水文时间序列的混沌性分析及预测研究（毕业设计）

目 录

摘 要： .............................................................................................................................. 2 第一章 绪论 ...................................................................................................................... 1

1.1研究背景 ............................................................................................................. 1 1.2水文时间序列研究现状 ..................................................................................... 2 1.3混沌理论 ............................................................................................................. 3 1.4本文研究内容和方法 ......................................................................................... 4 第二章 重构水文系统相空 .............................................................................................. 7

2.1重构相空间理论 ................................................................................................. 7 2.2水文系统重构延迟时间的确定 ......................................................................... 7 2.3水文系统重构嵌入维数的确定 ....................................................................... 11 第三章 水文时间序列的混沌性识别 ............................................................................ 13

3.1功率谱方法 ....................................................................................................... 13 3.2主分量分析法 ................................................................................................... 15 3.3庞加莱截面法 ................................................................................................... 16 3.4李雅普诺夫指数法 ........................................................................................... 16 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测 ............................................................ 18

4.1 Volterra泛函级数 ......................................................................................... 18 4.2水文混沌时间序列Volterra自适应模型 ..................................................... 18 4.3 Volterra滤波器自适应算法 ......................................................................... 19 4.4水文混沌时间序列Volterra自适应模型算法及实现 ................................. 20 4.5水文混沌时间序列Volterra自适应预测 ..................................................... 21 第五章 水文混沌时间序列的RBF预测 ........................................................................ 23

5.1RBF神经网络结构模型 ..................................................................................... 23 5.2RBF神经网络的学习算法 ................................................................................. 23 5.3水文时间序列的RBF预测 ................................................................................ 24 第六章 总结与展望 ........................................................................................................ 26

6.1 总结 .................................................................................................................. 26 6.2展望 ................................................................................................................... 26 参考文献 .......................................................................................................................... 27 附录： .............................................................................................................................. 29 致谢 .................................................................................................................................. 43

水文时间序列的混沌特性及预测研究

作者：侯琪武 专业班级：热动101 指导教师：王斌

摘 要：作为现代水文预测领域的一个重要分支，水文非线性时间序列的预测受到国内外专家的

青睐。为了丰富水文非线性系统的分析方法和理论，本文首先提出了两种水文预测模型，一种是Volterra滤波器自适应预测模型，另一种是径向基函数神经网络预测模型。利用这两种模型进行水文预测首先需要重构相空间，并进行混沌性识别，通过理论推导和数值模拟相结合的方法，得到了lorenz系统重构相空间的两个重要参数，其中延迟时间为10，嵌入维数为4。并利用庞加莱截面法和李雅普诺夫指数法等方法对lorenz系统进行了混沌性识别，证明了该系统是混沌系统。利用Volterra滤波器自适应模型和径向基函数神经网络模型对lorenz系统进行了预测和仿真，取得了良好的效果，预测误差都在允许的范围之内，证明前面所选的参数是合理的。在刚开始的时候预测误差较小，越到后面误差就逐渐增大了，这也印证了混沌系统的特点-对初始条件的敏感依赖性，只能对其进行短期的预测，和理论推导完全吻合。

关键词：水文预测；Volterra；径向基函数；lorenz

Hydrological characteristics of chaotic time series and forecasting

Author: Qi-Wu Hou Supervisor: Bin Wang

Abstract: As the field of modern hydrological forecasting is an important branch of nonlinear time

series forecasting hydrological favored by domestic and foreign experts. In order to enrich the hydrological nonlinear system analysis methods and theories, this paper proposes two hydrological forecasting model, a prediction model is adaptive Volterra filter, the other is a radial basis function neural network prediction model. Both models make use of hydrological forecasting first need reconstruction phase space and chaotic recognition, through theoretical analysis and numerical simulation methods have been two important parameters lorenz system reconstruction phase space, in which the delay time is 10, embedding dimension is 4. And use the Poincare section method and other methods for Lyapunov exponent lorenz chaotic system of identification to prove that the system is chaotic system. Volterra adaptive filter model and the use of radial basis function neural network model to predict lorenz system and simulation, and achieved good results, prediction errors are within the allowable range, proved previously selected parameters are reasonable. In the beginning of the prediction error is smaller, more behind the error gradually increased, which also confirms the characteristics of chaotic systems - sensitive dependence on initial conditions, and the theoretical derivation exactly.

Keywords: hydrological forecasting; Volterra; radial basis function; lorenz

水文时间序列的混沌特性及预测研究 1

第一章 绪论

1.1研究背景

我国是一个人均水资源比较贫乏的国家，人均水资源远远低于世界平均水平，况且水资源分布不均匀，南方水较多，好多地方经常受到暴雨和混水的灾害；北方缺水，人们常常受到干旱的威胁。社会经济的发展面临着许多与洪水、干旱、水资源供给、水资源安全等相关的水文问题。通过水文预测我们可以提前为各种即将发生的水文现象做好准备，有效利用各种资源，防患于未然，减少工农业的损失，为人民的生命安全和社会经济的发展提供最好的保障。因此，提高水文预测的精度，探索水文预测的新思路是我们亟待解决的重要课题。

水文预测就是根据之前已知的或记录在册的水文数据计算和推测出未来一段时间的水文气象信息，最常用的水文气象信息如降水量、蒸发量、流量、水文、气温等观测信息。水文预测的内容包括各种水文气象要素和特征。根据需要预测的水文要素，我们通过收集相关资料，然后建立合适的预测模型和选择相应的预测方法，就可以对需要预测的水文要素做出准确的预测。在预测过程中，我们通过预测模型将各个水文要素的演化规律揭示出来，按照它的演化规律做出恰当和合理的预测，对于不同的预测模型和预测方法，其预测精度不同，可预测的有效时间长度也不同。我们需要做的就是不断探索新方法，建立新模型，提高预测的精度和时间长度，为人民的生产和生活服务。

在以往的水文预测中，人们常常是用一些数理统计的方法和其它一些简单的非线性方法对水文现象做出预测或预报，虽然也取得了一些好的成果，但预测精度往往都不尽如人意，预测误差往往比较大，而且预测周期也比较短。由于水文系统是一个非常复杂的系统，它受到气候、流域、地面因素以及人类生活的影响，表现出时间上的多尺度性、随机性、突变性以及非线性，导致传统的水文研究方法遇到了新的挑战。

在现实生活中，非线性系统存在于我们生活的方方面面，对于水文系统，传统的线性分析方法很难从本质上对水文系统的非线性行为进行描述，而利用非线性方法建立的一些模型可以对其进行更加准确的研究。非线性科学将水文预测提高到了一个更高的水平。经过几十年的发展，人们开始认识到非线性特性才是现实世界的本质，对事物的非线性研究有助于揭示事物的本质运动规律，混沌作为非线性科学的重要组成部分，发展尤为迅速，混沌科学也受到了各个领域的人们的广泛关注。

Volterra自适应预测模型和RBF预测模型是水文非线性预测方面发展较为成熟的两种预测模型。这两种预测模型前面所需要做的都相同，都是先求出时间序列的

2 第一章 绪论

延迟时间和嵌入维数，构建好水文系统相空间的基础上再用两种模型分别预测。Volterra自适应预测模型通过将其水文时间序列展开成Volterra级数模型来使乘法计算转化为求和计算简化计算，以向量的形式输入Volterra滤波器模型后，通过将输出值与期望值进行对比得到预测的误差，它根据误差的大小自动的调整权值的大小，直到预测结果达到预测误差允许的范围内。RBF的基本思想是：用RBF作为隐含层中的细胞单元，在输入层输入向量后，在隐含层中进行RBF变换，使函数变换为径向基函数，将一维的时间序列扩展到高维来进行分析计算，使在低维空间中不能解决的问题通过高维空间轻松的解决，然后在输出层将各隐层单元的值按照其权值求和，即为RBF预测模型的预测值。

1.2水文时间序列研究现状

对于那些平稳的、比较简单的时间序列，用传统的数理统计模型和一些简单的非线性模型就可以得到很好地结果，但是对于一些比较复杂的时间序列，这些模型的预测精度和可预测时间长度都有待于进一步的提高。传统的预测方法虽然都有其各自的优点，但将其应用到水文时间序列的预测中时，这些方法都很难得出较好的结果。直到相空间重构思想的提出，混沌时间序列才进入到了真正的发展时期，这种时间序列预测的新思想是由Packard在1980年提出的，经过几十年的发展，取得了丰硕的成果，也出现了各种各样的预测方法和模型。目前，应用于水文时间序列分析中非方法主要有以下类：

1.2.1随机过程分析方法：它是主要把随机理论及其公式应用到水文学中而形成的一种分析方法，通过构建数学模型来分析水文现象随机变化的过程，并通过模型仿真来模拟水利工程的需要。今年来依据随机水文学原理结合我国的实际水文情况构造出的水文模型在水文预测方面也取得了满意的结果，并具有一定的优越性，目前常用的模型主要有季节性自回归模型，流域系统模型和散粒噪声模型等，经过多年的发展，积累了大量的经验，就目前看来仍然不失为一种较好的分析方法。

