北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文科试题 Word版

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学 （文科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）设集合U?{1,2,3,4,5}，A?{1,2,3}，B?{2,3,4}，则eU(A?B)等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} （2）复数

(D) {1,5}

2等于 1?i（A）?1?i (B) ?1?i ( C) 1?i ( D) 1?i

（3）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3?6，S3?12，则公差d等于

5 （C）2 （D）3 3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为

（A）4 （B）5

（C）6 （D）7

（A）1 （B）

（5）“x?2x?3?0成立”是“x?3成立”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

2?x?2y?8,?2x?y?8,?（6）已知x，y满足不等式组? 则目标函数z?3x?y的最大值为

?x?0,??y?0,32(A) (B)12 (C)8 (D)24

3

（7）已知抛物线y?2px的焦点F到其准线的距离是8，抛物线的准线与x轴的交点为

2K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则?AFK的面积为

（A）32 （B）16 （C）8 （D）4

（8）给出下列命题：①在区间(0,??)上，函数y?x,y?x,y?(x?1)2, y?x3中有三

个是增函数；②若logm3?logn3?0，则0?n?m?1；③若函数f(x)是奇函数，则

?112f(x?1)的图象关于点A(1,0)对称；④若函数f(x)?3x?2x?3，则方程f(x)?0有2个实数根，其中正确命题的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若向量a，b满足a?1，b?2，且a，b的夹角为

?，则a?b= ，a?b? ． 3（10）若sin???3，且tan??0,则cos?? ． 5（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为 ．

（12）已知圆C：x2?y2?6x?8?0，则圆心C的坐标为 ；若直线y?kx与圆C相

切，且切点在第四象限，则k? ．

（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%；

方案乙：每次都提价

p?q%，若p?q?0，则提价多的方案是 . 2（14）定义映射f:A?B，其中A?{(m,n)m,n?R}，B?R，已知对所有的有序正整

数对(m,n)满足下述条件:

①f(m,1)?1，②若n?m，f(m,n)?0；③f(m?1,n)?n[f(m,n)?f(m,n?1)] 则f(2,2)? ；f(n,2)? .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数f(x)?3sinxcosx?cos2x． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[?

（16）（本小题共13分）

已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn?2n?a(n?N). （Ⅰ）求a的值及数列{an}的通项公式；

*??,]上的最大值和最小值． 63（Ⅱ）若bn?nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

（17）（本小题共13分）

如图，在菱形ABCD中， MA⊥平面ABCD，且四边形ADNM是平行四边形． （Ⅰ）求证：AC⊥BN；

（Ⅱ）当点E在AB的什么位置时，使得AN//平面MEC，并加以证明.

（18）（本小题共13分）

A

E

B D M

N

C

?已知函数f(x）13x?mx2?3m2x?1，m?R. 3（Ⅰ）当m?1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在区间(?2,3)上是减函数，求m的取值范围.

（19）（本小题共14分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(3,)，离心率是（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线l过点E(?1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若EA?2EB，求直线l的方程.

（20）（本小题共14分）

已知实数组成的数组(x1,x2,x3,?,xn)满足条件：

123． 2①

?xi?1ni?0； ②?xi?1.

i?1n(Ⅰ) 当n?2时，求x1，x2的值；

（Ⅱ）当n?3时，求证：3x1?2x2?x3?1； （Ⅲ）设a1?a2?a3???an,且a1?an(n?2)， 求证：

1ax?(a1?an). ?ii2i?1n东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）C （4）A

（5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）1 7 （10）?4 （11）54 5（12）(3,0) ?2n （13）乙 （14）2 2?2 4

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）f(x)?31?cos2x sin2x?22?1)?.???????????????????4分 62 ?sin(2x? 所以T??．??????????????????????????6分

???x?， 63??5?所以??2x??．

6661?所以??sin(2x?)?1．?????????????????????10分

26?当x??时，函数f(x)的最小值是0，

6?3当x?时，函数f(x)的最大值是．????????????????13分

62（Ⅱ）因为? （16）（共13分）

解：（Ⅰ）当n?1时，S1?a1?2?a?0.??????????????1分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1.?????????????????3分 因为{an}是等比数列，

所以a1?2?a?21?1?1，即a1?1.a??1.?????????????5分 所以数列{an}的通项公式为an?2n?1(n?N).?????????????6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?nan?n?2n?1*，设数列{bn}的前n项和为Tn.

