实变函数复习资料

《实变函数》单元测试资料

一、集合

1、 证明：(A?B)?C?A?(B?C)；(A?B)?C?(A?C)?(B?C)。

2、 证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn}?limxn，

nn??（inf{xn}?limxn）。

nn??3、 证明：若{An}单增，则limAn??An；若{An}单减，则limAn??An。

n??n?1n??n?1?114、 证明：E[f?a]??E[f?a?]；E[f?a]??E[f?a?]。

n?1n?1nn???5、 证明：任何无限集必与其一个真子集对等。

6、 证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A?B?A。 7、 证明：有理数全体成一可数集。 8、 证明：开区间(0,1)是一不可数集。 9、证明：无理数全体成一不可数集。

二、点集

1、设A?B，证明：A??B?,A0?B0,A?B。 2、证明：?A?A?A。

3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E?,E0,E。

4、设E?{(x,y)|0?x?y?1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。 5、设E?R，证明：E是开集，E?和E是闭集。

6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。并举例说明开集的任意交不一定是开集。 7、证明开集与闭集的对偶性。

8、证明：点集F为闭集的充要条件是F?F。

9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集

n01

2220f?1(G)?{x|f(x)?G}是开集。

三、测度论

n1、 若E?{(0,0,???,0)}?R，求mE。

***2、 证明：若A?B，则mA?mB。

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3、 若mA?0，则对任意B，证明：m*(A?B)?m*B。 4、 若m*(E1\\E2)?m*(E2\\E1)?0，

证明：m*(E1?E2)?m*(E1?E2)?m*E1?m*E2。

5、 设S1,S2均为可测集，S2?S1且mS2??，证明：m(S1?S2)?mS1?mS2。 6、 证明：凡外测度为零之集皆可测。

7、 若X?{1,2,3}，??{{1},{2,3}}，试写出X上由?所生成的?代数。 8、 若{En}是一列可测集，证明： 1）limEn与limEn都是可测集；

n??n??*2）m(limEn)?limmEn；

n??n???3）若m(n?1UEn)??，则limmEn?m(limEn)。

n??n??9、若可测集列{En}满足

四、可测函数

?m(En?1?n)??，证明m(limEn)?0。

n??1、 若E是可测集，f(x)?c,x?E，c为常数，证明f(x)是E上的可测函数。 2、 若E是可测集，A?E，f(x)为定义在E上的函数，f(x)??数的充要条件是E为可测集。

3、 设f(x)是定义在可测集E上的函数，证明：f(x)是E上的可测函数的充要条件是对任意有限实数a，

?1,x?A，证明f(x)是E上可测函

?0,x?AE[f?a]是可测集。

4、 证明可测集上的连续函数必是可测函数。

5、 设E?R是可测集，f(x)为定义在E上的实函数，证明：f(x)为E上的可测函数的充要条件是对

任意开集G?R，f?1n(G)是可测集。

6、 设fn(x)依测度收敛于f(x)，证明：fn(x)依测度收敛于g(x)的充要条件是 f(x)?g(x)a.e.于E。 7、 设{fn(x)}是可测集E上一列可测函数，f(x)???a.e.于E。若对任给??0,存在E的可测子集

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E?，使得m(E\\E?)??，且{fn(x)}在E?上一致收敛于f(x)，证明：{fn(x)}在E上几乎处处

收敛于f(x)。

8、 设E是可测集，f(x)???a.e.于E，若对任给??0,存在E的闭子集F，使得m(E\\F)??，且

f(x)在F上连续，证明：f(x)是E上的可测函数。

五、积分论

1、 设mE???，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明：若f(x)在E上有界，则f(x) 在E上L可

积。

2、 设E是可测集，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明： 1）若

?Ef(x)dx?0，则f(x)?0a.e.于E；

2）若A,B是E的两个互不相交的可测子集，则

?A?Bf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

AB3、设E是可测集，f(x)与g(x)都是定义在E上的非负可测函数， 证明：若f(x)?g(x)，则

?Ef(x)dx??g(x)dx。

B4、设A,B是可测集且A?B，f(x)是定义在B上的非负可测函数，证明：

?Af(x)dx??f(x)dx。

BE上一列非负可测函数，当x?E时，对任意n?Z有fn(x)?fn?1(x)且5、设E是可测集，{fn}?n?1为

?limfn(x)?f(x)。若?f1(x)dx???，证明：lim?fn(x)dx??f(x)dx。

n??En??EE6、设E是可测集，证明：

（1）设f在E上积分确定且f(x)?g(x)，则g也在E上积分确定且（2）设f和g都在E上积分确定且f(x)?g(x)，则

?Ef(x)dx??g(x)dx。

E?Ef(x)dx??g(x)dx。

E

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