差分方程(word97-03)

差分方程及高等数学在经济学中的应用

前面我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型，但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以数列形式变化的，如银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型。求解这类模型就可以得到离散型变量的变化规律。本章将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型——差分方程。

用数学方法解决实际问题,首先要构建该问题的数学模型,即找出该问题的函数关系。然后再用数学方法结合经济意义进行求解，解释经济意义，以期对经济运行进行分析干预。本章我们还将通过介绍几种常用的经济函数的建立及求解，以期引导学生掌握分析解决具体经济问题的思想方法。

§1 差分方程及其在经济学中的应用

本节主要介绍差分方程的概念、性质及求解。重点掌握一阶差分方程的求解。 一、差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用dy来刻画的；对离散型的变量y，

dt我们常取在规定的时间区间上的差商?y来刻画变量y的变化率。如果选择?t?1，则

?t ?y?y(t?1)?y(t) (1)

可以近似表示变量y的变化率。由此我们给出差分的定义。

定义1 设函数yt?y(t). 称改变量yt?1?yt为函数yt的差分，也称为函数yt的一阶差分，记为?yt，即?yt?yt?1?yt，或?y(t)?y(t?1)?y(t). 根据定义可知，差分满足以下性质：

（1）?(Cyt)?C?yt（C为任意常数）； （2）?(yt?zt)??yt??zt； （3）?(yt?zt)?zt?yt?yt?1?zt?zt?1?yt?yt?zt ； （4）?(ytz?y?yt?ztzt?1?yt?yt?1?zt)?tt? (zt?0). ztzt?zt?1zt?zt?1 证明 在此，我们只证明性质（3），其余的请读者自证。

?(yt?zt)?yt?1zt?1?ytzt?yt?1zt?1?yt?1zt?yt?1zt?ytzt?zt?yt?yt?1?zt.

推论 ?(ayt?bzt)?a?yt?b?zt（a,b为任意常数）

注：差分具有类似导数的运算性质。其中，（2）、（3）可推广到任意有限个函数的情形。 一阶差分的差分?yt称为二阶差分，即

2?2yt??(?yt)??yt?1??yt?(yt?2?yt?1)?(yt?1?yt)?yt?2?2yt?1?yt.

类似地可定义三阶差分、四阶差分、??

?3yt??(?2yt)，?4yt??(?3yt)，?.

一般地，函数yt的n?1阶差分的差分称为n阶差分，记为?yt，即

n?yt??nn?1yt?1??n?1iyt??(?1)iCnyt?n?i (2)

i?0n二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。 例1 设yt?t，求?yt，?yt，?yt. 解 ?yt??(t)?(t?1)?t?2t?1.

222223?2yt??2(t2)??(2t?1)?[t2(?1)?1?]t32(2?

1?)2. ?yt??(?yt)?2?2?0.注：?(C)?0（C为常数）。 例2 设yt?t(t?0),求?yt.

解 ?yt??(t)?(t?1)?t特别地，当?????

nin?ix， 阶数降了一阶. ?n（n为正整数）时， ?yt??Cni?1 推论 若m,n为正整数f(t)为t的n次多项式，则?f(t)为常数，且 ?f(t)?0 (m?n). 例3 求yt?t?3的差分。 解 由差分的运算性质，有

2tnm?yt??(t2?3t)?3t??t2??(t?1)2?(3t)

t2tt2?3(2t?1)?(t?1)?2?3?3(2t?6t?3).

二、差分方程的概念

与常微分方程的定义类似，下面我们给出差分方程的定义。 定义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程。

差分方程的一般形式：

2n Ft,yt,?yt,?yt,L,?yt?0 或 G?t,yt,yt,yt?1,yt?2,L,yt?n??0.

??差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.

差分方程的不同形式可以互相转化. 例如，二阶差分方程yt?2?2yt?1?yt?3可化为?yt?2yt?3. 又如，对于差分方程?yt??yt?0. 由?yt?32t2tn?(?1)Cyiini?0nt?n?i，得

?yt?yt?2?2yt?1?yt，?yt?yt?3?3yt?2?3yt?1?yt， 代入原方程，得 ?yt?3?3yt?2?3yt?1?y?t??因此原方程可化为 yt?3?2yt?2?yt?1?0.

定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.

例如，对于差分方程yt?1?yt?2，将yt?2t代入该方程，有

23y?2y?0 ，t2?t1??yt?2? yt?1?yt?2?t?1??t2 ，

故yt?2t是该方程的解. 易见对任意常数C，yt?2t?C都是差分方程yt?1?yt?2的解.

如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解.

在实际应用中，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解.

定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程.

线性差分方程的一般形式为

yt?n?aty1??t?n?1?L?an??1?tyt?1??a?nt?y??, f t (3) t其特点是yt?n,yt?n?1,L,yt都是一次的. 例4 试确定下列差分方程的阶：

(1) yt?3?yt?2?yt?4?0； (2) 5yt?5?3yt?1?7.

