2006-2011年考研数学三真题及解析

2006年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. ??1?n?n?1?（1）lim??n???n??______.

f?x?（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??e（3）设函数f(u)可微,且f??0??（4）设矩阵A???2??1，f?2??1，则f????2??____.

?1,2?12,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分dz?_____.

1??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? . 2?（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则P?max?X,Y??1??_______. （6）设总体X的概率密度为f?x??方差为S2，则ES2?____.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]

f?hh2212e?x????x????,X1,X2,?,Xn为总体X的简单随机样本，其样本

（8）设函数f?x?在x?0处连续，且lim?h?0?1，则

(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在

(C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ ]

?（9）若级数?an收敛，则级数

n?1??(A)

?n?1?an收敛 . （B）?(?1)an收敛.

n?1?n(C)

?n?1anan?1收敛. (D)

?n?1an?an?12收敛. [ ]

（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解

是

- 1 -

（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.

（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ ] （11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ ]

（12）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. [ ]

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记?1?P?0??0?1100??0，则 ?1???1?1（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.

（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］

22（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且

TTP?X??1?1??P?Y??2?1?

则必有

(A) ?1??2 (B) ?1??2

(C) ?1??2 (D) ?1??2 [ ]

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

1?ysin??xy,x?0,y?0,求

设f?x,y??

y1?xyarctanx- 2 -

(Ⅰ) g?x??limf?x,y?；

y???

(Ⅱ) lim?g?x?. x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分??D2y?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a. （18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）

83时，确定a的值.

??1?x2n?1求幂级数?的收敛域及和函数s(x).

n?2n?1?n?1?n?1（20）（本题满分13分）

,4a?，设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?, ?4??4,4,4?问aTTTT为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??； 3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.

2??6TTT（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，

?4?0,　其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

2 - 3 -

(Ⅰ)求Y的概率密度fY?y?；

(Ⅱ)Cov(X,Y)； ??1?,4?. 2?(Ⅲ)F??（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,

?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，1的个数.

（Ⅰ）求?的矩估计；

（Ⅱ）求?的最大似然估计

X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于- 4 -

2006年考研数学（三）真题解析

二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. ??1?n（1）lim?n?1?n????1.

?n?? 【分析】将其对数恒等化N?elnN求解. ??1?n(?1)nln?n?1 【详解】lim?n?1???lim(?1)nln?n?1?n??????n??，

n????lim?n??n??e?en? 而数列?(?1)n?有界，limln?n?1????0，所以nln?n?1?0. n???nlim(?1)?n?????n????1?n 故 lim?n?1?n?????e0?1?n?.

（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??ef?x?，f?2??1，则f????2??2e3.

【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，f??x??ef?x?，两边对x求导得 f???x??ef?x?f?(x)?2e?f?x，

两边再对x求导得 f???(x)?2e2f?x?f?(x)?2e3f?x?，又f?2??1，

故 f???(2)?2e3f?2??2e3.

（3）设函数f(u)可微,且f??0??12,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分dz?1,2??4dx?2dy. 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.

【详解】方法一：因为?z?x(1,2)?f?(4x2?y2)?8x(1,2)?4，

?z?y(1,2?f?(4x2?y2))???2y?(1,2)??2，

所以 dz???z?1,2????x?1,2?dx??z?dy?y?1,2???4dx?2dy. ? 方法二：对z?f?4x2?y2?微分得 dz?f?(4x2?y2)d(4x2?y2?)?f(?42x?2y)?8xdx?，

2y dy故 dz?1,2??f?(0)?8dx?2dy??4dx?2dy.

- 5 -

?2（4）设矩阵A????1

1??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? 2 . 2?【分析】 将矩阵方程改写为AX?B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有 B(A?E)?2E

1?111于是有 BA?E?4，而A?E?

?2，所以B?2.

（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则 P?max?X,Y??1??

19 .

【分析】 利用X与Y的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X与Y具有相同的概率密度

?1?,　　0?x?3 f(x)??3.

?0,　　　其他?则 P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?

??P?X?1??21?11????dx??.

9?03?2

【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

S阴S?19 则 P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??（6）设总体X的概率密度为f?x??方差为S，则ES?2.

【分析】利用样本方差的性质ES?DX即可. 【详解】因为

22.

12e?x????x????,X1,X2,?,Xn为总体X的简单随机样本，其样本

2- 6 -

EX?

?????xf(x)dx??????????x2e?xdx?0????，

e?xEX2??xf(x)dx?2?0x22?xdx????0xedx??xe2?x2?x??0?2???0xedx

?x??2xe?x??02?2???edx??2e?x??0?2，

所以 DX?EX2??EX所以 ES2?DX?2.

??2?0?2，又因S是DX的无偏估计量，

2二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .

[ Ａ ]

【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】 由f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增加，曲线 y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，显然当?x?0时，

?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).

f?hh22（8）设函数f?x?在x?0处连续，且lim?h?0?1，则

(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ C ]

f?hh22 【分析】从lim??h?0?1入手计算f(0)，利用导数的左右导数定义判定f??(0),f??(0)的存在性.

【详解】由limf?hh22h?0?1知，limf?hh?02??0.又因为f?x?在x?0处连续，则

2 f(0)?limf(x)?limf?hx?0h?0??0.

?f??(0).

2 令t?h，则1?limf?hh22?h?0?lim?t?0f?t??f(0)t 所以f??(0)存在，故本题选（C）.

- 7 -

? 9）若级数（?an收敛，则级数

n?1??nan收敛 . （B）?(?1)an收敛.

n?1(A)

?n?1??(C)

?n?1anan?1收敛. (D)

?n?1an?an?12收敛. [ Ｄ ]

【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.

???【详解】 由?an收敛知?an?1收敛，所以级数?n?1n?1n?1an?an?12收敛，故应选(Ｄ).

或利用排除法： 取an?(?1)n 取an?(?1)n1n1n，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；

，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.

（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解

是

（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.

（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于y1(x)?y2(x)是对应齐次线性微分方程y??P(x)y?0的非零解，所以它的通解是 Y?C?y1(x)?y2(x)?，故原方程的通解为

y?y1(x)?Y?y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?，故应选(Ｂ).

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

y?y*?Y.

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.

（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

- 8 -

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ Ｄ ]

【分析】 利用拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)在(x0,y0,?0)（?0是对应x0,y0的参数?的

值）取到极值的必要条件即可.

【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为?0，则 ?F?(x,y?,?x00 ??,y0?,?0?Fy(x?)?)?f?(x,y)????(x,y)?00?x000x00， 即? .

??0??fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?000消去?0，得

?(x,y?)?f)y fx?(x0,y0?00y?)(0x,?y0x(0x?,y, )00整理得 fx?(x0,y0)?1?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).（因为?y?(x,y)?0），

若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选（Ｄ）.

（12）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记B?(?1,?2,?,?s)，则(A?1,A?2,?,A?s)?AB.

所以，若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则r(B)?s，从而r(AB)?r(B)?s，向量组A?1,A?2,?,A?s也线性相关，故应选(Ａ).

