第三章微分中值定理与导数的应用(4 24)

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题A

一、选择题

1、在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的函数是（ ）；

?A?f(x)?1x2?B?f?x??x?C?f(x)?1?x2?D?f(x)?x?2x?1

22、函数f(x)?x2?2x在[0,4]上满足拉格朗日定理条件的??（ ）；

?A?1?B?2?C?3?D?52

3、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则（ ）；

?A?至少存在一点???a,b?，使得?B?当???a,b?时，必有

f?(?)?0

f?(?)?0

f?????f(b)?f(a)b?a?C?至少存在一点???a,b?，使得

?D?当???a,b?时，必有f?????f(b)?f(a)b?a

4、在区间[?1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是（ ）；

?A?f(x)?ex2?1(B)f(x)?ln(1?x)2(C)f(x)?x?1(D)f(x)?11?x2

5、对任意x下列不等式正确的是（ ）；

?A?e?x?1?x(B)e?x?1?x(C)e?x?1?x?D?e?x?1?x

6、设limf?x??f?a?x?a?x?a?2??2，则在x?a处f； ?x?（ ）

?A?可导且f??a???2 ?B?不可导 ?C?取得极小值 ?D?取得极大值

12cos2x在x?7、函数f?x??acosx?1?3处取得极值，则a?（ ）；

?A?0 ?B? ?C?1 ?D?2

268

8、函数y?x4?12x?8在定义域内（ ） ；

?A?单调增加 ?B?单调减少 ?C?图形上凹 ?D?图形下凹

9、若在(a,b)内f??x??0,f???x??0，则在(a,b)内f?x?（ ）；

?A?单调增加且图形上凹 ?B?单调增加且图形下凹 ?C?单调减少且图形上凹

?D?单调减少且图形下凹

10、设点?1,3?是曲线y?ax3?bx2?1的拐点，则a,b分别为（ ）；

?A?a?13,b??1?B?a?1,b??3?C?a??13,b?1?D?a??1,b?3

11、下列曲线中既有水平渐近线，又有垂直渐进线的是（ ）；

?A?f?x??sin2xx?xx1?x23?B?f?x??x?3x?12e???C?f?x??ln?3??x???D?f?x??xe?x212、f?x??的单调增区间是（ ）；

?3?C,???????3????3? D0,??????3???A??0,???13、曲线f?x???B?1,3sin2xx(2x?1)??的垂直渐近线为（ ）。

121212?A?x?0,x?二、填充题

?12?B?x???C?y?0,y???D?y??

x1、设f?x??xe，则f???x?的极值点为 ；

2、设点?1,2?是曲线y??x?a??b的拐点，则a?b? ；

3、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f??x??0，则f(x)在[a,b]上的最大值为 ；

4、函数f?x??lnx?x的单调增区间是 ；

235、函数f?x??x?6x?9x?4在区间?0,4?上的最大值为 ；

36、曲线x?y?xy?7上点?1,2?处的法线方程为 ；

3369

7、曲线y?x3?3x2?9x?9上拐点是 ；

三、计算题

[ln(1?1)]cos1ln(1?sin2x)x； 2、 ； limx?0arcsin(x?x2)1、limx???xarccotx 3、limx?arctanxln(1?x)3x?0； 4、limsinxx??x?3x?2xx?x?6232 ；

x??2 5、若limf(x)存在且f(x)?x???2limf(x)，求limf(x)；

x??x??6、lim3x?sin3x(1?cosx)ln(1?2x)tanx?xxsinx2 ； 7、limtanx?xx?sinx；

x?0x?08、limx?0； 9、limetanx22?1x?0sinx；

10、limx?sinxx?sinxxx?12xx?? ； 11、limesinx3?1x?0x?1?cosx?x?sinxx(e?1)xx2x；

12、lim(x??) ； 13、lim；

1x?0114、lim(cotx)x?0?lnx?a?b?c?x ； 15、lim??； x?03??xxx?x?1?2??1??16、lim?sin???cos??? ； 17、lim?；

x??x?0xlnx?x??x???18、lim?x?0xsinx?1tanxlnx 。

四、解答题

1、试问a为何值时，f(x)?asinx?13sin3x在x??3处取得极值？

2、已知圆半径为R，求内接于半圆的矩形的边长，使该矩形的周长为最大。 3、求点A(0,1)到曲线x?y?1的最短距离。 4、求曲线y?x?6xlnx的凹凸区间与拐点。

