所以半导体的电中性条件可以表示为：

? (3-55) n0?p0?nD?上面的式子中p0,n0是温度不变的情况下价带还有导带的空穴和电子浓度，nD是电??ND/(1?2exp子电离的杂质浓度，nDEF?ED),ED是能级能量。 kT同时，在温度不变的情况下，存在下面关系：

n0p0?n12 (3-56)

n1是在该温度不变的情况下半导体的本征载流子浓度，其中：

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

?E?Ev?n1?NcNv?exp??c? (3-57)

2kT???nD?21?1?4n12/nD联立式子(3-55)和(3-56)可以得到n0?，另外一个根是复数没2E?EF)， 可以求得有用。再根据载流子浓度与费米能级的关系式n0?Nc?exp(?ckT费米能级的公式：

??nD?2?EF?Ec?kT?ln?1?1?4n12/nD? (3-58) 2N?c?????这个式子要分为在不同的温度范围下所化简的公式不一样，但是本篇论文中只研究掺杂浓度对费米能级的影响，所以这个式子不适用于本研究论文。在这里还要介绍第二种方法可以求得费米能级的公式。

在各种量子阱结构中，电子在各个能带间会被看做二维电子气状态（电子在第三维运动受阻），在势阱边界的地方，靠近边界的内势阱可以被看做是无穷大，所以电子不可能从内势阱的边界逃出。对于势阱的第i个子能级，电子表面密度Nis可以表示为：

Nis?(m/??2)kTln?1?exp?(EF?Ei)/kT?? (3-59)

其中，m为电子质量，?是修正普朗克常数，T是电子气的温度，EF,Ei分别是系统的费米能级和电子的第i个子能级的能量。式(3-58)是表示某一个能级上面的电子表面密度，那么总的系统表面电子密度是：

Ns??Nis (3-60)

式(3-59)的左边表示的是系统表面总的电子密度，Ns可以通过掺杂浓度ND和区域宽度的乘积来得到。所以系统的费米能级就可以表示为：

i1?exp??EF?E2???? ND?D?(m/??2)kTln?1?exp??EF?E1????(m/??2)kTln?(m/??2)kTln?1?exp??EF?E3??? (3-61)

在这一篇论文中，我只研究砷化镓半导体前三级能级上面的费米能级，因为在前面薛定谔方程求解波函数当中只是求解了前三个能级上面的能级能量，所以上面的式子系统总的表面电子密度就用前三级电子密度之和来表示。那么将(3-61)式简单的化简一下，就会得到一个例如求解非线性方程的函数。然后利用二分法可以将费米能级求解出来。

在这里我会用第二种方法求解费米能级，因为式子(3-58)就是需要讨论在各种不同的温度下求解费米能级，这个和我研究的内容不相关。在这里我简单的介绍一下二分法。

二分法是将方程的根的区间对称的一分为二，然后再计算该式子位于中点的函数值，那么可以根据介值定理来选择一个比较小的有方程解的区间。然后这样可以一直下去，一直到可以得到满足要求的根为止。式(3-61)正好可以利用二分法借助Matlab软件求出费米能级随掺杂浓度的改变而变化的值。

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

4掺杂浓度对费米能级的影响

4.1量子阱结构

在本论文的研究当中我用到的量子阱结构是GaAs所组成的结构。其中，在这里我取势垒深度为430meV。这里的的势阱是作为低维半导体当中的一维势阱来作为研究对象。其中取势垒的厚度为30nm，因为在理论计算过程当中我会取不同的阱宽来研究，所以在这里就没有取固定的阱宽数值。GaAs单量子势阱如下图所示：

图4.1单量子阱示意图

4.2软件计算

本篇论文要用两个程序进行数值计算，第一种是借用有限差分法来实现软件的数值求解，第二种结果是利用二分法来实现数值求解。利用Matlab解决数学问题有很多的方法，在本课题当中我利用该软件就用到了有限差分法和二分法，软件的编程步骤如下：