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记?1?P?0??0?1100??0，则 ?1???1?1（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.

（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ Ｂ ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

- 9 -

TT

?1? B?0??0??1??0??0?110?1100??0A　,　　C???1??1?1?B01??00??0????0???1???1001?0???10A???0??1??100?1?1， 0??01?而 P?10??0，则有C?PAP?1.故应选（Ｂ）. ?1??（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?22)，且

P?X??1?1??P?Y??2?1? 则必有

(A) ?1??2 (B) ?1??2

(C) ?1??2 (D) ?1??2 [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得

?X??1?Y??21?1?P???P????，

?1??2???1??2?12? 则 ???1?1??1???1?????1?2??1，即????. ???????1??2???2? 其中?(x)是标准正态分布的分布函数.

11 又?(x)是单调不减函数，则

故选(A).

?1??2，即?1??2.

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

1?ysin??xy,x?0,y?0,求

设f?x,y??y1?xyarctanx(Ⅰ) g?x??limf?x,y?；

y???(Ⅱ) lim?g?x?.

x?0 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含

问的结果，含???未定式极限.

??第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ),0??型未定式极限；

- 10 -

?x?1?ysin?yy 【详解】(Ⅰ) g?x??limf?x,y??lim? ?y???y??1?xyarctanx????x?sin?y?1?1??1y?lim??y??1arctanx??x?y?????? ????????11??x. ???xarctanx?????21??x?arctanx?x??x?1 (Ⅱ) lim?g?x??lim????lim??x?0x?0xarctanx?xarctanx?x?0 （通分）

1?lim?x?0arctanx?x??xx22?lim?1?xx?02?1?2?x2x?lim?x?0?x?2?x(1?x)2x22??

（16）（本题满分7分） 计算二重积分??D2y?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域.

【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”

积分较容易，所以

??Dy?xydxdy?2?10dy?y0y?xydx

2??23?101y?y2?xy?32y0dy?23?10ydy?229

（17）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.

【详解】 令f(x)?xsinx?2cosx??x?asina?2cosa??a,0?a?x?b??， 则 f?(x)?sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??，且f?(?)?0. ,nxis又 f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，（0?x??时x0?），

?时，f?(x)单调减少，即f?(x)?f?(?)?0，则f(x)单调增加，于是故当0?a?x?b?f(b)?f(a)?0，即

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

- 11 -

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜

率之差等于ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

3 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.

(Ⅱ) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为

8时，确定a的值.

【详解】(Ⅰ) 设曲线L的方程为y?f(x)，则由题设可得 y??yx，这是一阶线性微分方程，其中P(x)???ax1x,Q(x)?ax，代入通解公式得

11???xdx??xdx2 y?eaxedx?C????x?ax?C??ax?Cx，

??又f(1)?0，所以C??a.

故曲线L的方程为 y?ax2?ax(x?0).

(Ⅱ) L与直线y?ax（a>0）所围成平面图形如右图所示. 所以

D??20?ax??ax2?ax??dx ??20 ?a? 故a?2.

?2x?x2?dx?43a?83，

（19）（本题满分10分）

??1?x2n?1求幂级数?的收敛域及和函数s(x).

n2n?1??n?1?n?1 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数

展开式计算和函数. 【详解】记un(x)?(?1)n?1x2n?1n(2n?1)，则

n2n?3(?1)xlimun?1(x)un(x)n???lim(n?1)(2n?1)(?1)n?1n??x2n?1?x.

2n(2n?1) 所以当x?1,即x?1时，所给幂级数收敛；当x?1时，所给幂级数发散；

(?1)n?12当x??1时，所给幂级数为

n(2n?1)n(2n?1),(?1)n，均收敛，

故所给幂级数的收敛域为??1,1?

- 12 -

?在??1,1?内，s(x)?

?n?1(?1)n?1x2n?1?n(2n?1),s1??(x)?s1??(t)dt?x0?2x?n?1(?1)n?1x2n(2n?1)?2n?2n?2?2xs1(x)，

而 s1?(x)???n?1(?1)n?1x2n?1?2n?1?(?1)n?1n?1x?11?x2，

所以 s1?(x)?s1?(0)??x0?11?t2dt?arctanx，又s1?(0)?0，

于是 s1?(x)?arctanx.同理 s1(x)?s1(0)??x0s?1(t)dt?x0?x0x0arctantdt

t1?t2?tarctant??dt?xarctanx?12ln?1?x212ln?1?x2?，

又 s1(0)?0，所以 s1(x)?xarctanx??.

故 s(x)?2x2arctanx?xln?1?x2?.x???1,1?.

由于所给幂级数在x??1处都收敛，且s(x)?2x2arctanx?xln?1?x2?在x??1 处都连续，所以

s(x)在x??1成立，即

s(x)?2x2arctanx?xln?1?x2?，x???1,1?. （20）（本题满分13分）

,4a?，设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?, ?4??4,4,4?问aTTTT为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以?1,?2,?3,?4为列向量的矩阵为A，则

1?a22?a22333?a34444?a?(10?a)a.

3 A?111 于是当A?0,即a?0或a??10时，?1,?2,?3,?4线性相关.

当a?0时，显然?1是一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,?4?4?1； 当a??10时，

?1 ?2 ?3 ?4

- 13 -

??9?1 A?? ?1??14???834?， ?2?74?23??623?92?8233??400?0，所以?1,?2,?3为极大线性无关组，且?7 由于此时A有三阶非零行列式11?1??2??3??4?0，即?4???1??2??3.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??； 3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.

2??6TT【分析】 由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组Ax?0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的线性无关3??的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由QTAQ??可得到A和?A?E?.

2??6【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 ?1??3??1??????? A?1???3??3?1?，

?1??3??1???????T则由特征值和特征向量的定义知，??3是矩阵A的特征值，??(1,1,1)是对应的特征向量.对应

??3的全部特征向量为k?，其中k为不为零的常数.

又由题设知 A?1?0,A?2?0，即A?1?0??1,A?2?0??2，而且?1,?2线性无关，所以??0是矩阵A的二重特征值，?1,?2是其对应的特征向量，对应??0的全部特征向量为 k1?1?k2?2，其中k1,k2为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A是实对称矩阵，所以?与?1,?2正交，所以只需将?1,?2正交. 取 ?1??1，

- 14 -

?1?

?0???1???2? ??2,?1?????2??2??????1???3?2???1?0?. 1,?1???6???1?????1????1??2??再将?,?1,?2单位化，得 ?1??1??3???1????6????? ????1??1?2???2?1????,?2???3???1?6?,??23??0??，

??2??1??1??1?????3????6???2??令 Q???1,?2,?3?，则Q?1?QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 ?3? QTAQ???0????. ??0???3? （Ⅲ）由(Ⅱ)知 QTAQ????0???，所以 ??0???111??111????36?2????3??333?? A?Q?QT??12?0?????12?111???360????????11??0?66?16????111??. ?????1?11??111???362?????202??666 QT?3?A?E???2?Q??QT?3?A?E???Q?????2??T3???QAQ?E?2?