5、试确定曲线y?ax?bx?cx?d中的a,b,c,d，使点??2,44?为，点?1,?10?为拐点。

3232270

五、证明题

1、设f??(x)存在，求证limf(x?2h)?2f(x?h)?f(x)h2h?0?f??(x)。

2、试证：如果y?ax3?bx2?cx?d满足b2?3ac?0，则函数无极限。

3、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：在(a,b)内至少存在一点?，使得

bf(b)?af(a)b?a??f?(?)?f(?)。

4、已知在[0,1]上，0?f(x)?1，f(x)可微且f?(x)?1。求证：在(0,1)存在唯一的x0，满足f?x0??x0。

5、证明：当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2。 6、设f(x)二阶可导，证明：f???x??limf?x??x??f?x??x??2f?x??x?0??x?2。

71

习题

B

一、选择题：

1、设f(x)在[?1,1]上连续，在(?1,1)内可导且有f?0??0,f??x??M，则在[?1,1]必有（ ）；

?A?f?x??M?B?f?x??M(C)f?x??M(D)f?x??M

2、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，但f?a??f?b?，则（ ）；

?A?一定不存在???a,b?，使

f?(?)?0 f?(?)?0 f?(?)?0 f?(?)?0

?B?至少存在一点???a,b?，使?C?最多存在一点???a,b?，使

?D?可能存在一点???a,b?，使

3、y?f?x?在x?x0处取得极大值，则必有（ ）；

?A?f??x0??0?B?f???x0??0?C?f??x0??0,f???x0??0?D?f??x0??0或

f??x0?不存在

4、若f(x)二阶可导且f?x???f??x?，又当x??0,???时，f??x??0且f???x?存在，则在???,0?内曲线f(x)（ ）；

?A?单调增加且下凹 ?B?单调减少且下凹 ?C?单调增加且上凹 ?D?单调减少且上凹

5、设f(x)二阶可导，x0为f(x)拐点的横坐标且f???x0??0，则在x0的两侧（ ）；

?A?二阶导数同号 ?B?一阶导数同号 ?C?二阶导数异号 ?D?一阶导数异号

6、曲线y??x?1?e?x的拐点是（ ）；

?A??2,e?2??B??3,2e?3??C???1,?2e?2?2?D??0,?1?

7、已知M1(?1,0),M2(1,2)是曲线y?x?x上的两点且曲线在点M处的切线与M1和

M2两点的连线平行，则点M的坐标为（ ）；

72

?A??1,1??B??1,2??C???1,0??D??0,0?

f??x?x8、f(x)在(a,b)内二阶可导且xf???x??f??x??0，则在?a,b?内

是（ ） ；

?A?单调增加 ?B?单调减少 ?C?有增有减 ?D?有界函数

x9、设函数f(x)二阶可导且处处满足方程f???x??3?f??x???2ef?x??0。若x0是函数

2的一个驻点且f?x0??0，则f?x?在x0处（ ）；

?A?取极大值 ?B?取极小值 ?C?不取极值 ?D?不能确定

10、limatanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x2x?0)?2，其中a2?c2?0，则必有（ ）；