1.2.2信息熵分析方法：自从信息熵应用到水文预防方面，大量的工作者在这方面取得了举世瞩目的成绩。目前在水文预测方面信息熵分析方法应用比较广泛的模型主要有以下几类。第一类是贝叶斯熵模型，它是将最大熵原理应用到贝叶斯模型上形成的。第二类是根据熵极小极大方法改进的；第三类是基于谱分析的熵模型。熵模型和方法演化至今还具有很多的不完善之处，需要更多的工作者在这方面做出努力。

1.2.3模糊数学分析方法：模糊数学是一种分析和处理不确定性问题的一种新方法，它是运用数学方法处理模糊问题的一种新方法。第一次将模糊数学提出来的是L.A.Zadel教授，他是美国数学家，自从1956年提出至今，历经几十年的发展，取得了丰硕的成果。已被不同领域的专家和学者应用到了不同的地方，在一定程度上扩

水文时间序列的混沌特性及预测研究 3

展了数学的应用范围。其主要的研究成果有模糊控制、模糊识别、人工智能等。

1.2.4遗传算法：遗传算法是1975年被提出发展至今，它的首次提出是由美国科学家提出的，它应用自然界生物遗传的进化理论，通过模拟达尔文的生物进化论，应用优胜劣汰，适者生存的自然进化规律，通过概率化的寻优方法，第一次如此清晰的将遗传算法的概念呈现在人们面前。它能够自适应的调整寻优方向，具有良好的全局优化能力。由于遗传算法没有确定的规则的限制，没有函数求导和连续性的限制，在很多方面具有别的方法所不具备的优点，经常被用来进行参数的优化和非线性系统的识别。

1.2.5人工神经网络：人工神经网络是以大脑的运动方式为基础，利用大脑的某些机制实现某一方面的功能。人工神经网络的雏形是感知器模型，由科学家Rosenblatt在1957年建立并提出。但一直以来都没有合适的算法，由于算法这个瓶颈问题，这一思想在此后的三十多年一直没有太大的发展，直到八十年代末，许多专家学者发现了比较适合神经网络的算法，此后神经网络才得到了迅猛的发展，一直发展至今仍然深受人们的重视。并且已经形成了众多的方法和模型，人工神经网络的优点也日益显现了出来，最具有代表性的研究成果有多层BP算法、自适应共振模型、Hopfield网络模型等。尽管人工神经网络在非线性预测方面取得了较好的结果，但它自身所固有的缺点却也不可忽略，它结构复杂，训练时间长，还会出现局部极小值等问题，所以它的应用也因此而受到了限制。

1.2.6灰色时间序列预测模型：灰色系统理论是由我国科学家提出的，我国的邓聚龙教授1982年提出的。它在解决信息样本小、信息量贫乏的不确定性问题上面有自己独到的优点。它主要是通过对已知的信息的开发去获取有用的信息，认识事物的演化规律。通常将已知量看做是白色量，将未知量看做是灰色量，通过累加或者累减使灰色量白色化，然后建立相应的微分方程，进行求解。灰色理论在实际应用中也有许多的缺陷，部分模型预测精度不高，许多参数在运用时需要修正等问题仍需要我们去解决。

1.3混沌理论

为了更好地解决非线性预测等问题，众多的专家学者通过探索新思路，寻求新方法，终于在二十世纪下半叶混沌理论应运而生。混沌理论被认为是继牛顿的量子力学和爱因斯坦的相对论之后最有影响力的一大理论，甚至被认为比前两者更为伟大，因为混沌理论把有序和无序这两大互不相容的体系第一次结合到了一起，而混沌理论正是这两者结合的产物。本来人们将运动分为定常运动、准周期运动和周期运动这三类，而混沌理论则完全打破了这一传统的定式思维，巧妙的将两者结合起来，是一次范围更广，意义更为重大的物理革命，因为在整个宇宙中，混沌运动分布更广，运动形式更为复杂，大部分物质的运动都是混沌运动。混沌理论发展至今，

4 第一章 绪论

还没有一种完全确定的定义，不同的人给出的定义也不尽相同，但混沌运动的特征和规律却是相同的。一般说来。混沌运动有这几种特征，它是一种貌似随机的不规则运动，而且对初始条件敏感，在某一确定的范围之内做往复运动，回环往复但又永不重复。最终陷入某一固定范围内的空间运动，形成的运动轨迹叫做混沌吸引子。混沌理论的提出为非线性系统的研究提出了新思路、注入了新能量。因为大部分的水文问题都是由诸如气候、地理、人类活动造成的，其运动特征既有确定性的一面又具有随机性的一面。

传统分析方法通常都是用线性的方法或者数理统计的方法来解决生活中遇到的问题，对于那些简单的问题，传统的方法发展至今已经相当成熟，可以很容易的解决，但遇到复杂的问题那些线性或简单的非线性的方法就无能为力了。由于水文时间序列运动规律复杂，一般的方法难以弄清楚它的运动规律，而这就暗示我们，会有一种更好的方法有待于我们去探索，果然混沌理论的发现为非线性水文时间序列的研究指明了方向。

混沌理论发展至今其理论基础已经相当完善，科学家门将混沌理论和非线性理论结合起来形成了一种解决非线性问题的新方法，即非线性时间序列分析。用这种方法可以解决许多别的方法解决不了的问题，随着混沌理论和非线性理论的迅猛发展，在处理许多问题时也形成了许多优秀的模型，利用这些模型进行非线性时间序列分析时可以取得很好的结果。但鉴于混沌理论自身的对初始条件的敏感依赖性，其固有的局限性也是无法忽视的，那就是在非线性预测时可预测的时间长度上会受到限制，这一点在本文最后的两个预测模型中均有体现，在一步预测的时候预测精度比较高，当随着预测步数的增加，精度也就随之降低，误差增大。

在水文预测中应用混沌理论经常需要三步走，第一步是最基础的一步，那就是水文序列相空间重构，是将低维的时间序列转化到高维空间来解决，可以从中获得更多的有用信息，解决问题也更加方便。第二步是水文时间序列的混沌性识别，要用混沌理论解决问题我们首先要知道该序列是否是混沌的，如果是混沌的则可以用混沌理论解决，如果不是则需要别的方法来解决。第三步则是最后的一步，也就是用建好的模型进行预测，最后得出结论。

1.4本文研究内容和方法

水文时间序列的预测一直以来都被看做是水文系统中一个十分重要的研究课题，受到了专家学者的广泛重视，它为水利工程的修建和水资源的合理规划配置有效利用提供依据。由于水文变换受气候流域以及人类活动的影响表现出巨大的时空变异性，其复杂的演化规律使其对水资源的开发和利用带来了很大的不确定性。

对于像水文时间序列这种比较复杂的非线性水文时间序列，用那些简单的线性方法和数理统计的方法是不能比较完整的分析出水文时间序列的运动规律的，更不

水文时间序列的混沌特性及预测研究 5

能对其进行准确的预测了。所以如何才能对对其做出更加准确的预测一直是科学界人们所共同关注的一个难题，因此寻找新思路和新方法来解决水文预测过程中还没有解决的问题以及不断出现的新难题就显得尤为重要了。随着科学技术的发展，一些新的思想脱颖而出，其中非线性科学的发展最为迅猛，混沌理论就是其核心思想。20世纪80年代初非线性时间序列的分析开始被提出并逐渐受到人们的重视，它的基本思想是通过重构时间序列相空间来分析相空间的动力轨道，并将此理论应用到水文预测。本文在混沌理论和非线性预测理论的基础上，深入的研究了Lorenz水文时间序列，并对其进行了预测，本文所用的模型是Volterra自适应模型和径向基函数预测模型。

第一章是绪论。结合我国的水文气象条件简要介绍了水文预测的必要性和探索新方法新理论的必要性。并对国内外关于水文预测方面的进展情况进行了回顾，提出了本文要研究的内容和基本的方法。

第二章讲了相空间重构的意义和相空间重构的方法。之所以要重构相空间就是因为时间序列的混沌性识别和时间序列的预测都要在重构相空间的基础上才能完成。通过重构相空间将低维问题转化到高维空间来解决，通过观察具有代表性的一系列分量的运动规律就可以得到整个系统的运动规律。对于一般的水文时间时间序列，一般都具有明显的季节性和趋势性，所以一般都要先经过平稳化处理之后再进行研究。到目前为止，这种预测方法是否只对平稳时间序列适用还是同样适用于非平稳的时间序列一直都没有一个确定的结论，为了消除不必要的影响，故先进行平稳化处理，本文提到的时间序列也都默认是经平稳化处理过的时间序列。其具体的重构相空间理论在第二章做详细的介绍。

