3 流体力学基本方程

高等流体力学讲义

高等流体力学

3 流体力学基本方程

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3 流体力学基本方程流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律， 即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定 律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流 体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组 是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关 系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随 温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一 方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具 有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵 循这一基本方程组。

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3.1 系统和控制体的概念3.1.1 系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称 之为系统，系统以外的一切，统称为外界。 系统的边界是把系统和外界分开的真实或假 想的表面。在流体力学中，系统就是指由确 定的流体质点所组成的流体团。

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3.1.1 系统流体系统的边界有如下特点：①系统的 边界随着流体一起运动。系统的体积边界面 的形状和大小可以随时间变化；②在系统的 边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑 出系统的边界；③在系统的边界上，受到外 界作用在系统上的表面力；④在系统边界上 可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通 过边界进入或离开系统。

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3.1.1 系统

如果我们使用系统来研究连续介质的流 动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确 定的流体质点所组成的流体团作为研究的对 象。但是对大多数实际的流体力学问题来说， 采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引 进控制体的概念。

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3.1 系统和控制体的概念3.1.2 控制体 被流体所流过的相对于某个坐标系来说 是固定不变的任何体积称之为控制体。控制 体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表 面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而 改变的。

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3.1.2 控制体控制面有如下待点：①控制体的边界(控 制面)相对于坐标系是固定的；②在控制面上 可以有质量交换，即有流体跑进或跑出控制 面；③在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体之内物体上的力；④在控制面上可以 有能量交换，即可以有能量(内能、动能、热 或功)跑进或跑出控制面。

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3.2 连续性方程连续性方程是质量守恒定律在运动流体 中的数学表达式。连续性方程是运动学方程， 它与力无关，所以既适用于理想流体也适用 于粘性流体。 在流动空间中，考察一微元控制体，其 体积为dxdydz,对某一固定参考系统，它是 固定在空间中的，如下图所示。

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3.2 连续性方程质量守恒 定律可表述如 下：控制体内 流体质量的减 少量应等于从 控制体净流出 的流体质量。z控制体内流体的流入与流

出

y

dy

ρux

odz

dx

x

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3.2 连续性方程(1) 控制体内流体质量的变化 dt时间中控制体内流体密度的变化为 t dt

dt时间中控制体内流体质量的减少量为 t dxdydzdt

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3.2 连续性方程(2) 通过控制面净流出控制体的流体质量 dt时间内在x方向通过左右两个侧面(控制面)净流出的 流体质量为 ( u x ) u x dx dydzdt u x dydzdt x

( u x ) x

dxdydzdt

同理，dt时间中在y、z方向通过相应控制面净流出的流体质量分别为 ( u y ) y ( u z ) z

dxdydzdt

dxdydzdt

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3.2 连续性方程(3) 流体流动的连续性方程 根据质量守恒定律，由上述分析可得出 ( u x ) ( u y ) ( u z ) dxdydzdt dxdydzdt t y z x t ( u x ) x ( u y ) y ( u z ) z

对于单位时间单位体积空间而言 0

这就是直角坐标系中的连续性方程式，将之写成向量形式 即得 t ( u) 0

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3.2 连续性方程按求和约定，连续性方程可表示成 t ( ui ) xi 0

使用恒等式 成

( u ) (u ) uD Dt

,连续性方程可写

u 0

其中：

D Dt

t

(u )

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3.2 连续性方程对于定常流动， t 0

,连续性方程变成

( u) 0

按求和约定，上式表示成 ( u i ) xi 0

它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内 的流体密度不随时间而改变。

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3.2 连续性方程对于不可压缩流体的流动问题， 压缩流体流动的连续性方程为 u 0

D Dt

0

,不可

按求和约定，上式表示成 u i xi 0

上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不

会改变。

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3.2 连续性方程在圆柱坐标系(r,θ ,z)中，流体流动的 连续性方程为 t 1 ( r ur ) r r 1 ( u ) r ( u z ) z 0

在球坐标系(r,θ ,φ)中，流体流动的连 续性方程为 t 1 ( r 2u r ) r2

r

1 r sin

( sin u )

1 r sin

( u )

0

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3.3 本构方程一般而言，所谓本构方程是指描述物质对所受力的力 学响应的方程。对运动的粘性流体而言，应力与变形速度 之间的关系称为本构方程。

3.3.1 流体的表面应力张量为了建立流体动力学方程，需要分析流体微团上所受 到的各种作用力。流体微团受到的作用力可以分为两大类：

一类是质量力，它是作用在流体所有质点上的非接

触力，如重力、惯性力、电磁力等；另一类是表面力，它是作用 在流体微团界面上的接触力，如压力、摩擦力等。现只考

虑表面力。

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3.3.1 流体的表面应力张量如右图所示的 正六面体流体微团， 在垂直于x轴的左 右两个侧表面上， 分别作用有合应力 px 和px px x dx

y τxypx px x dx

τxx

px

(x,y,z)

dy

τxz

dz

dxo z 流体微团的表面应力张量 x

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3.3.1 流体的表面应力张量此处的下标x表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面 上。由此可得到作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合 力为 px x dxdydz

同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的 合力分别为 py y dxdydz

pz z

dxdydz

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