2018年浙江省中考数学《第21讲：矩形、菱形与正方形》总复习讲解

第21讲 矩形、菱形与正方形

1．矩形

考试 考试内容 要求 矩形的定有一个角是 的平行四边形叫做矩形． 义 (1)矩形具有平行四边形所有的性质． 矩形的性质 (2)矩形的四个角都是 ，对角线互相平分并且 ． (3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是 ． (1)定义法. 矩形的判(2)有三个角是直角的四边形是矩形． 定 (3) 的平行四边形是矩形． 2.菱形

考试 考试内容 要求 菱形的定有一组 的平行四边形叫做菱形． 义 (1)菱形具有平行四边形所有的性质． (2)菱形的四条边 ，对角线互相 ，并且菱形的性质 每条对角线平分一组对角． c (3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是 ． (4)菱形的面积等于对角线乘积的 ． b c b (1)定义法． 菱形的判(2)四条边 的四边形是菱形． 定 (3)对角线 的平行四边形是菱形． 3.正方形

考试 考试内容 要求 正方形 的定义 有一组邻边 ，并且有一个角是_______________的平b 行四边形叫做正方形． (1)正方形的四条边 ，四个角都是 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组对角，正方形 具有矩形和菱形的所有性质． 的性质 (2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_____________条，对称中心是对角线的交点． (1)有一组邻边相等的____________________是正方形. 正方形 (2)有一个角是直角的 是正方形． 的判定 (3)对角线 的四边形是正方形． 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

c

考试 考试内容 要求 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩基本 形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互方法 相垂直(即菱形)． c

1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________________．

2．(2016·衢州)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．

(2)连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：

(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：

(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．

(3)如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积1

是S＝a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例

2

来说明．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．

类型一 矩形的性质与判定

例1 (1)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD

(2)如图，在矩形ABCD中，有以下结论：

①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形；⑥AC所在直线为对称轴；⑦矩形ABCD的周长是28，点

E是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．

【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．

1．(1)(2015·南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大

C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变

(2)(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结

EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )

A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE

2．(2017·南京模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.

(1)求证：∠PNM＝2∠CBN； (2)求线段AP的长．

类型二 菱形的性质与判定

例2 (1)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE，

①若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是______． ②若OE＝3，则菱形的周长是________．

③若∠ABC＝60°，周长是16，则菱形的面积是________．

(2)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是( )

A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④ 【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．

3．(1)(2015·黔东南州)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝( )

2412

A. B. C．12 D．24 55(2)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：

①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；

从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____________________(只填写序号)．

(3) (2016·梅州)如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交1

AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连结AP

2并延长交BC于点E，连结EF.

①四边形ABEF是____________________；(选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)

②AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为____________________，∠ABC＝____________________°.(直接填写结果)

4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

类型三 正方形的性质与判定

例3 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连结DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.

【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

5．(1)(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

(2)如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )

A．2 B．3 C．22 D．23

(3) (2015·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于____________________度．

6．(2017·绍兴模拟)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.

(1)求证：BF＝DF；

(2)连结CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程)．

类型四 特殊平行四边形的综合运用

例4 (2016·临沂)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG，FC.

(1)请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从

而求证出平行四边形．

7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC.其中正确结论的序号是____________________．

8．(2016·荆州)如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连结EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

【课本改变题】

教材母题－－浙教版八下第147页，作业题第5题

(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF；

(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长；

(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；

②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示)．

【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形．

【由于思维定势，对问题考虑不全】

若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为________．

参考答案

第21讲 矩形、菱形与正方形

【考点概要】

1．直角 直角 相等 对角线的交点 对角线相等 2.邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半 相等 互相垂直 3.相等 直角 相等 直角 垂直平分 相等 四 矩形 菱形 互相垂直平分且相等 4.两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角

【考题体验】 1．105°或45°

2．

(1)如图，EF为所求直线； (2)四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．

【知识引擎】

【解析】(1)根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．如图

(2)根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．∴填：一组邻边，直角．(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．∴结论正确．证明：S

AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×

正方形ABCD

＝S△

11112

×a×a＝a. 2222

【例题精析】

例1 (1)B；(2)①②③⑤⑦ 例2 (1)①16 ②24 ③83 (2)D

例3 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－AO＝DO，??

CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，?∠AOD＝∠DOF，∴△AOE≌△DOF，∴

??OE＝OF，∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.

例4 (1)FG＝CE，FG∥CE；(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE与△CED∠GHE＝∠DCE，??

中，?∠HGE＝∠DEC，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，

??EG＝DE，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC. (3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBFBF＝CE，??

与△DCE中，?∠FBC＝∠ECD，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，

??BC＝DC，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE.

【变式拓展】 1．(1)C (2)B

2.(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN

＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN； (2)连结AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN＝2，设AP＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x1010＝，所以AP＝. 33

3.(1)A (2)③ (3)①菱形 ②103 120

4. (1)略； (2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为23，∴菱形的面积为4×23＝83.

5. (1)B (2)C (3)65

6. (1)只要证明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF； (2)∵BF＝DF，∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶2AE＝

7.①②④⑤

8.当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形，∵四边形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EA′D＝∠C′EF，??

∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中?A′D＝EF，∴△A′DE≌△EFC′.

??∠A′DE＝∠EFC′，

【热点题型】

【分析与解】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF. (2)如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4. (3)①8 ②4n.

22

，∴BE∶CF＝. 22

【错误警示】由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形：

∴BM＝512

2或5

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