????3??6??3?6????????3?2????2??????????0??3???????36???????????02???3??6?E，?????2???2??3?????????36??2???????????2?????666则?3?A?E??3??3????Q??2?EQT????2?E.

2??（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

- 15 -

?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，

?4?0,　其他??2令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ) 求Y的概率密度fY?y?； (Ⅱ) Cov(X,Y)；

??1?,4?. 2?(Ⅲ) F??【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I） 设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)?P(Y?y)?P(X1) 当y?0时，FY(y)?0； 2) 当0?y?1时， FY(y)?P(X ?22?y)，则

?y)?P??y?X?y

??0?y12dx??y013dx?y. 4423) 当1?y?4时，FY(y)?P(X ??y)?P?1?X?14y?12?y

??0?112dx??y014dx?.

4) 当y?4，FY(y)?1. 所以

?3,0?y?1?8y??1?y?)?,?1y?. 4 fY(y)?FY(8y??0,其他??（II） Cov(X,Y)?Cov(X,X)?E(X?EX)(X?EX)?EX?EXEX，

0?122232而 EX??x2dx??20x420dx?14，EX2??0?1x22dx??20x24dx?56，

EX?3?0?1x32dx?78?x34dx?78，

所以 Cov(X,Y)?

?152??. 463- 16 -

(Ⅲ) F????111????,4??P?X??,Y?4??P?X??,X2?22???2??4?

?11?????P?X??,?2?X?2??P??2?X???

22?????12??12?1dx?14.

（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

0?x?1,??,?f?x;????1??,1?x?2,

?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数.

（Ⅰ）求?的矩估计；

（Ⅱ）求?的最大似然估计

【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.

【详解】（Ⅰ）因为EX?令

3?????xf(x;?)dx??10x?dx??21x?1???dx?32??，

?3???X，可得?的矩估计为 ???X. 22 （Ⅱ）记似然函数为L(?)，则

L(?)?????????1?????1???????1?????????????????????N个N(1??)n?N.

?n?N?个 两边取对数得 lnL?(?)N令

dlnL(?)d??N?n?N1??l?n?n(?N)ln??(，1

??0，解得???Nn为?的最大似然估计.

- 17 -

2007年研究生入学考试数学三试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与 （A）1?exx等价的无穷小量是

（B）ln1?x1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]

（2）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： （A）若lim （B）若limf(x)xf(x)xx?0存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若limf(x)?f(?x)xf(x)?f(?x)xx?0存在，则f(0)?0 . 存在，则f?(0)?0.

x?0x?0 [ ]

（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间

??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??0xf(t)dt，则下列结论正确的是：

（A）F(3)??（C）F(3)?3434F(?2) (B) F(3)?54

F(2) 54F(?2) [ ]

F(2) （D）F(3)???1sinx（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分??dx?2f(x,y)dy等于

1（A）?dy?0101???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx （B）?dy?010???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dx

（C）?dy??2f(x,y)dx （D）?dy??2（5）设某商品的需求函数为Q?160?2P，其中Q,P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是

(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ]

- 18 -

（6）曲线y?

1x?ln?1?ex?的渐近线的条数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （7）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?3??1

(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ] 0100??0，则A与B ?0??(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.

?12?1?1??1???1,B?0????02???2?（8）设矩阵A??1???1?(A) 合同且相似（B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为

（A）3p(1?p)2. （B）6p(1?p)2.

（C）3p2(1?p)2. （D）6p2(1?p)2 [ ]

（10）设随机变量?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为 (A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)fY(y). [ ]

二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limx?x?12?xx332x???(sinx?cosx)? __________.

(n)（12）设函数y?12x?3，则y(0)?________.

?yx??z?zz?f,（13） 设f(u,v)是二元可微函数，，则x?y? __________. ??xy?x?y??1?y?（14）微分方程????满足ydxx2?x??0?0（15）设矩阵A???0??010000100dyy3x?1?1的特解为y?________.

0??0?，则A3的秩为 . 1??0?（16）在区间?0,1?中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

的概率为 . 2三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

- 19 -

1（17） (本题满分10分)

设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.

（18） (本题满分11分)

?? 设二元函数f(x,y)????D???x,x,1x?y222|x|?|y|?1,1?|x|?|y|?2，计算二重积分

??Df(x,y)d?，其中

?y|x|?|y??|. 2（19） (本题满分11分)

设函数f(x),g(x在b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，)?a,b?上连续，在(a,f(a)?g(a),f?(b)，证明：存在gb??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

（20） (本题满分10分)

将函数f(x)?1x?3x?42展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间.

（21） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.

?2?x1?4x2?ax3?0（22） (本题满分11分)

T设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)是A的属于?1的一个特征向量，

记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.

（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B. （23） (本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,f(x,y)? ?0,?0?x?1,?0y?1其他.

（I）求P?X?2Y?； (II) 求Z?X?Y的概率密度.

2007答案

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x?0时，1?e?x??x，1?x?1?12x，1?cosx?12??x2?12x，

故用排除法可得正确选项为（B）.

- 20 -

ln1?x1?xxx?01lim?ln(1?x)?ln(1?xx)?lim?x?0 事实上，limx?01?x?1?1?x2x?1， 12x?1 或ln1?x1?x?ln(1?x)?ln(1?x)?x?o(x)?x?o(x)?x?o(x)?x.

所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法

是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x)?|x|，则lim 事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0)?0.

在（C）中，lim故选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.

3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得 1?1? F(3)??1?????22?2?2f(x)?f(?x)xx?0?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）.

f(x)xx?0存在，则f(0)?0,f?(0)?limf(x)?f(0)x?0x?0?limf(x)xx?0?0，所以(C)项正确，

1238?，F(2)?12?2?21212?，

2 F(?2)???20f(x)dx???34F(2)?340?2f(x)dx??20f(x)dx??1?12?.

所以 F(3)?F(?2)，故选（C）.

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第

一篇【例3.38】【例3.40】.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

?【详解】由题设可知，?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，

2 故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.

5…….【分析】本题考查需求弹性的概念.

- 21 -

【详解】选（D）.

商品需求弹性的绝对值等于 故选（D）.

【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

xx【详解】limy?lim?ln1?e???,limy?lim?ln1?e??????0， ?x???x????xx???x????x????dQdPQ?P??2P160?2P?1?P?40， ?1??1? 所以 y?0是曲线的水平渐近线；

x limy?lim?ln1?e?????，所以x?0是曲线的垂直渐近线；

x?0x?0?x???1?1 limyxx????limxx????ln?1?exx??0?limx???ln?1?ex??x?exx?lim1?ex???1?1，

b?lim?y?x??x????1lim?x????x?n1??ex???l?x，所以0y?x是曲线的斜渐近线.

故选（D）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平

渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意ex当x???,x???时的极限不同.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.

7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组?1,?2,?3的线性相关性. 一般令

??1,?2,?3????1,?2,?3?A，若

A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无关. 但

考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.