第三章论述了水文时间序列混沌性识别的一些常用的方法。 常用的识别混沌的方法一般分为两类，一类是定性方法，主要有功率谱分析法和相图法；另一类分析方法是定量法，主要通过分析吸引子具有有正的李雅普诺夫指数、正的Kolmogorov熵、分形维数等。本文限于自己的学习能力，仅仅用相对比较熟悉的庞加莱截面法和李雅普诺夫指数法对洛伦兹时间序列进行了混沌识别。在第三章会详细介绍这两种方法如何对时间序列进行混沌性识别。

第四章用Voloterra自适应模型进行了水文预测，Volterra泛函级数能够描述具有记忆功能和响应的非线性系统，它能以任意精度逼近连续函数，它根据当前获得的数据和预测误差来及时的修正模型的参数，从而使系统获得最优的预测结果。并以Lorenz系统为例进行了仿真预测，通过滤波器用最小均方自适应算法获得Voloterra自适应模型的最优参数，然后进行Matlab仿真，获得其一步预测和多步预测的仿真图，通过观察预测仿真图，证明前面所求得的延迟时间和嵌入维数是有效的，预测结果可行且有效。

第五章是用水文预测的另一类模型，即径向基函数神经网络模型进行了预测，

6 第一章 绪论

径向基函数神经网络模型是神经网络模型的一种，也是由三层结构构成的，输入层、输出层和隐含层。径向基函数神经网络是一种前馈型神经网络，是根据人脑细胞对外界刺激做出反映的原理工作的，它具有学习速度快，逼近能力强的特点，在非线性预测方面具有很大的优点。本章详细分析了RBF预测模型的结构以及学习算法。并且仍然以洛伦兹系统为例，用RBF模型对其进行了预测，通过观察拟合曲线分析其误差，发现用RBF进行预测的时候一步预测效果良好，当多步预测的时候随着预测步数的增加误差会增大，但仍然在误差要求的范围内。

第六章对全文的工作进行了总结。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 7

第二章 重构水文系统相空

2.1重构相空间理论

重构相空间的目的就是为了将低维时间序列转化到高维空间里，使得我们在低维空间内看不到的信息在高维空间里表现出来。通过重构相空间，我们可以在高维空间中得到时间序列的混沌吸引子，通过研究混沌吸引子的运动规律我们就可以得到系统的运动规律。在混沌系统中，每一个分量的运动都与其它的分量息息相关,每一个分量的运行规律也都是由其它分量的运动所构成的，体现着每一个分量的运动特征，所以我们只需要研究某一个或某几个分量在多维空间中的运动规律就可以分析出系统的运动规律和特征。

现在假设某一个水文时间序列｛x(t)，t=1,2??n｝，设它的延迟时间为τ，嵌入维数为m，则将其扩展到高维空间中，其相型分布如下：

x(1) x(2+) x(i) x(n-（m-1）τ) x(1＋τ) x(2＋τ) x(i＋τ) x(n-（m-2）τ) x(1＋2τ) x(2＋2τ) x(i＋2τ) x(n-（m-3）τ) 错误！未找到引用源。 用源。

x(1＋(m-1)τ) x(2＋(m-1)τ) x(i＋(m-1)τ) x(n) X(1) X(2) X(i) X(N) 式中每一列构成相空间中的一个相点，每一列的n-（m-1）τ个相点连接在一起就是该相点的演化轨迹图。本章重点要解决的问题就是延迟时间和嵌入维数的合理选择，它们两个参数的值既不能太大也不能过小。

错误！未找到引

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

2.2水文系统重构延迟时间的确定

延迟时间的选择影响着后续的整个预测结果，其值的大小要有合适的范围，太大或太小都会对结果造成不良影响。如果选的过小则相邻的两个相点间分离过小无法区分，冗余度偏大，信号轨迹在主轴方向上压缩，重构相空间的样点所包含的信息量偏小，不能将有效的信息充分展现出来。如果延迟时间选择的太大的话，则相邻两个样点间的距离过大，两个样点间几乎没有相关性，样本信息量丢失，相轨迹出现重叠。目前，可以用多种方法计算延迟时间，如自相关法、复自相关法、平均位移法和互信息法等，但每种方法都有各自的优缺点，用不同的方法计算出来的结果也可能有差别，带有较强的主观性，因此在计算过程中，尽量选择两种和两种

8 第二章 重构水文系统相空间

方法以上计算再取平均值，这样可以降低人为主观性带来的误差。

2.2.1自相关法求时延

自相关函数法求时延是一种常用的求延迟时间的方法，经过几十年的演化和发展已经相当成熟了。它主要是利用时间序列的线性相关性来求延迟时间。对于某一个混沌时间序列，如果我们知道它的自相关函数就可以求延迟时间，首先以时间t为横坐标，做出自相关函数的函数图象。根据实验结果，一般取自相关函数曲线下降到初始值的1-错误！未找到引用源。倍时所对应的时间t为相应的延迟时间错误！未找到引用源。。

对于连续变量x(t)其自相关函数C(τ)定义为

C(τ)=错误！未找到引用源。

设x（t）的最大值是固定的，则当C(τ)越大时，则表明x(t)与x(t+τ)越相似。又τ越小，则x(t)与x(t+τ)越相似,从而C(τ)越大。反之，τ越大，则x(t)与x(t+τ)的差别可能越来越大，最后以至x(t)与x(t+τ)可能完全无关而C(τ)愈来愈小直至趋于0。

自相关函数的性质：

（1）C(τ)是实偶函数，即 C(τ)= C(-τ)； （2）C(0)是C(τ)的最大值； （3）C(0)等于x(t)的均方值；

（4）若x(t)是周期函数，则C(τ)也是周期函数，此时C(τ)不仅在τ=0处有极大值，而且在nT处都会有极大值；

（5）在有些情况下，运动并不是规则的，但也不是完全随机的，而是如混沌运动和噪声等。设如果x(t)包含有随机过程s(t)和规则运动r(t)两部分，那么有x(t)= s(t)+ r(t)，则x(t)的自相关函数等于这两部分各自的自相关函数之和

错误！未找到引用源。(τ)= 错误！未找到引用源。(τ)+ 错误！未找到引用源。

(τ)

为表示运动频谱特征，常对自相关函数进行傅里叶变换

S(ω)=错误！未找到引用源。dτ C(τ)=错误！未找到引用源。dω

S(ω)性质

（1） S(ω)是频率ω的实偶函数；

（2） S(ω)曲线下的面积等于运动变量x(t)的均方值

错误！未找到引用源。= C(0)=错误！未找到引用源。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 9

（3） S(ω)表示功率谱密度。

某一个随机过程的自相关函数和功率谱密度之间存在着某种关系，若这个随机过程是连续的则构成一对连续的傅里叶变换对，如果这个过程是不连续的，则构成一对不连续的傅里叶变换对。

设错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。?，﹛错误！未找到引用源。是一个混沌时间序列，序列的时间跨度为jτ，则它的自相关函数为

错误！未找到引用源。(jτ)=错误！未找到引用源。

我们可由上式求出j，做出自相关函数关于时间变量t的函数图象，求出函数值下降到初始值的1-错误！未找到引用源。时所对应的时间t，则t即为用自相关函数求得的延迟时间。

图2-1是用自相关法求Lorenz系统的延迟时间的函数图象。

图2-1用自相关法求时延的曲线图

2.2.2平均位移法

平均位移法是用几何方法求相空间延迟时间的一种算法，因为其独特的物理特性受到人们的广泛重视。根据实验结果，首先做出用来度量平均位移法的函数图象，选择函数的斜率第一次下降到其波形的初始斜率的0.4倍以下时的时间t作为其延迟时间。但是这种准则具有一定的随意性，仅根据实验结果得到。

当延迟时间选的比较小的时候，相邻的两个分量没有完全分开，他们被挤压在对角线的方向上，设延迟时间取为τ的时候，相空间中每两个相邻分量之间的平均距离为

错误！未找到引用源。(τ)=错误！未找到引用源。

10 第二章 重构水文系统相空间

=错误！未找到引用源。

随着τ的增加错误！未找到引用源。 (τ)的值会近似沿直线变化，直至达到饱和，通常取达到饱和之前的那点所对应的τ为最佳延迟时间，但经过多年的实验经验，一般取函数曲线斜率下降到初始值的0.4倍时即为最佳延迟时间。这种经验取值往往更能符合计算要求。用平均位移法对Lorenz系统求延迟时间得到最佳延迟时间为9。

2.2.3复自相关法

自相关法是用时间序列间的线性相关性来求延迟时间的，郑重方法虽然简单但具有一定的片面性，它仅仅是排除了相邻的两个点之间的相关性，但别的点之间可能仍然具有较强的相关性。如错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。以

及错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。，他们之间不相关，但却无法保证错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。之间不相关，这一点表明用自相关法求得的延迟时间具有一定的片面性，在较高维的相空间中可能就不能准确的求出其延迟时间了。为了解决这个问题，有人提取了自相关法和平均位移法两者的优点，将两者结合起来，形成了一种新的求延迟时间的方法，即复自相关法。下面是在自相关法和平均位移法的基础上推导复自相关法的过程。