图4.2 薛定谔方程数值求解流程图

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

图4.3 二分法求解费米能级流程图

4.3数值结果

在Matlab软件当中我设置的结构参数，这个参数是我经过了查询了与砷化镓相关的资料还有一些是经过自己计算得到的结果。我定义了三个砷化镓单量子阱宽度的数值分别得到了砷化镓半导体三组能级能量的值还有三组波函数图形，在这里我展示其中当单量子阱宽度为20nm的时候波函数的分布，如图4.4：

图4.4 单量子阱宽度是20nm的时候前三级波函数E1、E2、E3分别是1.2.3级波函数

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

下面给出在砷化镓单量子阱宽度分别是2nm、6nm、10nm的时候前三级的本征能级能量，如表4.1：

表4.1 砷化镓单量子阱在不同阱宽时的前三级能量

量子阱宽度/nm 2 6 10 第一能级E1/eV 0.246 0.087 0.034 第二能级E2/eV 0.413 0.314 0.135 第三能级E3/eV 0.417 0.407 0.288 在分别求出E1、E2、E3之后这才是完成了计算的第一部分，在下面的计算中会用到。因为求解掺杂浓度对费米能级影响的时候需要比较在阱宽值不一样的时候费米能级总体的变化，所以我需要知道在势阱宽度不一样的时候的本征能级能量。在改变势阱深度的时候砷化镓单量子阱的前三级能级能量没有变化。

表4.2是在不同势阱宽度下求出费米能级本征能量能级能量带入到（3-61）中，然后用软件求解在施主杂质掺杂浓度不同时求解出来的出来的费米能级：

表4.2 掺杂浓度对费米能级的影响 势阱宽度 2nm 0.253eV 0.270eV 0.285eV 0.298eV 0.310eV 0.321eV 6nm 0.097eV 0.115eV 0.131eV 0.145eV 0.158eV 0.170eV 10nm 0.038eV 0.054eV 0.068eV 0.080eV 0.091eV 0.101eV 掺杂浓度 6×10^15/cm3 8×10^15/cm3 10×10^15/cm3 12×10^15/cm3 14×10^15/cm3 16×10^15/cm3 18×10^15/cm3 0.331eV 0.182eV 0.110eV 图4.5是把表4.2绘制出来的仿真图，这样看起来更加直观点：

图4.5 费米能级变化曲线

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

图4.5当中的y1、y2和y3分别代表的是在砷化镓单量子阱的阱宽为2nm,6nm和10nm的时候费米能级随着掺杂浓度不同而绘制出来的曲线。

4.4数值分析

经过一系列的数值计算最后得到的数值结果如表4.1所示，数值分析图如图4.5所示。由图4.5可以很直观的看出来，砷化镓单量子阱的费米能级会随着掺杂浓度的升高费米能级的位置也不断地靠近第二级能级，也就是费米能级会随着掺杂浓度的增加而升高。这个原因我在前面有简单的介绍过，就是对于N型半导体如果掺进来的杂质越多，那么在半导体导带的电子浓度就会很大，那么空穴的浓度就会相应的减小，则费米能级就会接近于导带底。还有就是由图4.5可以看出来，在掺杂浓度一样的情况下，单量子阱较窄的时候费米能级会比较高。这是因为在量子阱较窄的时候，阱内电子的密度会比较大。所以在每一个能级上面的电子数量会较多（相对于势阱较宽的单量子阱），进而每一级能态的能量就会高点，这个在表4.1中可以看出来。

在改变势阱深度的时候砷化镓单量子阱的本征能级能量没有变化，所以费米能级的变化和砷化镓单量子阱势阱深度没有联系。在当我改变势垒总的宽度而没有改变势阱宽度的时候，砷化镓单量子阱的本征能级能量变化很小，经过了反复的验证最后得出结论那是因为在利用非线性方程求解薛定谔方程时取得的步长不一样所以会有一些误差。所以可以得出结论砷化镓单量子阱的费米能级也和势垒的宽度没有关系。最后可以确定，砷化镓单量子阱的费米能级会随着掺杂浓度的增加而增高。