或者因为

?1????1,?2,?3??1??0?01?1?1?1?0，而?1?01??01?1?10?0， 1??1??2,?2??3,?3??1? 所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），（B），（C），

（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》

- 22 -

TTT【例3.3】.

……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩8阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

??2【详解】 由?E?A?11111??(??3)可得?1??2?3,?3?0，

2??21??2 所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）. 【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.

9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝

1222 ?C3p(1?p)p?3p(1?p，)

故选（C）.

【评注】本题属基本题型.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】

10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式

fX|Y(x|y)?f(x,y)fY(y)可求解.

【详解】因为?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y).

故fX|Y(x|y)?f(x,y)fY(y)?fX(x)fY(y)fY(y)?fX(x)，应选（A）.

【评注】若?X,Y?服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3x【详解】因为limx?x?12?xx332x????lim2x????x22x?3x12x1?x2?01?0,|sinx?cosx|?2，

所以limx?x?12?xx332x???(sinx?cosx)?0.

【评注】无穷小的相关性质：

（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；

（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

- 23 -

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】

12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解】y?12x?3,y???2?2x?3?2，则y(n)(x)?(?1)2n!(2x?3)n?1nn，故y(n)(0)?(?1)2n!3n?1nn.

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.

13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得

?z?x?z?y?z?x??yx2f1??1yf2?，

?1xf1??xy2f2?，

所以x?y?yx???2?f1??f2??. ?yxy???z【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.

14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令u?【详解】令u?yxyx.

，则原方程变为

u?xdudx?u?12u?3duu3??dx2x.

两边积分得 ?1C112u2??12lnx?y2212lCn，

即x?eu?x?21Cex，将yx?1?1代入左式得 C?e，

22xy 故满足条件的方程的特解为 ex?e，即y?xlnx?1，x?e.

?1【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.

15……….【分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩.

3 - 24 -

?0?0 详解】A??【?0??0100001000??0??00??A3???01???0??0000000001??0??r(A)?1. 0??0?【评注】本题为基础题型.

矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.

16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间?0,1?上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便. 【详解】利用几何概型计算. 图如下：

y 1 O A 1/2 1 /2 x

?1?1???3?2???.

142 所求概率?SASD【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）

第三篇【例2.29】，【例2.47】.

17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.

【详解】 方程 ylny?x?y?0两边对x求导得

y?yy?lny?y12?1?y??0，

即y?(2?lny)?1，则y?(1)? 上式两边再对x求导得

.

y??(2?lny?) 则y??(1)??18?y??y2? 0，所以曲线y?y(x)在点(1,1)附近是凸的.

【评注】本题为基础题型.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.

- 25 -

18…….【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以

??Df(x,y)d????D1f(x,y)d?，其中D1为D在第一象限内的部分.

而

??D1f(x,y)d????x?y?1,x?0,y?0xd??2??1?x?y?2,x?0,y?01x?y22d?

??10dx??x0?12?xxdy???dx?1?x?0?21x?y22dy??21dx?2?x0?dy? 22?x?y?1?1122ln1??2.

? 所以

??Df(x,y)d??13?42ln1??2.

?【评注】被积函数包含x2?y2时, 可考虑用极坐标，解答如下：

??1?x?y?2x?0,y?0f(x,y)d????1?x?y?2x?0,y?01x?y222d?

???20d??sin??cos?1sin??cos?dr

?2ln(1?2).

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.

19…….【分析】由所证结论f??(?)?g??(?)可联想到构造辅助函数F(x)?f(x)?g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.

【详解】令F(x)?f(x)?g(x)，则F(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且F(a)?F(b)?0.

（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c)?g(c)?F(c)?0， 于是由罗尔定理可得，存在?1?(a,c),?2?(c,b)，使得

F?(?1)?F?(?2)?0.

再利用罗尔定理，可得 存在??(?1,?2)，使得F??(?)?0，即f??(?)?g??(?). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1)?g(c2)?M，于是

)? F(c1f(1c)?g(1c?)0,F2(c?)f2(c?)g2(c?，)

0 于是由零值定理可得，存在c3?(c1,c2)，使得F(c3)?0

- 26 -

于是由罗尔定理可得，存在?1?(a,c3),?2?(c3,b)，使得

F?(?1)?F?(?2)?0. 再利用罗尔定理，可得 ，存在??(?1,?2)，使得F??(?)?0，即f??(?)?g??(?). 【评注】对命题为f(n)(?)?0的证明，一般利用以下两种方法：

(n?1)方法一：验证?为f 方法二：验证f(n?1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；

(x)在包含x??于其内的区间上满足罗尔定理条件.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.

20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】f(x)?1x?3x?42?1(x?4)(x?1)?1?11????，而

5?x?4x?1?n?(x?1)?x?1? ??????????3n?1,?2?x?4， ?x?1x?433n?0?3?n?01?31111?n?x?1??????? ??x?1x?122n?0?2?1?2?1111?n??n?0(?1)(x?1)2n?1nn,?1?x?3 ，

所以 f(x)???n?0(x?1)3n?1n???n?0(?1)(x?1)2n?1nnn?1(?1)????n?1?n?132n?0???n?(x?1)， ? 收敛区间为 ?1?x?3. 【评注】请记住常见函数的幂级数展开.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.

21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组

?x1??x1??x1?x?1?x2?x3?0?2x2?ax3?0?4x2?ax3?0?2x2?x3?a?12

其系数矩阵

?1?1A???1??1

12421aa210??1??00????00???a?1??011311a?1a?1020??0?. 0??a?1?- 27 -

?1?0???0??0110021a?1a?3a?21?a0??1??00????00???a?1??011001a?11?a(a?1)(a?2)0??0?. a?1??0?显然，当a?1,a?2时无公共解.

当a?1时，可求得公共解为 ??k?1,0?,当a?2时，可求得公共解为 ???0,1?,?1,k为任意常数；

TT?1.

【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.

22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.

【详解】（I）B?1??A5?4A3?E??1??15?1?4?13?1??1???15?4?13?1??1??2?1， 则?1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得

B?2???25?4?23?1??2??2，B?3???35?4?33?1??3??3. 所以B的全部特征值为2，1，1

T 设B的属于1的特征向量为?2?(x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的

特征向量正交，可得

?1?2?0.

T 即 x1?x2?x3?0，解方程组可得B的属于1的特征向量

TT ?2?k1(1,0,?1)?k2(0,1,0)，其中k1,k2为不全为零的任意常数.

T 由前可知B的属于－2的特征向量为 k3(1,?1,1)，其中k3不为零.

?1?（II）令P??0??1?0101??1??-1?1，由（Ⅰ）可得PBP?0???01???1?1??01.

?10??0100??0，则 ??2???0? B??1??1?【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax??x的形式. 请记住以下结论：

（1）设?是方阵A的特征值，则kA,aA?bE,A,f(A),A,A分别有特征值

2?1* - 28 -

1A2 k?,a??b,?,f(?),,??