设重构后的相空间嵌入维数为m，则时间序列{错误！未找到引用源。的平均位移为

〈错误！未找到引用源。(τ)〉=错误！未找到引用源。

其中N为总的观察点数目，m为嵌入维数，〈错误！未找到引用源。(τ)〉为平均位移，它表示相空间矢量离开相空间主对角线的距离。忽略边缘点带来的差别，假定0≤j≤m-1，则此时〈错误！未找到引用源。(τ)〉为常数，将其记做

E=错误！未找到引用源。 展开后有

〈错误！未找到引用源。(τ)〉=2（m-1）E-2错误！未找到引用源。(jτ) 其中

是序列{错误！未找到引用源。}的自相关函数，jτ为时间跨度。上式

是将平均位移法和自相关法结合后的关系式，式中体现除出了它们之间的关系。事实上，二维平均位移法的波形和自相关法的波形刚好是相反的。由上式定义

错误！未找到引用源。(τ)=错误！未找到引用源。

故复自相关法的计算方法跟自相关法的计算方法类似，选取错误！未找到引用源。(τ)下降到初始值的1-错误！未找到引用源。时的时间t为时间延迟τ，显然，复自相关法由平均位移法蜕化而来，既具有平均位移法的几何特征，又弥补了自相关法的不足。复自相关法让错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。以及错

水文时间序列的混沌特性及预测研究 11

误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。之间不相关，同时还让错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。之间不相关。由上面的推导过程可以看出，复自相关法具有明确的理论依据，在选取延迟时间时比较可靠。

对于某一个时间序列，我们定义复自相关法为

错误！未找到引用源。(τ)=错误！未找到引用源。—错误！未找到引用源。) 其中为序列求平均后的值，对于大多数时间序列一般都是近似无偏的，因此去偏复自相关法一般都简化为复自相关法。对正常的情况，近似有

错误！未找到引用源。(τ)=错误！未找到引用源。(τ) －(m－1)错误！未找到引用

源。

利用上式，在计算错误！未找到引用源。(τ)的同时计算，得出错误！未找到引用源。(τ)的计算量增加不大。

因此用复自相关法求延迟时间时，通常选取错误！未找到引用源。(τ)的第一个零点为时间延迟τ，和别的求延迟时间的方法相比，复自相关法有以下几点优点：（1）它具有平均位移法在相空间中的几何意义；（2）它的计算过程简单，可在计算过程中节省很多时间；（3）它是自相关法的扩展和补充，兼备自相关法和平均位移法的优点。图2-2是用复自相关法求取Lorenz系统延迟时间的曲线图，由Matlab程序运行求得的延迟时间为11。

图2-2用复自相关法求延迟时间的函数图像

2.3水文系统重构嵌入维数的确定

确定嵌入维数的方法也有很多种，比较常用的有饱和关联维数法、虚假邻近点法、奇异值分解法和填充因子法等。本文用改进的虚假邻近点法求嵌入维数。

改进之前的虚假邻近点法在实际应用中存在很多缺点，例如虚假邻近算法在阀值的取值方面的主观性较强，而且对信号中的噪声比较敏感，会随着噪声的起伏而虚假邻近点的数目也会发生相应的变化，而不出现单调变化。在虚假邻近点法的基

12 第二章 重构水文系统相空间

础上，Cao Liangyue提出了改进的虚假邻近点法，又叫做Cao法，它使用少量的数据就可以求得较好的结果，而且在计算的时候如果知道延迟时间就可以求解。其具体算法如下：

设所有a(i，m)关于i的均值是

a(i，m)=错误！未找到引用源。

定义函数（m）如下

E（m）=错误！未找到引用源。

如果当m大于某一个值时停止变化，则重构相空间的最小嵌入维数即为m+1。但在实际应用中，当m增加时，当（m）增加的比较缓慢时我们很难分辨出它是在缓慢增加还是已经停止变化了，为此Cao定义

错误！未找到引用源。（m）=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。（m）=错误！未找到引用源。

为了使计算更加准确，我们可以同时计算错误！未找到引用源。（m）和错误！未找到引用源。（m）的值来确定最小嵌入维数。图2-3、2-4是曹氏法求嵌入维数的仿真图。

图2-3曹氏法求嵌入维数

水文时间序列的混沌特性及预测研究 13

图2-4曹氏法求嵌入维数

14 第三章 水文时间序列的混沌性识别

第三章 水文时间序列的混沌性识别

在对混沌时间序列预测过程中，我们首先需要去判别该时间序列是否为混沌时间序列，也即是对其进行混沌性识别，在通常情况下，物质的运动分为定常运动、周期运动和准周期运动，而混沌是自然界中存在的介于有序和无序之间的更为广泛的一种运动，它是非线性系统中一种极其复杂的运动状态，始终在某一有限的区域内回环往复，永不重复。混沌时间序列的混沌性的识别方法有很多，目前常用的方法主要有功率谱方法、主分量分析法、庞加莱截面法、李雅普诺夫指数法等，下面将对这些方法进行详细的介绍。

3.1功率谱方法

对于某一时间序列，为了分析其是否具有混沌特性，我们可以测量该时间序列的功率谱，通过分析功率谱就可以得出结论。功率谱是指单位频率上的能量，通过分析功率谱在频率上的分布状况来分析时间序列，是分析时间序列常用的一种工具。频率f与相应的功率函数E（f）之间具有某种指数关系，这种关系已被广泛应用到了物理学中的许多地方。例如，设β为功率谱指数，β=0对应白噪声；β=2对应褐色噪声；0.5＜β＜1.5对应于杂音，这是功率谱与振动数的倒数成正比的摆动的总称。

E(f)=错误！未找到引用源。∝错误！未找到引用源。

故有

E(λf)=错误！未找到引用源。E(f)

1. 谱图若具有单峰或几个峰，则对应于周期或拟周期序列； 2. 若无明显的峰值或峰连成一片，则对应于湍流或混沌序列。

3. 实验中可以直接测量的对象之一，错误！未找到引用源。是时间序列的功率谱。对N个采样值加上周期条件错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，计算自关联函数

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

然后对完成离散傅氏变换，计算傅氏系数

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

直接作快速傅氏变换，得到系数

然后计算错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。的值，将其记做错误！

水文时间序列的混沌特性及预测研究 15

未找到引用源。，用同样的方法求得许多组错误！未找到引用源。的值，将这一组{错误！未找到引用源。}求取平均值，所得到的结果将逐渐趋近于功率谱错误！未找到引用源。。为了使傅里叶变换的算法简化，我们一般将时间序列长度取为2的幂次，如错误！未找到引用源。=1024，这样使计算变得简单也减少了计算机的工作量。

我们将采样间隔时间τ和总采样时间Nτ求取倒数，作为两个特征频率，如下所示

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=Δf=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。在这里表示采样数据过程中所能观察到的最高频率，为了使高频成分更加明显，就需要缩短采样的时间间隔。用错误！未找到引用源。=Δf表示两个相邻的傅里叶系数之间的频率差。

但利用这种离散的采样方法永远难以确定系统的频率结构，由于好多系统具有周期或准周期特性，在离散采样时会出现虚假的高频成分，反射回高频区间，使采样数据发生混乱。但这种混乱的现象却又不能完全消除，只能去减弱，常用的方法就是让错误！未找到引用源。远远的超过系统的主频率错误！未找到引用源。，如令

错误！未找到引用源。=k错误！未找到引用源。

根据经验，一般将k在4到8范围内取值，使高峰和低峰明显的区别开来，然后在采样的时候可以只选取小于错误！未找到引用源。的，这样就可以将假峰带来的混淆现象减弱甚至降低至理想范围内，这种思想叫做分频，分频思想的提出对于混沌识别具有重要的意义，在计算功率谱时就首先必须要能分辨出一定的分频，就是在由若干个点构成的峰中，我们要根据功率谱能确认出它的结构，因此有

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

从上面四个简单的算术关系式中消去τ和错误！未找到引用源。得到

N=2ksp

式中N为既能分变出p分频又能有效的避免混淆现象的最少的样本点数目，如果k取4，s取8，p取32，则为了能避免混淆现象又可以分辨出32分频的样点数目为2048个，至少应采取2048个点来做傅里叶变换，但由于计算机的计算能力有限，通常N由计算机的能力决定。

这样进行功率谱分析之必须做如下工作：

⑴ 对于系统基频和计算能力允许的N，要做到心中有数。

⑵ 给定k，确定采样间隔τ=错误！未找到引用源。。对于实验工作，这就确定了应当选用的模数转换器的频率；对于理论计算，这决定每次迭代几次或积分几步采样一个点，而决不是把所有的迭代点都送去做傅里叶变换。

16 第三章 水文时间序列的混沌性识别

⑶ 为了使频谱效果较好应同时取较大的s和k，但由于计算量较大，超过了计算机的计算能力，所以要么取较大的s而将p取小一些，或者将p取得较大而将s取的较小。在实际应用时我们应视具体情况而定。