(A)b?4d(B)b??4d(C)a?4c(D)a??4c

11、曲线y?1?e1?e?x?x22（ ）；

?A?无渐近线 ?B?仅有水平渐近线 ?C?仅有铅直渐近线 ?D?既有水平又有铅直

渐近线

112、曲线y?exarctg2x?x?1(x?1)(x?2)2的渐近线有（ ）；

?A?1条 ?B?2条 ?C?3条 ?D?4条

二、填充题

1、设f(x)二阶可导，则limf?a?h??2f?a??f?a?h?h2h?0? ；

x2、当x? 时，函数y?x2取得极小值。

3、曲线y?1?e1?e?x?x22的水平渐近线的方程为 ，垂直渐近线的方程为 ；

4、函数y?x?2cosx在?0,????2??上的最大值为 ；

5、曲线y?ln(x?1)在???37?1,ln3??点的曲率是 ； 7?73

6、若曲线y?x2与y?alnx相切，则a? ； 7、曲线y?exsinx在点?0,0?处的曲率是 ； 8、函数f?x??3?x?4?x?2?2在??1,2?上的最大值为 。

三、计算题

1、lime?sinx?2x?1xln(1?x)11x； 2、limx?0lnsin3xlnsin5xx?0?； 3、limexln(1?x???1x)；

2?1cosx?x?sinx4、lim?(?x； 6、； )； 5、lim?2?lim?32x?0x?0x?0xe?1xsinx??x1??7、lim； 8、limx(?arctanx)； 9、lim??2?x?ex?x?；

x???x?0x?sinxx??2??e?exsinx?xcos21x2 10、limx?0sinx； 11、lim(1?sinx)x； 12、limx?0e?sinx?1(arcsinx)12x；

x?013、lim(1?x)tanx?1?2x； 14、lim[x?xln(1?x??21x)]； 15、lim(1?x)x?ex。

x?016、设f(t)?limt(x??x?tx?t)，求f?(t)。

x17、设f(x)具有一阶连续导数且f?0??0,f??0??2，求limx?cx?cf?1?cosx?tanx2。

x?0 18、已知f(x)在(??,??)内可导且limf?(x)?e,lim(x??x??)?lim(f(x)?f(x?1))

x??x 求c的值。

四、解答题

1、在什么条件下y?x?ax?bx?cx?d无拐点？ 2、利用极值讨论方程lnx?ax,(a?0)有几个实根。

2x?1(x?1)24323、作y?的图形。

24、试决定y?k?x?3?中k的值，使曲线在拐点处的法线通过原点。

274

5、求点?0,1?到曲线y?x2?x的最短距离。

五、证明题

1、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f(a)?f(b)?1； 试证：??,??(a,b)，使得：e???[f(?)?f?(?)]?1。

2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且f(0)?0，当x??0,1?时，f(x)?0。求证：

nf???f对一切自然数n，在(0,1)内必有一点?，使得

?????f??1??f?。

?1???3、设0?a?b，函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f(a)?f(b)?0。试证：存在一点???a,b?，使得

f(?)?1x?2007f????。

4、证明不等式xe?x?1xe??0?x?1?。

f?x?x5、若在???,???内有f???x??0,f?0??0。试证：F?x??单调增加。

在???,0?和?0,???上

75

习题A答案

一、选择题

（1）C （2）B （3）C （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C （ 9）B （10）D （11）C （12）D （13）B

二、填充题

1、-3 2、1+2 3、f?a? 4、?0,2? 5、0 6、11x?y?9?0 7、?1,?2?

三、计算题

(1) 1 (2) 2 (3)

13 (4)?25

(5) 提示：设limf(x)?k

x???limf(x)?limx??x??sinxx???2k?k?limx??cosx1

?k?1?limf(x)?1x??（6）

92 （7）2 （8）

?1

131 （9）1 （10）1 （11）2 （12）e?2 （13）

16

（14）e （15）(abc)3 （16）e2 （17）limx?0x?1xlnxx??lim?x?0elnxx?1xlnx?lim?x?0exlnx?1xlnxxlnx?lim?x?0xlnxxlnx?1