可逆），且对应的特征向量是相同的. A( （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例

5.24】

23…….【分析】（I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I）P?X?2Y??2???2?x?y?dxdy??0dx?0?2?x?y?dy?x?2y1x724.

(II) 利用卷积公式可得 fZ(z)??????f(x,?z xx)d0?z?1?z(2?x)dx,??0?1???(2?x)dx,z?1?0,???2z?z2?21?z?2??(2?z)?0,其他?0?z?11?z?2. 其他【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.

（24） (本题满分11分)

设总体X的概率密度为

1??2?,?1?f(x)??,?2(1??)?0,??0?x????x?1 其他(X1,X2,?,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

（I）求参数?的矩估计量?；

（II）判断4X2是否为?的无偏估计量，并说明理由.

【分析】利用EX?X求（I）；判断E4X【详解】（I）EX??22??2???1?2. xdx??????xf(x)dx?14???0x2?12dx???2?1????2?14，

令X?????2X?.

- 29 -

（II）E?4X

2DX??EX???4E?X??4??22??4?1DX??EX?n????32?， ?? 而EX2??????xf(x)dx?2?2?0x22?dx???2?1????5481x2dx??23??16，

所以 DX?EX??EX2???212??12，

所以

E?4X2???4?nDX??EX??121?2?1?5????12， ?1???1?????????????3n?3n?????412n?故4X2不是?2的无偏估计量.

【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三

篇【例6.3，例6.6，例6.9】，

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数g(x)?x0?f(t)dtx的（ ）

?A?跳跃间断点. ?B?可去间断点.?C?无穷间断点. ?D?振荡间断点.

解：?B?

?limg(x)?limx?0x?0x0f(t)dtx?limfx?0?x??f?0?，所以x?0是函数g(x)的可去间断点

22222（2）设f连续且可导，x?y?1，x?y?u，u?1，则F?u,v????Df?u?v22?u?v22dudv，则

?F?u ?（ ）

22?A?vf??u2? ?B?uf??u? ?C?vf??v? 2 ?D?uf??v?

解：选A

分析；用极坐标得F?u,v???F?u2?vf??u?

??Df?u?v22?u?v22dudv??v0dv?uf(r)r21rdr?v?f(r)dr

1u2（3）设f(x,y)?e

x?y24,则函数在原点偏导数存在的情况是( )

- 30 -

?A?

fx?(0,0)存在,fy?(0,0)存在 ?B?fx?(0,0存)在fy?,fx?(0,0)不存在,fy?(0,0)存在 ?D?fx?(0,0不)存在fy?,(0不,存0)在 (0不,存0)在 ?C? 解：C

fx?(0,0)?limexex?024?1x?0x?0?lim2?limex?1x?0x?0x?0?0limex?1x?0?lime?1x?0xx?0??1，lime?x?1x?0?0x?0??1

故lim?1e?x?1x?0?0x?0x?0?0x?04，所以偏导数不存在。

2fy?(0,0)?lime0?y?1y?0y?0?limey?1y?0y?0?0

所以偏导数存在。故选C

（4）曲线段方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数则定积分?xf'(x)dx（ ）

0a?A?曲边梯形ABCD面积.

?B?梯形ABCD面积.

?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.

解：?C?

?

a0xf?(x)dx??xdf(x)?af(a)??f(x)dx

00aa00aa 其中af(a)是矩形面积，?f(x)dx为曲边梯形的面积，所以?xf?(x)dx为曲边三角形的面积。

（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若A3?0，则（ ）

?A??C?E?A不可逆，E?A不可逆. E?A可逆，E?A可逆.

?B?E?A不可逆，E?A可逆.

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

解：?C?

分析：(E?A)(E?A?A)?E?A?E，(E?A)(E?A?A)?E?A?E 故E?A,E?A均可逆。

?1?2??2?12??则在实数域上域与A合同矩阵为（ ） 1?1??. ?2?2323（6）设A???A??

?B???2??1?1??. 2? - 31 -

?C??21?? ?12?.

??D??1?2????21?. ?解：?D?

?E?A???1?22?2??1????1??4??2?2??3????1????3??0

则?1??1,?2?3。记D??1?2????21?，则 ??E?D???12??1?2?4??22??1???2??3????1????3??0

则?1??1,?2?3

正、负惯性指数相同，故选?D?

（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ?A?

F2?x?.

?B? F?x?F?y?.

?C? 1??2?1?F?x???.

?D?

??1?F?x?????1?F?y???.

解：?A?

F?Z??P?Z?z??P?max?X,Y??z??P?X?z?P?Y?z??F?z?F?z??F2?z?

（8）随机变量X?N?0,1?，Y?N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）

?A? P?Y??2X?1??1.

?B?P?Y?2X?1??1. ?C?P?Y??2X?1??1.

?D?P?Y?2X?1??1.

解：选D. 用排除法

设Y?aX?b，由?XY?1，知道X,Y正相关，得a?0，排除（A）（C） 由X~N(0,1),Y~N(1,4)，得

EX?0,EY?1,E(Y)?E(aX?b)?aEX?b 1?a?0?b, b?1

排除（C）

故选择（D）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

- 32 -

） ?x2?1,x?c（9）设函数f(x)???2在(??,??)内连续，则c? . ?x,x?c?解：1

由limf?x??limf?x??c2?1?21

x?c?x?c?c?c?3（10）函数f??1?x?x22?xx??1?x4，求积分?2f???x?dx? .

解：

12ln3

1?x1f?1?x?x??x ?x??x?1?2x2?x2??1??x?x???2所以f?t??tt2?2

?22222f?x?dx??x2x2?2dx?122ln?x?2?22?122?ln6?ln2??12ln3

（11）??(x2?y)dxdy??????????????????.其中D:x2?y2?1

D解：

?2

??(x2?y)dxdy???x2dxdy?121

DD2???x2?y?dxdy?102?rdr?1D2?2?r21?0?2（12）微分方程xy??y?0,y(1)?1,求方程的特解y??????????????????. 解：y?1x

由dy?ydydxdx?1x,?y?x,?lny?lnx所以y?x，又y(1)?1，所以y?1x.

（13）设3阶矩阵A的特征值1，2，2，4A?1?E? ?????????????????. 解：A的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵P，使得

?1?

P?1AP???2??1?1?1????B,A?PBP,A?PBP1， ?2??4A?1?E?4PB?1P?1?E?4PB?1P?1?PEP?1?P4B?1?EP?1?4B?1?E因

- 33 -

B?1??1???????12??3??，则4B?1?E??1??2?211?3（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则

P?X?EX???????????????????.

解：

12e?1

因为 DX?EX2?(EX)2，所以 EX2?2，X 服从参数为1的泊松分布， 所以 P?X?2??12e?1

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分）

求极限lim1x2x?0lnsinxx.

sinx??ln1??1?? 2xx??2解： lim1x2x?0lnsinxx?lim?lim1x?0?limsinx?xx3cosx?13xx?0x?0??limsinx6xx?0??16

(16) （本题满分10分）

设z?2（x,y是由方程x?y?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时），

22求dz

（2）记u?x,y??解：

①2xdx?2ydy?dz????x?y?z???dx?dy?dz?????1?dz??????2x?dx??????2y?dy

??z?z??u?. ??，求

x?y??x?y??x1dz??????2x?dx??????2y?dy???1??????1?