则Tn?1?1?2?2?3?22?4?23???n?2n?1. ①

2Tn?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n. ②

①-②得 ?Tn?1?1?1?2?1?22???1?2n?1?n?2n????????9分 ?1?(2?22???2n?1)?n?2n

?1?2(1?2n?1)?n?2n??????????????11分 ??(n?1)?2n?1.???????????????????12分

所以Tn?(n?1)?2n?1.???????????????????????13分 （17）（共13分）

解：（Ⅰ）连结BD，则AC?BD. 由已知DN?平面ABCD， 因为DN?DB?D， 所以AC?平面NDB. 又因为BN?平面NDB，

所以AC?BN. ??????????????????6分 （Ⅱ）当E为AB的中点时，有AN//平面MEC.??7分

CM与BN交于F，连结EF.

由已知可得四边形BCNM是平行四边形，

F是BN的中点， 因为E是AB的中点，

所以AN//EF.????????10分 又EF?平面MEC，

N

M F D A

E

B

C

AN?平面MEC，

所以AN//平面MEC.????????13分 （18）（共13分）

解：（Ⅰ）当m?1时，f(x)?13x?x2?3x?1， 32又f'(x)?x?2x?3，所以f'(2)?5.

又f(2)?5， 35?5(x?2)，即15x?3y?25?0. 3 所以所求切线方程为 y? 所以曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为15x?3y?25?0.???6分

（Ⅱ）因为f'(x）?x2?2mx?3m2，

?0，得x??3m或x?m.?????????8分 令f'(x）当m?0时，f'(x）?x2?0恒成立，不符合题意. ???????????9分

当m?0时，f(x)的单调递减区间是(?3m,m)，若f(x)在区间(?2,3)上是减函数，

则???3m??2,解得m?3.?????????????????11分

?m?3.当m?0时，f(x)的单调递减区间是(m,?3m)，若f(x)在区间(?2,3)上是减函数，

则??m??2,，解得m??2.

??3m?3.综上所述，实数m的取值范围是m?3或m??2. ??????????13分 （19）（共14分）

x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).

ab?c3,??a2?1?3由已知可得?2?2?1，??????????????????3分

a4b??a2?b2?c2.??解得a?4，b?1.

22x2?y2?1．?????????????????????6分 故椭圆C的方程为4（Ⅱ）由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(?1,0)的直线l的方程为x??1，

，)，B(?1，-此时A(?1323)显然EA?2EB不成立．??????????7分 2，

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y?k(x?1)．

?x2??y2?1，则?4 ?y?k(x?1).?整理得(4k2?1)x2?8k2x?4k2?4?0．??????????????????9分 由??(8k)?4(4k?1)(4k?4)

2222k ?482?16?．0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

8k24k2?4故x1?x2??2，① x1x2?． ②????????????10分

4k?14k2?1因为EA?2EB，即x1?2x2??3．③ ①②③联立解得k??15． ????????????13分 6 所以直线l的方程为15x?6y?15?0和15x?6y?15?0．?????14分 （20）（共14分）

??x1?x2?0,(Ⅰ)解：???x1?x2?1.(1)(2)

由（1）得x2??x1，再由（2）知x1?0，且x2?0.

1?x?,1??2当x1?0时，x2?0.得2x1?1，所以????????????2分

?x??1.2??21?x??,??12当x1?0时，同理得???????????????????4分

?x?1.2??2（Ⅱ）证明：当n?3时，

由已知x1?x2?x3?0,x1?x2?x3=1.

所以3x1?2x2?x3?x1?2(x1?x2?x3)?x3

?x1?x3

?x1?x3?1.??????????????????9分

（Ⅲ）证明：因为a1?ai?an，且a1?an(i?1,2,3,?,n).

所以(a1?ai)?(ai?an)?(a1?ai)?(ai?an)?a1?an,

即a1+an?2ai?a1?an (i?1,2,3,?,n).???????????11分

1n1n1ax?ax?ax?ax???iiii1?in?i2i?12i?12i?1i?1nn?(2a?a?a)xi1ni?1ni

1n1n??(a1?an?2aixi)??(a1?anxi) 2i?12i?11?a1?an2?n?xi?1i

1(a1?an).???????????????????????14分 2

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