⑷ 在原始数据中往往包含有大量的外界干扰因素，或受周期运动的影响会在功率谱中产生大量的假峰，我们应考虑滤波和分频。所以功率谱分析方法是观察分岔或混沌的重要方法。

图3-1是lorenz系统的分岔图。

6050403020100-10-20x050100150200250r300350400450500

图3-1 Lorenz系统分岔图

3.2主分量分析法

主分量分析方法是识别混沌的一种比较新的方法，它是在近几年才提出的，虽然提出至今时间较短，但在识别混沌方面不失为一种好方法。它可以有效的将混沌和噪声区分开来。其具体的算法步骤如下，其中{错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。}是一维时间序列，错误！未找到引用源。为采样间隔，d为嵌入维数，进行相空间重构后形成的线轨迹矩阵如下

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 计算协方差矩阵A为

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

然后计算出协方差矩阵A的特征值(i=1，2，?d)和相应的特征向量(i=1，2，?d)。将特征值按大小排列

水文时间序列的混沌特性及预测研究 1 7

错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。≥?≥错误！未找到引

用源。

则特征值及特征向量称为主分量。求出所有特征值得和γ为

γ=错误！未找到引用源。

以指标i为X轴，错误！未找到引用源。为Y轴得到的图，称为主分量谱。在主分量图中，可以将混沌信号和噪声清晰的区分出来，在主分量谱图中，噪声是一条几乎和x轴平行的直线，而混沌信号则是一条过顶点的斜率为负的一条直线，所以用主分量谱图识别混沌是一种有效的方法。

3.3庞加莱截面法

庞加莱截面是相空间中选取的一个截面，在这个截面上可以比较清晰的观察系统的运动状况。这个截面不能和轨线相切，也不能和轨线平行，它与相空间中的轨线相交形成截点。设记录得到的庞加莱点为：错误！未找到引用源。，?。这样就在庞加莱截面上让系统连续运动，降为低维的离散点之间的映射错误！未找到引用源。=T错误！未找到引用源。，其中T称为庞加莱映射。

我们可以通过观察庞加莱截面上点的分布情况来判定系统是否是混沌的，当发生周期运动时，庞加莱截面上只有一个不动点或者极少数的离散点，当是混沌系统时，庞加莱截面上出现成片的分形结构的密集点。图3-2是lorenz系统的庞加莱截面相图，图中点成片出现且成密集的分形结构，所以系统是混沌系统。

图3-2 Lorenz系统的庞加莱截面图

18 第三章 水文时间序列的混沌性识别

3.4李雅普诺夫指数法

李雅普诺夫指数是用来刻画混沌吸引子特征的一个参量，混沌系统具有对初始值的敏感依赖性，两个相邻的初值，它们的轨道会随着时间的推移按指数规律分离，而李雅普诺夫就是刻画这种分离特征的参量。

当李雅普诺夫指数大于零的时候，相空间轨道会发生迅速的分离，表现出对初始条件的敏感依赖性，运动呈混沌状态；当李雅普诺夫指数小于零时，相空间发生收缩，对初始条件不敏感，运动稳定；当李雅普诺夫指数等于零时，系统处于临界条件，但如果最大李雅普诺夫指数大于零时则系统是混沌的。所以我们可以根据李雅普诺夫指数谱来判别系统是否是混沌的。

由图3-3李雅普诺夫指数谱可以看出，有一部分指数谱位于0轴上面，所以证明lorenz系统是混沌系统。

李亚普诺夫指数谱（lorenz系统）420-2李亚普诺夫指数-4-6-8-10-12-14-16050100150200250a300350400450500

图3-3李雅普诺夫指数图

水文时间序列的混沌特性及预测研究 19

第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

在水文时间序列的非线性研究过程中，主要在于建立合适的输入输出模型，泛函级数是由科学家V.Volterra提出的，可以用Volterra泛函级数来描述具有记忆能力的任何非线性系统。在上个世纪六十年代，Volterra泛函级数开始应用于水文系统的非线性描述，到目前为止，建立的Volterra滤波器自适应预测模型取得了良好的预测效果，它利用过去的已知的数据，通过不断修正误差参数来逼近函数，获得了良好的预测效果。

4.1 Volterra泛函级数

Volterra级数的一般形式是

y(t)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(τ)x(t－τ)dτ+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）x(t－错误！未找到引用源。x(t－错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。d错误！未找到引用源。+?+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)x(t－错误！未找到引用源。) ?x(t－错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。?d错误！未找到引用源。

简记为

y(t)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，?，错

误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。] 其中 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。是一阶、二阶以及n阶核函数或者冲击响应，非线性系统用核函数表示出来就如上式所示，系统的功能全部包含在核函数中，反映出水文系统的演变规律。它有以下几点性质： (1)

(2) 函数具有对称性

错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。， ?，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。， ?，

错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)= ?

(3)当错误！未找到引用源。﹤0时，错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)=0，n=1，2，?，因为它的输出只与过去的数据有关，而与将来的数据没有任何关系。

,n=1，2，?，为有界函数，且其变量都是实变量，可以按照

正交多项式展开。

20 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

4.2水文混沌时间序列Volterra自适应模型

重构水文系统相空间是水文预测的理论基础，设在水文系统中，重构相空间后某一点的状态向量为

X(t)=(x(t-τ)，x(t-2τ)，?，x(t-mτ))

设X(t)是嵌入到原动力系统相应轨道上的时间序列，则由Takens定理可得到一个动力系统F满足：

X（t+1）=F(X(t))

从而得到函数F使得

X(t－τ+1)=f(x(t－τ)，x(t－2τ)，?，x(t－mτ)

因此，我们只需要求出f就可以根据时间序列x(t)得到一个非线性的时间序列预测模型。实践表明，用Volterra级数来构造非线性时间序列预测模型可以得到很好的预测结果。

根据以上两式可得

X(n+1)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ)

+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ)+ ?

+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ) ?x(n－错误！未找到引用源。τ)+ ?

在实际应用过程中，由于其信号输入个数随幂级数快速的增加，其计算的次数也相应的增加，计算过程过于复杂，所以通常用其二阶截断模型，通过N项求和的方式来简化计算，而且其精度也比较高，在误差允许的范围内，其简化模型为 错误！未找到引用源。(n+1)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ)+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ)+e(n)

图4-1是Volterra自适应滤波器的结构图。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 21

图4-1 Volterra自适应滤波器结构

Volterra自适应滤波器结构能够对非线性时间序列进行有效的预测，但其滤波器的阶数N对预测效果具有显著的影响，所以必须选择合适的滤波器级数才能获得最优的预测效果。

4.3 Volterra滤波器自适应算法

Volterra自适应滤波器的优化算法分为两类，一类是最小均方误差算法，另一种是递推最小二乘算法。最小均方误差算法是使滤波器的预测输出与实际输出的误差的均方和最小。该算法收敛速度比递推最小二乘法慢，但精度和鲁棒性较好，而且最小均方误差算法的计算量小，所以在实际计算中应用更为广泛。递推最小二乘算法不断调整滤波器的权系数，使其误差的加权平方和最小。虽然其收敛速度快，但其不稳定，鲁棒性差，而且由于计算量较大的缺点在实际问题中应用较少。

最小均方误差算法，一般来说包含两个基本过程：一是滤波过程：它包括计算线性滤波器输出信号对输入信号的影响，计算预测输出与实际输出之间产生的误差；二是自适应过程：自动的根据误差的大小和方向调整相应的参数。这两个过程组成一个反馈环，首先向滤波器输入向量，滤波器对输入的向量进行滤波，其次滤波器再根据误差值进行抽头权值的调整。

22 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

图4-2自适应滤波器控制算法图

滤波器的工作过程如图4-2所示，其中u(n)，u(n+1)，?，u(n-m+1)为输入向量，错误！未找到引用源。（n），错误！未找到引用源。（n），?，错误！未找到引用源。（n）为权值向量。

在预测过程中，输入一个向量，滤波器输出响应为

y(n)=错误！未找到引用源。(n)u(n-k)

预测误差e（n）为目标响应与实际响应的差

e（n）=d(n) －y(n)= d(n) －错误！未找到引用源。(n) ω(n)

均方误差为

ξ（n）=E(错误！未找到引用源。(n))

=E[错误！未找到引用源。]