②

u?x,y??????????????????????????11x?y1x?yx?y?x(?(?z??z?y)??????2y)

????2x???1?2y?2x???12???1???1 - 34 -

?2???(1??z?2x???)

?u?x)2???(11??????(1????2x???)??(1?2x)?x?????1?2??????1?2??2????1?3??2?????1?3

(17) （本题满分10分）

f?x?是周期为2的连续函数，

（1）证明对任意实数都有?t?2tf?x?dx??20f?x?dx

（2）证明g?x???x?20??2f?t???t?tf?s?ds???dt是周期为2的周期函数．

解：

解：（1）对于?t?2tf?x?dx，令x?2?u，则?t?2?dx??ttf?x0f?2?u?du

因为f?x?的周期为2，所以?t?22f?x?dx??t0f?x?dx

所以?t?2tf?x?dx??02?22tf?x?dx??0f?x?dx??t2f?x?dx??0f?x?dx

（2）g?x?2???x?2?20??2f?t???t?tf?s?ds???dt

??x??2?220??2f?t???ttf?s?ds??dt????xx??2f?t???t?tf?s?ds???dt

?g?x???x?2?t?2x??2f?t???tf?s?ds???dt

?g?x??2?x?2t?2xf?t?dt??x?2x?tf?s?dsdt

因为?t?2tf?x?dx??20f?x?dx

所以?x?2x?t?2tf?s?dsdt??x?22x?0f?s?dsdt

x?2?t??2?20f?s?ds?2?x0f?s?ds

2?x?2xf?x?dx?2?20f?x?dx

所以g?x?2??g?x??2?2f?t?dt?2?200f?s?ds?g?x? 所以g?x?是周期为2的周期函数 (18) （本题满分10分）

求二重积分??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}

D解：??max?xy,1?dxdy

D - 35 -

?

?1121dx?xydy?1x?21dx?1dy

x1?21y??1x??22??1x1??dx?????211??1???dx

x????11221??1 x??dx?x?lnx???212??2x?x?1???22?2x11??dx?1?ln2 ?12?11x???lnx??22??2?1?ln2

12?????11111??1??ln????1?ln24?2244?4??1212ln2?116?1?ln2

1316ln2(19) （本题满分10分）

已知连续复利为0.05，现存入a万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第n年取出10+9n万元，问a至少为多少时，可以一直取下去？ 解：由题得 a?19e??0.05?28e???0.05?2????(10?9n)e?0.05n?0.05n?? ?10?en?1?0.05n?9nen?1?

?10e?0.05?0.051?e?9nen?1?0.05nx?0.05n?设f(x)??9nen?1

两边求积分

?x0?f(t)dt??n?19n?e0?x??0.05ntdt??n?19n(1?0.05ne?0.05nx?1?0.05n)

?180?en?1?0.05nx?180由x?0，?f(x)dx?180(1?0xe?0.05x?0.05x1?e)

对上式两边求导f(x)?180

0.05e(1?e?0.05x?0.05x)2?9e?0.05x?0.05x(1?e)2

- 36 -

?令x?1，则f(x)?

?9nen?1?0.05n?f(1)?9e?0.05?0.05(1?e)2

?a?10e?0.05?0.051?e?9e?0.05?0.05(1?e)2?19e?0.05?10e?0.05?0.1(1?e)2?3794.29

所以a至少应为3795.

(20) （本题满分11分）

?2a?2a设矩阵A??12a???T?，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x1,?,xn?， B??1,0,?,0?，????1??a22a??n?n（1）求证A??n?1?an

（2）a为何值，方程组有唯一解 （3）a为何值，方程组有无穷多解 解：①

2a12a1a22a103a21A?a22a?????a22a??????1??1a22aa22a2a103a21??????04a3??2a?3a2?4a3??(n?1)an?(n?1)an?????10(n?1)an

②方程组有唯一解

由Ax?B，知A?0，又A?(n?1)an，故a?0。

记A?An?n，由克莱姆法则知，

- 37 -

1 12aa22a12a??????a212aa20a???????????12a?A(n?1)?(n?1)An?n?212a??????a212a(n?1)?(n?1)x1?A1A?2aa212aa22aa212aa212a??????12a?????? 11a22a?1????nan(n?1)an?n(n?1)a③方程组有无穷多解 由A?0，有a?0，则

?011???010???A|B????0??? ?01?????00??故r?A|B??r?A??n?1

?x2?0?Ax?0的同解方程组为?x3?0?，则基础解系为k?1,0,0,?,0?T，k为任意常数。????xn?0又

?01??0??1?????01??1?????0?????0?0???0?， ?01?????????????0????0?????0???0????1?故可取特解为???0?

???????0??a22a- 38 -

?1??0?????01????所以Ax?B的通解为k?0???0?,k为任意常数。 ???????????0??0?????

（21）（本题满分11分）

设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量a3满足Aa3?a2?a3，

证明（1）a1,a2,a3线性无关； （2）令P??a1,a2,a3?，求P?1AP.

解：（1）假设?1,?2,?3线性相关，则?3可由?1,?2线性表出，不妨设?3?l1?1?l2?2，其中l1,l2不全为零（若l1,l2同时为0，则?3为0，由A?3??2??3可知?2?0）

?A?1???1,A?2??2

?A?3??2??3??2?l1?1?l2?2

又A?3?A(l1?1?l2?2)??l1?1?l2?2

??l1?1?l2?2??2?l1?1?l2?2，整理得：2l1?1??2?0

则?1,?2线性相关，矛盾（因为?1,?2分别属于不同特征值得特征向量，故?1,?2线性无关）. 故：?1,?2,?3线性无关.

（2）记P?(?1,?2,?3),则P可逆，A(?1,?2,?3)?(A?1,A?2,A?3) ??1??(??1,?2,?2??3)?(?1,?2,?3)0??0???1?即：AP?P?0?0?0100??1 ?1??0100??1 ?1??

??1??1?PAP??0?0?0100??1. ?1??

（22）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P?X?i??

13?i??1,0,1?，Y的概率密度为

- 39 -

?10?y?1，记Z?X?Y fY?y????0其它

（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度． 解：1.

1F(z)??1??3???1(z?1) 1dy?0?0??3zP(z?12X?0)?P(X?Y?12X?0)?P(Y?121)??201dy?12

2. 当z?2时，F(z)?1 当z??1时，F(z)?0

当?1?z?2时，F(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)

?P(X?Y?zX??1)?P(X??1)?P(X?Y?zX?0)?P(X?0)?P(X?Y?zX?1)?P(X ?13?P(Y1?z?1)?P(Y?z)?P(Y?z?? 1)z?10当?1?z?0时，F(z)?当0?z?1时，F(z)??31dy?13(z?1)

z1?11??1dy?0??(z?1)

?0??33?z?11?11?1??1dy??(z?1) 当1?z?2时，F(z)??0??33?z ? ? 1?0 ?1??1?,?1?z?2所以 F(z)??(z?1) ? ? ?z1，则f2(z)??33??0,其它?1 ? z2??