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

5结论

通过这次非常完整的论文设计，我摆脱了单纯的理论知识学习状态，同时也提高了我文献查阅、设计规范以及Matlab等其他专业水平。刚开始的时候我主要从事半导体物理中有关量子阱、薛定谔方程、以及费米能级的理论研究，这方面的知识大多内容已经在论文中介绍了。中后期主要查阅与半导体费米能级相关的书籍与论文，同时也开始化简薛定谔方程和计算出费米能级的解析式。深入理解在温度一定的情况下，掺杂浓度对半导体单量子阱费米能级的影响。在把半导体方面的知识完成后就专门研究Matlab软件教程，认真学习了该软件的各种数值计算方法。之后再用Matlab软件数值计算，最终得出了掺杂浓度对砷化镓单量子阱费米能级的影响。

本文利用了量子力学方面的知识求解出砷化镓费米能级的表达式，提出了利用有限差分法求解砷化镓单量子阱本征能级能级能量，利用二分法求解费米能级。之后用Matlab数值求解出掺杂浓度对费米能级的影响，其结果是在温度一定的情况下，砷化镓单量子阱的费米能级随着掺杂浓度的增加而升高。这个结果和参考文献当中费米能级的位置会随着掺杂浓度的升高而靠近导带底相吻合。在我多次改变量子阱本身的物理参数时费米能级的位置基本没有变化，所以掺杂浓度对费米能级影响的结论是正确的。

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

致谢

在论文的撰写过程中，确实遇到了大大小小不少问题，但是在同学和老师的帮助下都一一得到了解决。其中，老师对在我的毕设过程当中对我的帮助最大，有渊博的专业知识、严于律己、严于律人的治学态度，对我自主解决问题能力的提高有很大的帮助。我从本课题的开始到完成，几乎每一步都是在的指导下完成的，我的毕业设计朱老师也下了非常大的心血。我每一次遇到难题都会找朱老师，而老师不管是闲或者忙都会抽空找我面谈，然后给我仔细地讲解。再此，我对对我帮助的朱海燕老师表示非常高的敬意和由衷的感谢。同时，我也对在我撰写论文过程中对我有所帮助的同学表示感谢！

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

参考文献

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[3]刘自信 楚兴丽 刘平 阶梯量子阱中极化子效应的增强[J].河南师范大学学报，2002

[4]张拥华.半导体子带间动力学及THz振荡源研究：[博士学位论文].上海：中国科学院上海微系统与信息技术研究所，2005

[5]F. Wu, W. Tian, W. Y. Yan, J. Zhang, S. C. Sun, J. N. Dai, Y. Y. Fang, Z. H. Wu, and C. Q. Chen ,Terahertz intersubband transition in GaN/AlGaN step quantum well.[Journal of Applied Physics],2013

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[13]屠海令，郑安生，邓志杰等. 砷化镓及相关化合物半导体材料的研究进展和应用前景[J].第四届中国功能材料及其应用学术会议论文集.2001

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

附录

1.用Matlab软件计算求解砷化镓单量子阱能级能量程序如下： clear all; n=100;

x=input('请输入阱宽x的值:'); me= 9.10938188*10^(-31); eV = 1.602*10^(-19); h = 6.626068*10^(-34);

hbar = 1.05457148*10^(-34); % hbar=h/2/pi m0= 0.068*me; a=-30*10^(-9); b=30*10^(-9);

z = linspace(-30,30,n); % Lw=x*10^(-9); Tltaz = (b-a)/n; %p=ones(n,1); %K=spdiags([-p,2*p,-p],[-1,0,1],n,n); %for i=1:n % z(i) =a+i*deltaz; %i if ((z(i)>-Lw/2)&(z(i)Lw/2)); %x V=400*0.001*eV; end;