=E(错误！未找到引用源。(n))+错误！未找到引用源。(n)E[U（n）错误！

未找到引用源。（n）]错误！未找到引用源。 －2E[d(n)错误！未找到引用源。（n）]错误！未找到引用源。

=E[错误！未找到引用源。(n)]+错误！未找到引用源。Rω－2错误！未

找到引用源。ω

由公式可以得出均方误差ξ是ω的各个分量的二次函数，是一个m+1维空间中开口向上的抛物面，有唯一的最低点，求抛物面最低点的过程也就是使均方误差达到最小的过程。

4.4水文混沌时间序列Volterra自适应模型算法及实现

Volterra自适应模型需要将水文系统相空间矢量用Volterra级数展开成线性空间时序数据，然后通过滤波器确定此水文预测模型的参数。具体步骤如下：

（1） 在水文系统相空间中，模型的输入向量为(x(n)，x(n－τ)，?，x(n－(m－1) τ))，而实际预期结果为x(n+1)。

（2） 为了减小计算量提高鲁棒性，需要确定合适的滤波器阶数，一般取其二阶展开式。通过水文时间序列的最小嵌入维数m可以确定其截断阶数。

（3） 根据展开的Volterra级数。转换成滤波器的输入信号错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。

（4） 确定滤波器的自适应参数以及计算其估计误差并画出其误差曲线和预测仿真曲线。

e(n)=x(n+1) －错误！未找到引用源。(n)错误！未找到引用源。(n) 错误！未找到引用源。(n+1)= 错误！未找到引用源。(n) +错误！未找

到引用源。U(n)e(n)

水文时间序列的混沌特性及预测研究 23

(5)利用建好的Volterra滤波器自适应模型进行水文系统的一步或多步预测。 4.5水文混沌时间序列Volterra自适应预测 洛伦兹系统方程为

选定参数值为a=16，b=4，c=45.92,起始点为3×1的列向量[－1，0 ，1]，积分时间步长h=0.01，延迟时间τ=10，嵌入维数m=4，Volterra阶数为3，取1000个样本为训练样本，1000个样本为测试样本。图4-3、4-4为Volterra自适应一步预测和多步预测的仿真图和误差曲线图，由图可以看出其预测效果较好。

图4-3 Volterra自适应一步预测

24 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

图4-4 Volterra自适应多步预测

水文时间序列的混沌特性及预测研究 25

第五章 水文混沌时间序列的RBF预测

5.1RBF神经网络结构模型

径向基函数是一种前馈型神将网络，它是根据人脑细胞对外界刺激所做出反映的过程工作的。由于其具有较高的计算速度，并且在理论上能以任意精度逼近某一非线性函数，具有较高的鲁棒性和预测精度，得到了社会各个领域的广泛应用和研究。

RBF神经网络由三层结构构成，第一层为输入层，它与外界联通，是一些感知单元，主要起数据输入的作用，不对数据做任何的计算。第二层为隐含层，在这一层将输入的一维时间序列转化为多维时间序列，并将输入的数据通过非线性变化转化为基函数单元。第三层为输出层，这一层主要是对隐含层的输出响应做加权和。

图5-1 径向基神经网络结构

5.2RBF神经网络的学习算法

RBF神经网络需要确定三个参数，即基函数的中心、宽度和网络权值，基函数的训练包括监督学习和非监督学习 两个过程。当确定各个参数以后，RBF神经网络学习算法需要求解三个参数，即基函数的中心、方差和隐含层到输出层的权值。基于不同的径向基函数中心选取方法，RBF网络的学习方法有很多种，常见的有随机选取中心法，自组织选取法，有监督选取中心法和正交最小二乘法等。下面详细介绍一下自组织选取中心的过程，求解径向基函数的中心与方差。

径向基函数神经网络中常用的径向基函数是高斯函数，因此径向基神经网络的激活函数可表示为

R(错误！未找到引用源。)=exp(－错误！未找到引用源。)

26 第五章 水文混沌时间序列的RBF预测

其中为错误！未找到引用源。欧式范数；错误！未找到引用源。为高斯函数的中心；σ为高斯函数的方差。由上图所示的径向基神经网络的结构可得到网络的输出为

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 exp(－错误！未找到引用源。)

j=1，2，?，n

其中，错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。为第p个输入样本；p=1,2,3，?，P,P为样本总数；错误！未找到引用源。为网络隐含层结点的中心；错误！未找到引用源。为隐含层到输出层的连接权值；i=1,2,3，?，h为隐含层节点数；错误！未找到引用源。为与输入样本对应的网络的第j个输出结点的实际输出。设d是样本的期望输出值，那么基函数的方差可表示为

σ=错误！未找到引用源。

学习算法具体步骤如下：

步骤1：基于K－均值聚类方法求取基函数中心c；

① 网络初始化：随机选取h个训练样本，作为聚类中心(i=1,2,3，?，h)； ② 将输入的训练样本集合按最近邻规则分组：按照与中心为之间的欧式距离将错误！未找到引用源。分配到输入样本的各个聚类集合

（p=1，2，?，P）中。

③ 重新调整聚类中心：计算各个聚类集合中训练样本的平均值，即新的聚类中心，如果新的聚类中心不再发生变化，则所得到的即为RBF神经网络的基函数中心，否则返回②，进行下一轮的中心求解。

步骤2：求解方差错误！未找到引用源。，可如下求解：

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 i=1,2,3，?，h 其中错误！未找到引用源。是所选取中心之间的最大距离。 步骤3：计算隐含层和输出层之间的权值。

隐含层至输出层之间神经元的连接权值可以用最小二乘法直接计算得到，计算公式如下：

ω=exp(错误！未找到引用源。) i=1,2,3，?，h p=1,2,3，?，P 5.3水文时间序列的RBF预测

用RBF进行水文预测，具体需要经过下面的几步：

第一步：生成原始混沌时间序列和做一些适当的预处理，如进行数据的平稳化处理，消除数据的季节性和周期性的影响。

第二步：计算延迟时间和嵌入维数，确定相空间重建的最佳参数。

第三步：使用所选的相空间参数获得重构向量，将他们划分为训练集和测试集。 第四步：构造RBF网络预测模型和设置所需的变量。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 2 7

第五步：培训网络和更新一些系数的值，

第六步：应用训练与测试集预测并检查预测指标的预测效果。

同样选取洛伦兹方程进行预测，选定参数值a=10，b=错误！未找到引用源。，c=34，起始点为1×3的行向量[－1，0，1]，延迟时间τ=10，嵌入维数m=4，选取500点进行训练，剩下的1500点进行测试。在测试过程中，其一步预测鲁棒性较好，预测精度高，当多步预测的时候，刚开始预测精度较高，到最后几步的时候误差就有了较明显的增大，总体预测效果较好。图5-2、5-3是一步预测和多步预测的仿真图和误差曲线图。

图5-2RBF一步预测图

图5-3 RBF多步预测图

28 第六章 总结与展望

第六章 总结与展望

6.1 总结

本文，我们研究了水文时间序列预测的两种预测模型，Volterra滤波器自适应模型和径向基函数神经网络模型。所做的主要工作总结如下：

(1) 通过对水文系统的细致分析，提出了将混沌系统和非线性方法结合起来的新的研究方法，并基于相空间重构原理，用庞加莱截面法和最大李雅普诺夫指数法等方法对lorenz水文系统进行了混沌分析，证实了混沌吸引子的存在。

(2) 为了准确确定水文预测中的各参数，用平均位移法和复自相关法等方法求取了延迟时间，并取平均值作为最终的值，用改进的虚假邻近方法确定了重构相空间的嵌入维数，最终确定了重构lorenz系统相空间的延迟时间为10，嵌入维数为4。

(3)设计了一个Volterra滤波器自适应预测模型，详细介绍了它的工作原理，并做出了它的结构图，用Volterra滤波器模型对lorenz系统进行了预测，并通过MATLAB程序仿真，发现其预测结果较好，预测误差较小。

（4）设计了一个径向基函数神经网络模型，并用该模型对lorenz系统进行了预测，预测结果与Volterra滤波器预测模型的预测结果相似，预测效果良好，和理论推导结果相符合。

6.2展望

（1）关于更加精确的水文时间序列预测方法研究及其在实践中的应用是一个值得研究的方向。

（2）如何将水文时间序列预测方法推广应用于其它类似的系统中是下一步要做的工作。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 29

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[24]权先璋，温权，等.混沌预测技术在径流预报中的应用[J].华中理工大学学报,1999，Vol.27(12)：41-43.

[25]蒋传文，权先璋，等.径流序列的混沌神经网络预测方法[J].水电能源科学，1999，Vol.17(2)：39-41.

[26]冯国璋，李佩成.论水文系统混沌特征的研究方向[J].西北农业大学学报，1997，Vol.25(4)：97-101.

水文时间序列的混沌特性及预测研究 31

附录：

Application of Parallel RBF Network on Iterative Prediction of Chaotic Time

Series

Abstract：An application of Parallel Radial Basis Function (PRBF) network model on prediction of chaotic time series is presented in this paper. The PRBF net consists of a number of radial basis function (RBF) subnets connected in parallel. The number of input nodes for each RBF subnet is determined by different embedding dimension based on chaotic phase-space reconstruction. The output of PRBF is a weighted sum of all RBF subnets and represents the prediction value for each new input vector. The chaotic time series data from Lorenz simulation signal and hydraulic pump vibration signal was used to verify the proposed method. Both Grassberger–Procaccia (G-P) algorithm and Takens’ method were employed to calculate the minimum embedding dimension of chaotic time series. Finally, the prediction accuracy and result were compared between RBF and PRBF. It is shown that PRBF network is more effective and feasible for the iterative prediction of chaotic time series.