（23） （本题满分11分）

X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记X?21n?ni?1Xi，

S?2?n?1i?11n2(Xi?X)，T?X2?1nS

2 （1）证 T是?的无偏估计量. （2）当??0,??1时 ，求DT.

- 40 -

2

解：(1)E(T)?E(X?

21nS)?EX22?E(21nS)?EX22?1n2?

因为：X?N(?,?), X?N(?,1n222?n),而 EX22?DX?(EX)?1n22???

E(T)?????1n?2??,所以 T是?的无偏估计

422(2) D(T)?ET?(ET),E(T)?0, ET?E(X?2222nX?S?22Sn42)

因为 X?N(0,)

n1X1n )?N(0,1令X?X1n E?X?4??????x42?e?x22dx??????3x22?e?x22dx?3EX2?3

所以 EX

?4?3n22

2 E(2nX?S)?2nEX?ES22?2n(DX?(EX))

2212(?0)?2 nnnE(Sn442)?1n2ES

4ES?DS?(ES)?DS?1

2222因为 W?(n?1S)2?2 且???(n?1)2222?1

DW?(n?1)DS?2(n?1)

DS?22(n?1)3n2,ES4?22(n?1)?1?n?1n?1

所以 ET?

2?n?21n?1? 2nn?12009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

- 41 -

（1）函数f(x)?x?x3

sin?x的可去间断点的个数为：（ ）?A?.

1

?B?. 2 ?C?.

3

?D?.无穷多个

（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则（ ）

?A?.a?1，b??16 ?B?. a?1，b?16 ?C?.a??1，b??1

?D?.a??1，b?166

（3）使不等式?xsint ）

1tdt?lnx成立的x的范围是（?A?.

(0,1)

?B?.(1,?2) ?C?.(?2,?)

?D?.(?,??)

（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

f(x)O -2 0 -1 1 2 3 x

则函数F?x???x）

0f?t?dt的图形为（ f(x)f(x)1 1 -2 0 1 2 3 x

-2 0 1 2 3 x

?A?.

-1 ?B?.

-1 f(x)f(x)1 1 -1 0 1 2 3 x

-2 0 1 2 3 x

?C?.

?D?.

-1

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?0（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3则分块矩阵 ??B

?*A??的伴随0?矩阵为（ ） ?0.A???*?2A?0?C?.?*?2B*3B?? 0?*3A?? 0?

?0 ?B?. ?*?3A*2B?? 0?*2A?? 0?

?0?D?.?*?3B（6）设A,P均为3

阶矩阵，PT?1?T为P的转置矩阵，且PAP?0??0?T0100??0，若?2??P?(?1?,2?,3Q)?,???(??12,，则,QAQ) 为（ ） 2?2??A?.?1?0??2??C?.?0?0?1100100??0 ?2??0??0 ?2??

?1? ?B?. 1??0??1? ?D?.?0?0?1200200??0 ?2??0??0?2??

（7）设事件A与事件B互不相容，则（ ）

?A?.P(AB)?0

?B?. P(AB)?P(A)P(B)

?C?.P(A)?1?P(B) ?D?.P(A?B)?1

12（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y?0}?P{Y?1}?记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数Fz(Z)的间断点个数为（ ）

，

?A?.

0

?B?. 1 ?C?.

2

?D?. 3

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx2x?03? .

1?x?1yx（10）设z?(x?e)，则

?z?x(1,0)?

?（11）幂级数?n?1e?(?1)n2nnx的收敛半径为

n（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元

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?3?TTT（13）设,，若矩阵相似于0????(1,1,1)??(1,0,k) ??0?0000??0，则k? ?0??2 (14)设X1，X2,?Xn是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S2，则ET? 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值。

1?xx（16）（本题满分10 分） 计算不定积分?ln(1?（17）（本题满分10 分）

)dx (x?0)

22计算二重积分??(x?y)dxdy，其中D??(x,y)(x?1)?(y?1)?2,y?x?.

??D（18）（本题满分11 分）

①证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,f(b)?f(a)?f?(?)b??a.

''b?上连续，在?a,b?上可导，则???a,b?，得证

f(x)?A，则f?'(0)存在，且??0)内可导，且lim②证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,??,(?x?0f'?(0)?A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线y?f(x)，其中y?f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的?t倍，求该曲线方程。 （20）（本题满分11 分） ?1?设A=??1?0??11?4?1???1????1,?1?1 ???????2???2?2①求满足A?2??1，A?3??1的所有向量?2，?3.

②对①中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3线性无关。 （21）（本题满分11 分）

222设二次型f(x1,x2,x3)?ax1?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3

①求二次型f的矩阵的所有特征值。

22②若二次型f(x1,x2,x3)的规范型为y1?y1，求a的值。

（22）（本题满分11 分）

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?e?x设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? ?00?y?x其他

①求条件概率密度fYX(yx)

②求条件概率P???X?1Y?1??

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求P??X?1Z?0??.

②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

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2010年全国研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）若lim1?1x??(?a)e?1，则a等于（C） ?x?x??（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

1?e1?1?1x?xx?【解析】lim=lim?(?a)e?lim(1?e)?ae??x?0xx?0?xx?0?xx????x?alime??1?a?1，因此a=2

x?0x（2）设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'?p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，

?使?y1??y2是该方程的解，1122?y1??y2是该方程对应的齐次方1122程的解，则（A）

（Ａ）?＝，?＝， （Ｂ）?＝－，?＝－， （Ｃ）?＝

23，?＝

13 （Ｄ）?＝

?23，?＝

?23

【解析】根据已知有?y1?y1p(x)?q(x),?y2?y2p(x)?q(x)。于是将?y1??y2和?y1??y2分别代入方程左边得

(?y1??y2)??+p(x)(?y1??y2)?(???)q(x) (?y1??y2)??+p(x)(?y1??y2)?(???)q(x)

?y1??y2为方程解?????1，?y1??y2为齐次方程解?????，解得????12

（３）设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g??(x)?0，若g(x0)?a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是（B）

（Ａ）f?(a)＜０ （Ｂ）f?(a)＞０ （Ｃ）f??(a)＜０ （Ｄ）f??(a)＞０

【解析】根据已知得g?(x0)?0，g??(x0)?0。因此

[f(g(x))?][f(g(x))?]x?x0=f?(g(x0))g?(x0)?0，故要想x0为f(g(x))的极大值点，只需[f(g(x))?]x?x0<0即可。即

x?x02=f?(g(x0))[g?(x0)]?f?(g(a))g??(x0)?0。因此只需f?(a)?0

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x（４）设f(x)＝ln

10x，g(x)＝x，h(x)?e10，则当x充分大时有（C）

（Ａ）g(x)＜h(x)＜f(x)， （Ｂ）h(x)＜g(x)＜f(x) （Ｃ）f(x)＜g(x)＜h(x) （Ｄ）g(x)＜f(x)＜h(x)

g(x)h(x)g?(x)h?(x)1ex/10【解析】limx??=lim==0，

x??1010r?slimf(x)g(x)x??10=lim(10f(x))?(10x??g(x))?=lim(lnx)?10x??x?=lim10x?x??10=0，所以f(x)＜g(x)＜h(x)