或lim?x?0x?1xlnx(xsinxx?lim?x?0exlnx(lnx?1)lnx?1sinx?lim?ex?0?1

1x(18))??(elnx)??xsinx(cosxlnx?sinxx?lim?x?0sinx)1x)?lim?x?0xsinx?1tanxlnxsinx?lim?x?0esinxlnx?1(cosxlnx?sinxlnx?11xlnxsinx?lim?xx?0(lim?x?0cosxlnxlnx?1?lim?x?0sinxcosxx)?1?(limx?lim)?1?lim?1???x?01x?0x?0lnx?1x(lnx?1)lnx?1?1x四、解答题

（1）当a?2时，f(x)在x??3处取得极值并且是极大值。

76

（2）当x?R5，2y?4R5为边长时，周长最小。

（3）点A(0,1)到曲线x2?y2?1的最短距离为62 （4）凹区间（1，??），凸区间（0，1），拐点（1，-5） ?a?1??b??3（5）?

?c??24??d?16五、证明题

（1）证明：左边 ?lim?lim2f?(x?2h)?2f?(x?h)2hf?(x?2h)?f?(x?h)(x?2h)?(x?h)?limf?(x?2h)?f?(x?h)hh?0h?0

h?0?f??(x)（2）证明：y??3ax2?2bx?c ???(2b)2?12a?4(b2?3ac)?0

?y?恒大于0或恒小于0，故原命题得证。

（3）提示：设F(x)?xf(x) （4）作辅助函数F?x??f?x??x

（5）令f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2，利用单调性证明 （6）证明：原式右端是

limf00的未定型，用洛必达法则，得

?limf??x??x??f??x??x?(?1)2?x?x?0?x??x??f?x??x??2f?x?2??x??x?0f??x??x??f??x??11?f??x??x??f??x??lim??????f???x??f???x????f???x? ?x?02?x?x2?? 习题B答案

一、选择题

（1）C （2）D （3）D（4）A （5）C（ 6）B （7）D （8）B （9）B （10）D （11）D （12）B

77

二、填充题

1 、f???a? ；2、?121ln2 ； 3、y?1，x?0； 4、

?6?3 ；5、

2164 ； 6、2e ； 7、

8、3。

三、计算题

（1）

12 （2）1 （3）?? （4）

12

2222222?1cosx?sinx?xcosxsinx?xcosx?lim（5）提示：lim?2?； ??lim2224x?0x?0x?0sinx?xsinxx?x?limx?0sinx?xcosxsinx?xcosxcosx?cosx?xsinx2； ??2lim?32x?0x3x3x（6）

16（7）1 （8） 1 （9）-3（提示：令

21x?t）（10）0（11）e?2 （12）

12

（13）

?（14）

1212（15）?e2 （16）2t2t2tf?(t)?e?te?2?e(1?2t)（17）1；

（18）c?。

四、解答题

（1）y??4x3?3ax2?2bx?y???12x2?6ax?2b?2(6x2?3ax?b)

??(?3a)?4?6?6?3(3a?8b)?0即3a?8b时，y无拐点。

222（2）0?a?1e时，方程有二个实根；a?28541e时，方程有一个实根；a?1e时，方程无实根。

（3）图略 （4）k?? （5）

五、证明题

（1）构造辅助函数F?x??ef?x?，则F?x?在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，因

x此???(a,b)，使得

ef?b??ef?a?bab?a??e??f????f??????

由条件f(a)?f(b)?1，得

xe?eb?aba??e??f????f??????

再令??x??e，则??x?在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此???(a,b)，使得

78

e?eb?aba??e。

（2）提示：设F?x??f(x)f(1?x)

n（3）提示：设F?x??f(x)x?120071 （4）令f?x??xe2x?x?1?0?x?1?，利用单调性证明

?xf??x??f?x??f?x???（5）证明：F?x??? ??2xx??设??x??xf??x??f?x?，只需证：在???,0?和?0,???上，总有??x??0即可。事实上： 在???,0?上，???x??f??x??xf???x??f??x??xf???x??0即??x?在???,0?上单调减少，从而??x????0???f?0??0

在?0,???上，???x??xf???x??0??x?在?0,???上单调增加，??x????0???f?0??0

79

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bf8a.html