解 (1) 由于方程中未知函数下标的最大差为7，由阶的定义，此方程的阶为7. (2) 由于方程中未知函数下标的最大差为4，由阶的定义，此方程的阶为4. 例5 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，进一步指出是否为线性方程.

(1) ?3?yt?3yt?at； (2) yt?2?2yt?1?3yt?4.

解 (1) 将原方程变形为?3yt?1?at，因其只含有自变量的一个函数值，所以这个方程不是差分方程. (2) 由定义知，这个方程是差分方程，且是线性差分方程.

从前面的讨论中可以看到，关于差分方程及其解的概念与微分方程十分相似。事实上，微分与差分都是描述变量变化的状态，只是前者描述的是连续变化过程，后者描述的是离散变化过程. 在取单位时间为1，且单位时间间隔很小的情况下，

?yt?f(t?1)?f(t)?dy?dydy， ?t?dtdt即差分方程可看做连续变化的一种近似. 因此，差分方程和微分方程无论在方程结构、解的结构还是在求

解方法上都有很多相似之处.

三、一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt?1?Pyt?f(t) , (4)

其中，P为非零常数，f(t)为已知函数. 如果f(t)?0，则方程变为

yt?1?Pyt?0. (5)

方程(5)称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(4)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.

1. 一阶常系数线性齐次差分方程的通解

一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.

设y0已知，将t?0,1,2,L分别代入方程yt?1?Pyt中，得

y1?Py0, y2?Py1?P2y0, y3?Py2?P3y0, L, yt?Pyt?1?Pty0.

t即yt?Py0为方程(5)的解.

容易验证，对任意常数C，yt?CPt都是方程(5)的解，故方程(5)的通解为

t yt?CP . (6)

例6 求差分方程yt?1?3yt?0的通解.

解 利用公式(6)得，题设方程的通解为yt?C3.

2. 一阶常系数线性非齐次差分方程

定理1 设yt为方程(5)的通解，yt为方程(4)的一个特解，则yt?yt?yt为方程(4)的通解。

**证明 由题设，有yt?1?Pyt?f(t)，及yt?1?Pyt?0，将这两式相加得

**t即yt?yt?yt为方程(4)的通解.

下面我们对右端项f(t)的几种特殊形式给出求其特解yt的方法，进而由定理1，结合（6）给出式(4)的通解的形式：

1）f(t)?A（A为非零常数）.

给定y0，由yt*?1?Pyt*?A，可按如下迭代法求得特解yt：

****y1?Py0?A, y2?Py1?A?P2y0?A?1?P?, ***y3?Py2?A?P3y0?A?1?P?P2?,

?y

*t?1?yt*?1??P?yt?yt*??f(t),

** LL

yt*?Pty0?A?1?P?P2?L?Pt?1?

??A?tAy?P?,P?1?0? ??? (7) 1?P?1?P??y0?At,P?1?由式(6)得，方程(5)的通解为yt?C1Pt（C1为任意常数），于是，方程(4)的通解为

t ?CP?1?P,P?1 (8)

????AC?At,P?1其中，C为任意常数，且当P?1时，C?y0?A?C1，当P?1时，C?y0?C1.

1?P 例7 求差分方程yt?1?3yt??2的通解.

解 由于P?3,A??2,故原方程的通解为 yt?C3?1.

2）f(t)?Ab（A,b为非零常数且b?1）.

tt当b?P时，设yt?kb为方程(4)的特解，其中k为待定系数. 将其代入方程(4)，得

*tkbt?1?Pkbt?Abt，解得k?A.

b?P于是，所求特解为yt*? yt?CPt?At. 当b?P时，方程(4)的通解为 bb?PAt (9) bb?P*t当b?P时，设yt?ktb为方程(4)的特解，代入方程(4)，得k?为 yt?CPt?Atbt?1. (10)

A，所以，当b?P时，方程(4)的通解P1?3? 例8 求差分方程yt?1?yt?3??在初始条件y0?5时的特解. 2?2?13 解 这里P?,A?3,b?，利用公式(9)，得所求通解为

22t?3??1? yt?3???C??， ?2??2?将初始条件y0?5代入上式，得C?2.故所求题设方程的特解为

tt?3??1?. y?3?2???? t?2??2? 3）f(t)?At（A为非零常数，n为正整数）.

设方程(4)的特解为yt?t(B0?B1t?L?Bnt)

*n当P?1时，设yt?B0?B1t?L?Bnt为方程(4)的特解，其中B0,B1,L,Bn为待定系数. 将其代入

*knttn*方程(4)，求出系数B0,B1,L,Bn，就得到方程(4)的特解yt.

例9 求差分方程yt?1?4yt?3t的通解.

解 设题设方程的特解为yt?B0?B1t?B2t，将yt代入题设方程，得

*22*??3B0?B1?B2????3B1?2B2?t?3B2t2?3t2.

比较同次幂系数，得

52 B0??，B1??，B2??1.

93从而所求特解为yt*????52??t?t2?. 而题设方程的通解为 ?93?

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