巧用数形结合 妙解代数问题
更新时间:2023-05-14 21:51:01 阅读量: 实用文档 文档下载
巧用数形结合 妙解代数问题
梁军财
(陈仓区天王高中,陕西 宝鸡 721305)
摘要:目的 本文试图就代数问题的几何化解决谈一些常用的方法和解题思路,以期发展学生思维,提高学生数学解题能力,并能给同行以借鉴。 方法 对各种可以用图形解决的代数问题全面、直观进行展示。结果 能更方便快捷的解部分代数问题。结论 善于使用数形结合的思想方法,达到锻炼学生思维的目的。 关键词:巧用;数形结合;代数问题,解题方法
数学是一门思想方法的科学,分析类比、函数方程、抽象概括,演绎归纳、分类讨论、数形结合等在高中数学学习中尽显淋漓尽致。发展学生的思维,培养学生正确的解题方法是我们高中数学教学必须首先解决的问题。解析几何的创立极大的推动了数学的发展,其解题的思想核心就是数形结合。它的运用使我们对一些抽象的难以想象的几何问题,可以通过建立坐标系,列方程解方程,达到方便的用代数方法去解决;同时对于一些复杂的运算量较大的或者无法计算解答的代数问题,用其几何意义结合图象,也可以顺畅的解决。但我们在教学中往往只重视几何问题的代数化解决,而对于代数问题往往忽视其几何意义分析,忽视了几何方法的简洁性和有效性,这极大的阻碍了学生的直觉思维和创造思维的发展。影响了学生数学学习方法的形成,使得学生思维变得僵化呆板,严重影响了数学成绩的提高。笔者本文就代数问题的几何化解决谈一些简单的应用,希望能给大家以借鉴。
1、 构造两点距离,巧求无理函数的最值。
例 求函数
y=
本题若用代数方法直接求值,显然非常困难,
变形为(x,0)、
M、P距系中求一M又
1),可证,
为
y P(0,1)和同一点M(x,0)、Q(-1,2)离与两点M、Q动点M(x,0)使它到两定点P、Q在x轴上,问题变得非常容易,只须作P的对称点P('
P'到Q的距离为x轴上的点M,它到P、Q两点距离最
。
2、构造直线斜率,巧求代数式的取值范围。 例 实数满足方程(x 2) y 3,求
2
2
2
2
y
的取值x
圆C:OP的斜
得
因实数x、y满足(x 2) y 3,所以点(x、
(x 2)2 y2 3上的动点,记此点为P,则
率,设
y
恰好是x
y
=k,则OP的方程为y=kx,代入圆C的方程x
22
因为点P在圆C上,也在直线OP上,即直线与圆有公共点,所以△=( 4) 4(1 k)(1 k2)x2 4x 1 0,
≥0
,由此得 k
y
x
取值
则k的值为
k的范围。
3、 利用直线和圆的位置关系,
范围。
例 .若关于x的方程4 x2=kx+2A.k=0
B.k=0或k>1
C.k>1
或k<-1 D.k=0或k>1或若用代数方法,显然非常困难,但如函数y=kx+2的走向,则易得答案为D。
4例 求方程lgx=sinx根的个数。 本题无法用代数方法习作,可考虑画出函y=sinx的图象,因为sinx的最大值为1,而lgx=1点必在x=10的左侧,观察图象,显然交点存在
5、 利用绝对值的几何意义,巧求不等
字母范围。
例 不等式log3(|x—1|+|x+8|)+a>0使
y=4 x2与
共点,调整直线的个数。
数y=lgx和时x=10,所以交三个.
式中
时恒成立,求a的范围。
本题若用代数方法解须考虑两个绝对值和的范围,脱去绝对值符号须分类讨论,较麻烦,如果用绝对值的几何意义,可知真数位置上两个绝对值的和表示数轴上到两点1、—8和距离的和,显然,和不小于9,故log3(|x—1|+|x+8|)不小于2,要使左端大于0恒成立,只
6、 利用基本函数的图像,巧解无理不等式。
例 x 1。
本题可用等价转化或换元法来解,但都不是出
很方便。若作须a>—2。
O
得x取一切实数
5y1 x )
2
标。解方程数y1
和y2 x 1的图象,从图象不难看出y1 y2的 范围为
5
x x0,其中x0是两图象交点的横坐2
x 1得x0=2(负值应舍去,它不在函
定义域内)所以原不等式的解集为
7、利用圆与直线规划的思想,巧求函数的值例 求函数y=
的
{x|
域。
5
x 2}。 2
的值域。
考虑既要脱去根号,
本题可用三角代换的思想去作,但代换时须
又要保证字母进行运算后和为常数1
为另一新元,则
原题就可化成一个椭圆和一条直线的问题,直线和椭圆相切可使y取到最大最小,从而得函数的值域;更方便时,
为v,这样原题就可化为u2 v2
4,y v变成圆和直线的问题,当
2
2
圆与直线相切时,可说明y将取到最大和最小。将v=y
代入u v 4中,△=0,或用坐标原点到直线的距离小于等于圆的半径,得到其值域为
。
8、利用圆的参数方程和斜率的概念,巧求三角函数角所在区间。
2sinx
(0 x )取最小值时,x的值所在的区间是
cosx 3
3 3
) D (, ) A (0, B (,) C (,
422444
sinx 022
题述函数可表示为y 2 .因为cosx sinx 1,所以坐标为(cosx,sinx)的点A在单位圆上,
cosx 3
例 当函数
y
于是y的几何意义为上半单位圆周上的点A与点
率的2倍。如图所示,易见这种直线与正x轴的夹又正切函数在区间(
B(3,0)连线斜角均大于90,最小,直线的位圆的切线
2
, )是增函数,故为使斜率
倾斜角亦应尽可能小。不难看出,当直线AB为单时,其倾斜角最小,此
时
cos AOB
因此有x (
OA1 ,又易见OB3x AOB,
,)。 42
9、 数形结合的盲区。
例 求方程e x 1根的个数。
可令y=e,y x 1,画出其图象,易知它们一定1),那么在这个交点的左侧和右侧是否还有交点,有一个还确定。这就是数形结合的盲区,因为它本身是宏观的形象,无法精细刻画曲线所处的准确位置。在许多情况下还要结合计算。象我们上面1、2、6、7题,我们是用形助数,然后再行精确的计算。本题在以形助数还不能解决,那只能用导数确刻画,设y e x 1,则y e 1,当y>0即x>0故函数在x=0时有极小值为y=0,y'<0即x<0时函数为减,
x
'
x
'
xx
有一个交点(0,
是有两个现无法
无法做到细化,代数的方法进行用代数的方法进的方法去进行精
时函数为增,当所
以
方
程
ex x 1只有一个实根x=0,也就说明上面两个函数图象只能有一个交点。
上面例题明显可知,代数问题可以借用几何图形、图象来解决,在有些情况下也非常方便快捷,有些情况下在解决时还须再用到代数方法,也充分说明形和数的密不可分。教学时应注意以培养学生这种数形结合的思想,以达到锻炼学生思维提高学生数学成绩的目的。 参考文献:
[1]孔凡哲 史亮 ,高中数学教育评价。东北师范大学出版社 。2005 [2]扬利刚,区域面积问题涉及的类型探讨。中学数学教与学。2007(9)
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