K(i,i)=2*deltaz^2*m0*V/(hbar^2)+2; %end ;

H=full(K); %[L,E]=eig(H); %E=eig(H); %hold on % V_e=L(:,1)+0.15; % plot(z,V_e,'+r'); % V_e=L(:,2)+0.25;

plot(z,V_e,'-g'); #

线性等分 定义量子阱结构参数

点间隔的赋值 创建n*1阶全1矩阵

创建对角稀疏矩阵 定义i的取值范围 点在x轴上的坐标

取值在阱内 在阱外 给矩阵K的第i行第i点赋值 写出H矩阵 求本征值、本征态 本征能量 上移

上移0.15个单位

画出第一能级图用红色表示 绿色表示

掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

V_e=L(:,3)+0.35;

plot(z,V_e,'.b'); %蓝色表示 z=[a,-Lw/2,-Lw/2,Lw/2,Lw/2,b]; %定义阱上方取值宽度 y=[0.3,0.3,0.01,0.01,0.3,0.3]; %定义势阱底层的取值宽度 plot(z,y,'k-'); hold off text(2,0,'E2');

text(2,0.1,'E1'); %标示曲线代表色 text(2,-0.1,'E3');

legend('E1','E2','E3'); %添加图例标注 E = E/(2*deltaz^2*m0/hbar^2); %求解本征能级能量 E1 = E(1)/(eV); E2 = E(2)/(eV); E3 = E(3)/(eV); E1 E2 E3

xlabel('m') ylabel('eV')

2.用Matlab软件求解掺杂浓度对砷化镓单量子阱费米能级的影响的程序如下： （函数定义部分）

function y=f(x); %定义函数 后面调用 k=1.381*10^(-23);%玻尔兹曼常数 t=290; %掺杂温度 m0=9.3*10^(-31);%电子质量 m_=0.068*m0;%有效质量

E1=1.793*10^(-20);%能级能量 V E2=2.821*10^(-20); E3=3.057*10^(-20);

hbar=6.6260693*10^(-34)/(2*pi); be=k*t;

temp=be/(pi*hbar^2);

Ns=10*10^(15);%掺杂浓度Nd*能级宽度

y=-Ns/temp+m_*log(1.0+exp((x-E1)/be))+m_*log(1.0+exp((x-E2)/be))+m_*log(1.0+exp((x-E3)/be));

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掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

(数值计算部分) i=0;

z1=1.793*10^(-20)%1.3933*10^(-20); z2=2.821.*10^(-20)%2.9274*10^(-20); F1=f(z1); %将z1的值带入到上面的式子中 F2=f(z2);

z0=(z1+z2)/2; %取中值 F0=f(z0);

while abs(F0)>=10^(-34); e结束，否则，循环继续

if F1*F0>=0 F1=F0; % z1=z0; else F1*F0<0 F2=F0; z2=z0; end z0=(z1+z2)/2; F0=f(z0); i=i+1; end z0 i

的绝对值与此值相比较如果比精度小时，则循环赋值 25

掺杂浓度对GaAs单量子阱中费米能级的影响

(数值计算部分) i=0;

z1=1.793*10^(-20)%1.3933*10^(-20); z2=2.821.*10^(-20)%2.9274*10^(-20); F1=f(z1); %将z1的值带入到上面的式子中 F2=f(z2);

z0=(z1+z2)/2; %取中值 F0=f(z0);

while abs(F0)>=10^(-34); e结束，否则，循环继续

if F1*F0>=0 F1=F0; % z1=z0; else F1*F0<0 F2=F0; z2=z0; end z0=(z1+z2)/2; F0=f(z0); i=i+1; end z0 i

的绝对值与此值相比较如果比精度小时，则循环赋值 25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bfdx.html