Keywords:chaos theory; parallel radial basis function; iterative prediction; chaotic time series

Ⅰ.INTRODUCTION

Modeling and prediction of time series are important problems in various fields, such as engineering, industry, business, weather forecasting, signal processing, etc. Most of the time series encountered are nonlinear in nature. Chaotic time series prediction has been developing over the past few years. There are many prediction methods such as local-region method [1], neural network-based prediction method, etc., and most of the present methods are based on dynamics phase-space reconstruction to obtain the information on data characteristics.

Among several kinds of neural networks, radial basis function (RBF) network has high approximation and classification capability with fast learning speed. It has been proved that RBF networks are capable of approximating any nonlinear functions with any expected accuracy [2, 3], and have been applied successfully to nonlinear chaotic time series prediction [4, 5].

32 附录

This paper presents a PRBF network for one-step iterative prediction of Lorenz and hydraulic pump chaotic time series. The proposed prediction model, based on Camastra’s approach [6] and Yang’ method [7], can reduce the cumulative error effect and improve the prediction stability of the RBF. Besides, one-step iterative prediction ismore useful than one-step prediction in practical.There are mainly three sections in this paper as follows:Section 2 describes the theory of phase space reconstruction to obtain the estimation of correlation dimension; Section 3 is to propose a new PRBF based method for chaotic time series prediction; and then two study cases are given to verify the proposed model using Lorenz and actual hydraulic pump signals in Section 4.

II.PHASE-SPACE RECONSTRUCTION OF CHAOTIC TIME SERIES An important issue in the study of dynamic systems is dynamic phase-space reconstruction theory discovered by Packard in 1980[8]. It regards a one-dimensional chaotic time series as the compressed information of high-dimensional space. The time series x(t), t=1, 2, 3, …, N can be represented as a series of points X(t)in a m–dimensional space.

Where, m is called as system embedding dimension. In particular, Takens’ embedding theory [9] states that, in order to obtain a dependable phase-space reconstruction of dynamic system, it must be

Where, D is the dimension of system attractor. In order to obtain a correct system embedding dimension, starting from the time series, it is necessary to estimate the attractor dimension D.

Among different dimension definitions, correlation dimension discovered by Grassberger and Procaccia in 1983[10], is the most popular one due to its calculation simplicity. It is defined as followings. If the correlation integral Cm(r) is defined as

水文时间序列的混沌特性及预测研究 33

Where, H is the Heaviside function, m is the embedding dimension and N is the

number of vectors in reconstructed phase space. It is proved that if r is sufficiently small, and N would be sufficiently large, the correlation dimension D is equal to

The algorithm plots a cluster of lnCm(r)-ln(r) curves through increasing m until the slope of the curve’s linear part is almost constant. Then, the correlation dimension estimation D can be attained using least square regression.

III. MODEL OF PREDICTION

In practice, it is difficult to get the exact estimation value of minimum embedding dimension through G-P algorithm. Furthermore, a single RBF network uses the estimation value of minimum embedding dimension as the number of its input, usually resulting in inaccurate output due to the inaccurate estimation of embedding dimension from human factor.

Therefore, a PRBF network consisting of multiple RBF subnets is proposed to increase system performance with decreased error.

A. Structure of PRBF

The PRBF is constituted of multiple RBF networks connected in parallel for time series prediction. The structure of a PRBF is shown in Fig. 1.

34 附录

. B. Input Nodes of Subnet

Estimation value of the minimum embedding dimension is regarded as the number of input nodes in the central subnet, and each of other subnets uses a different numbers (calculated based on m) as its input size. Once the correlation dimension D is obtained by G-P algorithm and least square regression, the number of input nodes in the center subnet can be determined as

Then, the number of input nodes of each subnet can be defined as

C. Calculation of Weighted Factors

It is necessary to employ weighted factor ω to gain proper prediction result, because each RBF subnet has different influence on the whole system. Here, the optimal weighted value of the each subnet is determined according to the minimum predicted absolute percent error (APE) of in each study case. The output of PRBF net is the weighted combination of each individual RBF subnet and the final predicted result can be represented by the following equation.

D. One-step iterative prediction

Considering the lack of practicability from a common one-step prediction method, one-step iterative prediction should be adopted to predict chaotic time series instead. The detail of the one-step iterative prediction based on PRBF is described as following:

Step 1.Normalize the original chaotic time series;

Step 2.Determine the number of input nodes of each subnet in PRBF according to G-P algorithm and Takens’ theory;

Step 3.Obtain weighted factor ω on the basis of one-step prediction value of each subnet;

Step 4.Calculate one-step prediction value of PRBF;

Step 5.Regard the predicted result at Step 4 as the next input data to achieve one-step prediction;

Step 6.The future trend of actual case (Lorenz’s attractor, hydraulic pump) can be obtained gradually with the repetition of Step 3 and 4, and the loop times depends on is the length of actual expected data.

IV. CASES STUDY A. Simulation of Lorenz’s Attractor In this section, the simulation results of Lorenz’s attractor data is given to verify the performance of the proposed method. Equation (8) is

水文时间序列的混沌特性及预测研究 35

employed to generate the Lorenz’s time series data.

Where, σ=16 r=45.95 b=4. 1,000 points of X-

component Lorenz time series data were firstly normalized and used for the following

prediction. According to G-P algorithm, a cluster of lnCm(r)-ln(r) curves is plotted with the increase of the embedding dimension m, and the minimum embedding dimension was found to be 5, as shown in Fig.2. As a whole, 1,000 points were divided into two groups (training set and testing dataset). The first 800 samples were used for RBF network training. The next 100 samples were employed to decide the optimal weighted factor ω, and the last 100 samples were used for testing of the prediction accuracy between RBF and PRBF.

The number of input nodes of central subnet in the PRBF was 5, obtained from the estimation of the minimum embedding dimension. After the training of each subnet, the optimal weighted factor ω can be obtained via least square algorithm. Fig. 3 shows the one-step iterative predicted result on the last 100 points of Lorenz’s time series by PRBF network. Fig. 4 shows the comparison on Absolute Percent Error (APE) of Lorenz time series between RBF and PRBF. Fig 3 and Fig 4 prove that: 1. One-step iterative prediction based on PRBF network has good prediction performance; 2. Comparing with RBF, PRBF based iterative prediction has better performance, in terms of convergence and stability. B. Experimental Result of Hydraulic Pump In this section, several groups of time series data (normal and fault conditions) were generated from a test rig of SCY Hydraulic Pump. Table1 shows the corresponding maximum Lyapunov exponents of the above time series. Because all values are positive, the experimental data can be regarded as chaotic time series.

According to G-P method, a cluster of lnCm(r)-ln(r) curves for Data1 is plotted with the increase of the embedding dimension m as shown in Fig.5, and the minimum embedding dimension was 7.

36 附录

In this case, 800 points of time series data from the vibration signal of hydraulic pump were used for prediction. As a whole, 800 data points were divided into training and testing dataset. The first 600 samples were employed for RBF network training, the next 100 samples for determination of the optimal weighted factor ω, and the last 100 samples for testing of prediction accuracy between RBF and PRBF. The number of input nodes (minimum embedding dimension) is 7 according to the aforementioned approach. After the training of each subnet, the weighted factor ω can also be obtained. Fig.6 shows the result using one-step iterative prediction based PRBF network. Fig.7 presents the comparison of APE error between RBF and PRBF, and both are all based on Data1.

水文时间序列的混沌特性及预测研究 3 7

V.CONCLUSIONS

It is shown from the simulation results that, PRBF network model can show its better capabilities and reliability in predicting chaotic time series on the basis of phase space reconstruction. Comparing with RBF network, PRBF model has higher prediction accuracy, without the effect of error accumulation. Furthermore, the performance of one-step iterative prediction confirms its feasibility and practicability on chaotic time series prediction. Generally, the method proposed in this paper, can give a satisfied capability on convergence and prediction accuracy on short-term prediction of chaotic time series.

