巧用数形结合 妙解代数问题

巧用数形结合 妙解代数问题

梁军财

（陈仓区天王高中，陕西 宝鸡 721305）

摘要：目的 本文试图就代数问题的几何化解决谈一些常用的方法和解题思路，以期发展学生思维，提高学生数学解题能力，并能给同行以借鉴。 方法 对各种可以用图形解决的代数问题全面、直观进行展示。结果 能更方便快捷的解部分代数问题。结论 善于使用数形结合的思想方法，达到锻炼学生思维的目的。 关键词：巧用；数形结合；代数问题，解题方法

数学是一门思想方法的科学,分析类比、函数方程、抽象概括，演绎归纳、分类讨论、数形结合等在高中数学学习中尽显淋漓尽致。发展学生的思维，培养学生正确的解题方法是我们高中数学教学必须首先解决的问题。解析几何的创立极大的推动了数学的发展，其解题的思想核心就是数形结合。它的运用使我们对一些抽象的难以想象的几何问题，可以通过建立坐标系，列方程解方程，达到方便的用代数方法去解决；同时对于一些复杂的运算量较大的或者无法计算解答的代数问题，用其几何意义结合图象，也可以顺畅的解决。但我们在教学中往往只重视几何问题的代数化解决，而对于代数问题往往忽视其几何意义分析，忽视了几何方法的简洁性和有效性，这极大的阻碍了学生的直觉思维和创造思维的发展。影响了学生数学学习方法的形成，使得学生思维变得僵化呆板，严重影响了数学成绩的提高。笔者本文就代数问题的几何化解决谈一些简单的应用，希望能给大家以借鉴。

1、 构造两点距离，巧求无理函数的最值。

例 求函数

y=

本题若用代数方法直接求值，显然非常困难，

变形为（x，0）、

M、P距系中求一M又

1），可证，

为

y P(0,1)和同一点M（x，0）、Q（-1，2）离与两点M、Q动点M（x，0）使它到两定点P、Q在x轴上，问题变得非常容易，只须作P的对称点P（'

P'到Q的距离为x轴上的点M，它到P、Q两点距离最

。

2、构造直线斜率，巧求代数式的取值范围。 例 实数满足方程(x 2) y 3，求

2

2

2

2

y

的取值x

圆C：OP的斜

得

因实数x、y满足(x 2) y 3，所以点（x、

(x 2)2 y2 3上的动点，记此点为P，则

率，设

y

恰好是x

y

=k，则OP的方程为y=kx，代入圆C的方程x

22

因为点P在圆C上，也在直线OP上，即直线与圆有公共点，所以△=( 4) 4(1 k)(1 k2)x2 4x 1 0，

≥0

，由此得 k

y

x

取值

则k的值为

k的范围。

3、 利用直线和圆的位置关系，

范围。

例 .若关于x的方程4 x2=kx+2A.k=0

B.k=0或k>1

C.k>1

或k<-1 D.k=0或k>1或若用代数方法，显然非常困难，但如函数y=kx+2的走向，则易得答案为D。

4例 求方程lgx=sinx根的个数。 本题无法用代数方法习作，可考虑画出函y=sinx的图象，因为sinx的最大值为1,而lgx=1点必在x=10的左侧,观察图象,显然交点存在

5、 利用绝对值的几何意义，巧求不等

字母范围。

例 不等式log3（|x—1|+|x+8|）+a＞0使

y=4 x2与

共点，调整直线的个数。

数y=lgx和时x=10,所以交三个.

式中

时恒成立，求a的范围。

本题若用代数方法解须考虑两个绝对值和的范围，脱去绝对值符号须分类讨论，较麻烦，如果用绝对值的几何意义，可知真数位置上两个绝对值的和表示数轴上到两点1、—8和距离的和，显然，和不小于9，故log3（|x—1|+|x+8|）不小于2，要使左端大于0恒成立，只

6、 利用基本函数的图像，巧解无理不等式。

例 x 1。

本题可用等价转化或换元法来解，但都不是出

很方便。若作须a＞—2。

O

得x取一切实数

5y1 x )

2

标。解方程数y1

和y2 x 1的图象，从图象不难看出y1 y2的 范围为

5

x x0，其中x0是两图象交点的横坐2

x 1得x0=2（负值应舍去，它不在函

定义域内）所以原不等式的解集为

7、利用圆与直线规划的思想,巧求函数的值例 求函数y=

的

{x|

域。

5

x 2}。 2

的值域。

考虑既要脱去根号,

本题可用三角代换的思想去作,但代换时须

又要保证字母进行运算后和为常数1

为另一新元，则

原题就可化成一个椭圆和一条直线的问题，直线和椭圆相切可使y取到最大最小，从而得函数的值域；更方便时，

为ｖ，这样原题就可化为u2 v2

4，y v变成圆和直线的问题，当

2

2

圆与直线相切时，可说明y将取到最大和最小。将v=y

代入u v 4中，△=0，或用坐标原点到直线的距离小于等于圆的半径，得到其值域为

。

8、利用圆的参数方程和斜率的概念,巧求三角函数角所在区间。

2sinx

(0 x )取最小值时，x的值所在的区间是

cosx 3

3 3

) D (, ) A (0, B (,) C (,

422444

sinx 022

题述函数可表示为y 2 .因为cosx sinx 1,所以坐标为(cosx,sinx)的点A在单位圆上,

cosx 3

例 当函数

y

于是y的几何意义为上半单位圆周上的点A与点

率的2倍。如图所示，易见这种直线与正x轴的夹又正切函数在区间(

B(3,0)连线斜角均大于90，最小，直线的位圆的切线

2

, )是增函数，故为使斜率

倾斜角亦应尽可能小。不难看出，当直线AB为单时，其倾斜角最小，此

时

cos AOB

因此有x (

OA1 ，又易见OB3x AOB，

,)。 42

9、 数形结合的盲区。

例 求方程e x 1根的个数。

可令y=e，y x 1，画出其图象，易知它们一定1），那么在这个交点的左侧和右侧是否还有交点，有一个还确定。这就是数形结合的盲区，因为它本身是宏观的形象，无法精细刻画曲线所处的准确位置。在许多情况下还要结合计算。象我们上面1、2、6、7题，我们是用形助数，然后再行精确的计算。本题在以形助数还不能解决，那只能用导数确刻画，设y e x 1，则y e 1，当y＞0即x＞0故函数在x=0时有极小值为y=0，y'＜0即x＜0时函数为减，

x

'

x

'

xx

有一个交点（0，

是有两个现无法

无法做到细化，代数的方法进行用代数的方法进的方法去进行精

时函数为增，当所

以

方

程

ex x 1只有一个实根x=0，也就说明上面两个函数图象只能有一个交点。

上面例题明显可知，代数问题可以借用几何图形、图象来解决，在有些情况下也非常方便快捷，有些情况下在解决时还须再用到代数方法，也充分说明形和数的密不可分。教学时应注意以培养学生这种数形结合的思想，以达到锻炼学生思维提高学生数学成绩的目的。 参考文献：

[1]孔凡哲 史亮 ，高中数学教育评价。东北师范大学出版社 。2005 [2]扬利刚，区域面积问题涉及的类型探讨。中学数学教与学。2007（9）

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