（５）设向量组?：?1,?2,?,?r可由向量组Ⅱ：?1,?2,?,?s，线性表示，下列命题正确的是（A） （Ａ）若向量组?线性无关，则r?s （Ｂ）若向量组?线性相关，则r＞s （Ｃ）若向量组Ⅱ线性无关，则r?s

（Ｄ）若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s

【解析】如果r＞s则向量组?一定线性相关。选项B、D反例：向量组?为（1,0）、（2,0），向量组Ⅱ也为（1,0）、（2,0）。选项C反例向量组?为（1,0）、（2,0），向量组Ⅱ也为（1,0）

（６）设Ａ为４阶实对称矩阵，且A2＋A＝０，若A的秩为３，则A相似于（D） ?1??（Ａ）?????1??（C）??????1???? （Ｂ）??????0?????1???? （Ｄ）??????0?????? ?0?????? ?0??111?1?1?1?1?12【解析】根据已知，方阵A的特征值应满足????0，即??0或-1。又r(A)?3因此A的特征值为0和-1。

??1??故A相似于?????1?1???? ?0??

?0,x?0,?1F(x)?,0?x?1，则P?X?1??（C） （７）设随机变量Ｘ的分布函数??2?xx?1?1?e11?1?1(A)0 (B) (C)?e (D)1?e

2211?1?1【解析】P(X?1)?F(1)?F(1?0)?1?e???e

22

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（8）设f1(x)的标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若

?af1(x)?f(x)??bf2(x)x?0x?0（a>0, b>0）为概率密度，则a，b应满足（A）

（A）2a+3b=4 （B）3a+2b=4 （C）a+b=1 （D）a+b=2 【解析】根据密度函数的性质，1???0???f(x)dx=?af1(x)dx+?????0bf2(x)dx=

a2?3b4，因此2a+3b=4

二、填空题：第9~14小题，每小题4分，共24分。 （9）设可导函数y?y(x)由方程?【解析】?e?(x?y)2x?ye?t20dt=?xsintdt确定，则

0x2dydxx?0=

x?ye?t20dt=?xsintdt两边对x求导得

0x0x222(1?y?)=?xsintdt?xsinx.

2?y代入x?0得e(1?y?x?0)?0?1?y?x?0?y?x?0=?1

（10）设位于曲线y?空间区域的体积为 【解析】体积V?

（11）设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p3，其中p为价格，且R(1)?1，则R(p)=

?R?PPR31x(1?ln2(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得x)?????ydx=?2???x(1?ln2?x)dx=???t?e(1?t)21edt=?arctantt??1=

?24

【解析】由已知条件有??1?P，即

R?(P)RP3?1?pp3=

1P?P，两边同时积分有lnR?lnP?2P33?C1，

3即ln

RP?P33?C1所以有

RPP3?Ce3R?CPe3，再由条件R(1)?1，代入，得C=e?13P?1，所以R(p)=pe3

（12）若曲线y?x?ax?bx?1有拐点（-1,0），则b=

?o，y????1?a?b?1?0?o，其中y???6x?2a。于是得到方程?，解得

?6?2a?0?32【解析】根据条件得ya?b?3

x?1x??1

（13）设A，B为3阶矩阵，且A?3，B=2，A?1?B?2，则A?B?1? 【解析】因为A?B

?1?A(A?1?B)B?1，所以A?B?1?AA?1?BB?1=3

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14）设X,X,?X是来自总体N(?,?)(??0)的简单随机样本，记统计量T?（12n21nn?i?12Xi，则ET=

【解析】EX2i?DXi?(EXi)??22??，因此ET=E21n?ni?1X2i=

1n?ni?1EX2i=

1nn(?2??)=(?222??)

三、解答题：第15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）

11求极限lim(xx?1)lnx

x???1【解析】limxx=limx???lnxxx???L?Plim1xx????0

1x???lim(xx?1)??1

lim1lnx?0

110x????lim(xx?1)lnx=(?1)=1

x???

（16）（本题满分10分）

计算二重积分??(x?y)dxdy其中D由曲线x?D31?y2与直线x?2y?0及x?2y?0围成

【解析】该区域D关于x轴对称，令区域D在第一象限的区域为D1

??D10(x?y)dxdyy?12y23=

2??D(x?3xy?3xy322?y)dxdy3=

??D(x?3xy)dxdy32=2

??(xD13?3xy)dxdy2=

??(x?3xy)dxdy则有

13??D(x?y)dxdy=2?(03x44?32xy)22y?12y2dy=2?(?019x44?2y?214)dy=2(?9y520?23y?314y)01=

1415

（17）（本题满分10分）

求函数u?xy?2yz在约束条件x?y?z?10下的最大值和最小值 【解析】令u?f(x,y,z)?xy?2yz，?(x,y,z)?x?y?z?10 构造辅助函数F(x,y,z,?)?f(x,y,z)??(x?y?z?10)， 解下列方程组：

?F?x222222222=

?f?x+????x=0

- 49 -

?F ?y=

?f?y?f?z+????y???z=0

?F?z?F??=+?=0

=?(x,y,z)?0

52解得当??时点(?1,5,?2)和点(1,?5,2)

???52时点(1,5,2)和点(?1,?5,?2)

将得到的4个点代入u?f(x,y,z)?xy?2yz中可得：

u?f(?1,5,?2)=55，u?f(1,?5,2)=?55 u?f(1,5,2)=55，u?f(?1,?5,?2)=55

可知函数在条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值分别为55、?55 （18）（本题满分10分）

n（Ⅰ）比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由；

n0110（Ⅱ）记un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun

nn??【解析】（Ⅰ）由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函数在区域内的大小即可，即比较lnt?ln(1?t)?和tlnt的大小

nn在（0,1）区间上lnt<0所以上边两式变为

f1?(?lnt)?ln(1?t)?，f2?(?lnt)t

nn令f?(?lnt)?ln(1?t)?(?lnt)t1nnn=(1ln(1?t)tn)

1n?1n??1n?1n（Ⅱ）因为?tlntdt=??tlntdt=?00?10lntdt=?1n?1tn?1lnt10+

1n?1?1n?10tdlnt

又因为limtt?0n?1lnt=limnlntt?(n?1)t?0=0，所以lim?0tlntdt=0

nlimn???10lnt?ln(1?t)?dt?0

由夹逼定理可知0=lim所以limn???10ntlntdt?limnn???10lnt?ln(1?t)?dt?0

nn???10lnt?ln(1?t)?dt=0

（19）（本题满分11分）

设函数f(x)在[0,3]内连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2f(0)??20f(x)dx?f(2)?f(3)。

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