38 附录

应用并行RBF网络迭代混沌时间序列的预测

摘要：这篇文章提出了一种新的混沌时间序列的预测模型-PRBF神经网络模型。PRBF网络由一系列的径向基函数并行子网连接。每个RBF子网的输入节点的数量取决于混沌相空间重构的嵌入维数的大小。PRBF的输出是每一个RBF子网的加权和，代表每个新的输入向量的预测价值。用洛伦兹混沌时间序列和液压泵振动信号的时间序列来验证这种提出的新模型。用塔肯斯方法和G-P算法两种方法来计算混沌时间序列的最小嵌入维数。最后,通过比较RBF和PRBF两种模型之间的预测精度，结果表明PRBF神经网络是一种更加有效和适合的预测混沌时间序列的方法。

关键词：混沌理论；并行径向基函数；迭代预测；混沌时间序列 1.引言

时间序列的建模和预测在各个领域是一个很重要的问题,如工程、工业、商业、天气预报、信号处理等。在自然界中遇到的大部分时间序列在本质上都是非线性的。混沌时间序列预测的发展在过去的几年里形成了很多预测方法如局域法,神经网络预测方法等,大多数的方法都是基于动力学相空间重建获得的信息来获得数据特征。

在几种神经网络中，径向基函数(RBF)网络具有较高的逼近和分类能力，并且学习速度快。已经证明,RBF网络能够以任意精度逼近任意非线性函数 (2、3),并已成功地应用于非线性混沌时间序列预测(4、5)。

本文提出一种PRBF网络一步迭代预测模型，并对Lorenz和液压泵混沌时间进行了预测。该预测模型,基于Camastra的方法[6]和杨的方法[7],可以减少累积误差的影响,提高RBF预测的稳定性。此外,一步迭代预测比一步预测更加实用。

这篇文章主要有以下三个部分，简述如下:第二节介绍了相空间重构理论并获得相关维度的评估;第三节是提出一个新的基于PRBF的混沌时间序列预测方法；第四节给出了洛伦兹和实际液压信号泵两例来验证该模型。

2.相空间重构

重构混沌时间序列的动态系统研究的一个重要问题是帕卡德在1980年发现的动态相空间重建理论。它作为一维混沌时间序列是高维空间的压缩信息维空间。时间序列x(t),t = 1,2,3,?,N可以表示为在m维空间x(t)中一系列的点

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m是称为系统嵌入维度。特别是,塔肯斯的嵌入理论指出,为了获得可靠的相空间重建的动态系统,它必须满足

其中D是系统吸引子的维数。为了从时间序列获得一个正确的系统嵌入维度, ,需要估计吸引子维数D。

在不同的维数定义中，1983年由Grassberger和Procaccia发现了关联维数,由于它计算简单深受人们的欢迎。它被定义如下。如果Cm(右)被定义为相关积分，则

H是亥维赛函数,m是嵌入维度，N是重构相空间向量的数量。它证明如果r足够小,N足够大,则关联维数D等于

算法描述了一串lnCm(r)-ln(r)曲线通过增加m直到曲线的线性部分的斜率几乎是常数。然后,维度的相关性估计D可以使用最小二乘法回归获得。

3.预测模型

在实践中,很通过G-P算法获得最小嵌入维数的准确估计值。此外,一个RBF网络使用最小嵌入维数的估计值作为其输入的数量, 通常由于人为因素，估计出的最小嵌入维数不够准确，导致输出不够准确。因此,PRBF包含多个RBF子网的网络的提出提高了系统性能并且降低了预测误差。

A. PRBF的结构

PRBF构成并行连接的多个RBF网络的时间序列预测。PRBF的结构如图1所示。PRBF由n个RBF子网所组成，

表示每一个子网，每一个RBF

子网代表单独的一步预测。通过用历史数据对子网进行训练，就可以获得一步预测

的值

，最终PRBF的预测值可通过求每一个

的加权和获得。

40 附录

B .输入节点

子网的最小嵌入维数的估计值被看做为核心子网中的输入节点的数量,每个其他子网使用不同的编号(计算基于m)作为输入的大小。一旦用G-P算法和最小二乘回归计算出关联维数D,得到的中心层输入节点的数量可以定义为

其中n是PRBF中子网的数量，

是子网

输入节点的数量，当

子网

被叫做中心子网，然后每一个子网的输入节点可以定义为

C .计算加权因素

有必要采用加权系数ω获得适当的预测结果,因为每个RBF子网对整个系统有不同的影响。在这里,每个子网的最优加权值取决于

在每一个学习案例的最低

预测绝对误差百分比。PRBF的输出结果是每一个RBF子网的输出值的加权和。

每个RBF子网和最终的预测结果可以用下面的方程

其中

是每一个子网的输出，

是PRBF的输出。

D.一步迭代预测

考虑到常见的一步预测方法缺乏实用性,应该用一步迭代预测代替一步预测来预测混沌时间序列。一步迭代预测基于PRBF的详细描述如下:

步骤1：平稳化处理原始的混沌时间序列;

水文时间序列的混沌特性及预测研究 41

步骤2：根据G-P算法和塔肯斯理论确定每个子网中输入节点的数量； 步骤3：基于一步预测获得每一个子网的加权系数ω； 步骤4：计算一步预测的PRBF值;

步骤5：将第四步中的预测值作为下一个输入数据获得一步预测值； 步骤6：在实例(洛伦兹系统和液压泵振动系统)中对未来的情况进行预测，重复步骤3和4，循环的时间取决于实际预期的数据的长度。

4.案例研究

a模拟洛伦茨吸引子的在这一节中,给出仿真结果洛伦茨吸引子的数据来验证该方法的性能。采用方程(8)产生洛伦兹的时间序列数据。

在那里,σ= 16 ?r = 45.95 b = 4。1000点X -组件的洛伦兹时间序列数据首先规范化和用于以下预测。根据G-P算法,一群lnCm(r)-ln(r)曲线绘制和嵌入维数的增加,和最小嵌入维被发现,如图2所示。

作为一个整体,1000点被分为两组(训练集和测试集)。前800个样本用于RBF网络训练。接下来的100样本用来决定最优加权系数ω,最后100个样本用于测试的预测精度RBF和PRBF之间

输入节点的数量的中央PRBF子网是5,获得最小嵌入维数的估计。每个子网的训练之后,最优加权系数ω可以获得通过最小二乘算法。

图3显示了一步迭代预测结果在最后100分的洛伦茨PRBF网络的时间序列。图4显示了比较绝对误差百分比(猿)的洛伦茨RBF和PRBF之间的时间序列。

图3和图4证明:1。一步迭代预测基于PRBF网络具有良好的预测性能;2。与RBF相比,基于PRBF迭代预测具有更好的性能,在收敛性和稳定性。b .液压泵的实验结果

在本节中,几组时间序列数据(正常和故障条件下)产生的是液压泵试验台。表1显示了对应的最大李雅普诺夫指数(马克斯?上面的时间序列。因为所有的马克斯?价值观是积极的,实验数据可以视为混沌时间序列

42 附录

根据G-P方法,一群lnCm(r)-ln Data1(r)曲线是策划的增加嵌入维度5所示,微型计算机体积很小,和最小嵌入维数是7。

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在这种情况下,800点的振动信号的时间序列数据液压泵用于预测。作为一个整体,800数据点划分为训练和测试数据集。前600个样本用于RBF网络训练,接下来的100样品测定最优加权系数ω,最后100样本用于测试RBF和PRBF之间的预测精度。输入节点的数量(最小嵌入维数)7根据上述方法。每个子网的训练后,加权系数ω也可以获得。

图7显示了使用基于一步迭代预测结果PRBF网络。图7给出了比较猿错误RBF和PRBF之间,基于Data1的和这两个都是。

44 附录

5.结论

从仿真结果显示,PRBF网络模型能更好地展示其能力和可靠性预测混沌时间序列相空间重构的基础上。与RBF网络相比,PRBF模型具有更高的预测精度,没有积累误差的影响。此外,一步迭代的性能预测证实了其可行性和实用性在混沌时间序列的预测。一般来说,本文提出的方法能给一个满意的能力在收敛性和短期预测混沌时间序列的预测精度。

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致谢

本论文是在王斌师的悉心指导下完成的。王老师渊博的专业知识、严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风范，朴实无法、平易近人的人格魅力对本人影响深远。不仅使本人树立了远大的学习目标、掌握了基本的研究方法，还使本人明白了许多为人处事的道理。本次论文从选题到完成，每一步都是在导师的悉心指导下完成的，倾注了老师大量的心血。在此，谨向王老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在写论文的过程中，遇到了很多的问题，在老师的耐心指导下，问题都得以解决。所以在此，再次对老师道一声：老师，谢谢您！

时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云，聚散真容易。离校日期已日趋渐进，毕业论文的完成也随之进入了尾声。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！在此我向西北农林科技大学的所有老师表示衷心的感谢，谢谢你们四年的辛勤栽培，谢谢你们在教学的同时更多的是传授我们做人的道理，谢谢四年里面你们孜孜不倦的教诲！

四年寒窗，所收获的不仅仅是愈加丰厚的知识，更重要的是在阅读、实践中所培养的思维方式、表达能力和广阔视野。很庆幸这三年来我遇到了如此多的良师益友，无论在学习上、生活上，还是工作上，都给予了我无私的帮助和热心的照顾，让我在一个充满温馨的环境中度过四年的大学生活。感恩之情难以用言语量度，谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。

最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我对中国传统文化的浓厚的兴趣，让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。在未来的日子里，我会更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷殷期望！

“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这是我少年时最喜欢的诗句。 就用这话作为这篇论文的一个结尾，也是一段生活的结束。希望自己能够继续少年时的梦想，永不放弃。

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