学而思2013年春季素质123班难题汇总（至第8讲 ）

学而思2013年春季素质123班难题汇总

第一讲 勾股定理

题型一：a+b＝c，小学阶段看到平方要想到:正方形面积、平方差公式。 题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。 题型三：立体图形的勾股。

题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。

题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角△。

22211、【第二单元，折纸，补充题】将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE＝1，求三角形BCF的面积。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差求解”的良好解题思路。

AE＝1，DE＝4，AD＝5，BC＝5，EC＝5。

在直角三角形EDC中，DE＝4，EC＝5，所以DC＝3。

AEFBDC设FB＝x，则在直角三角形AEF中，EF＝x，AF＝3-x， 1+(3?x)＝x，

x-(3?x)＝1，应用平方差公式，3(2x-3)＝1，x＝。

3222225三角形BCF的面积：××5＝。

623【答案】

1525256。

12、【第三单元3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形ABCD的边长为8，圆心O到AB的距离为5，求正方形EFGH的面积。

【难度级别】★★★★★

【解题思路】看到圆，找弦，找直角三角形。 设HG＝2x，圆的半径为R。

看弦HG，找直角三角形ONH，HN＝x，NO＝2x-5,

x+(2x?5)＝R。如果能求出R就可以求出x。

22HNGOAEDMCBF22再看弦DC，找直角三角形OMD，OM＝5+8＝13，DM＝4，R＝13+4＝185。

222所以，x+(2x?5)＝185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也可以通过枚举进行筛选。1～13的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169，从中找出2个相加＝185的，有：16+169、64+121。对于16+169，x＝4，2x-5＝3不满足，对于64+121，x＝8，2x-5＝11满足。因此，x＝8。

正方形EFGH的面积：(2x)＝16＝256。 【答案】256。

222213、【学案3】下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜

10边是10，底边的直角边是8，所以另一条直角边是6。

设梯形的上底为2x，看正上方的一个直角

16三角形，一条直角边是x，另一条直角边是：10－6＝4，斜边是8-x，所以：

x+4＝(8?x)，利用平方差公式求解，(8?x)-x＝4，8(8-2x)=16，x＝3。

222222 梯形的面积：(6+16)×10÷2＝110。 【答案】110。

14、【学案1】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？ 【难度级别】★★★★★

【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。 图中所有三角形面积均相等，那么图中3个正方形与4个三角形的面积之差为X、Y、Z三个正方形的面积和：5+9+(9?5)＝122cm。 【答案】122cm。

22222X5Y9Z15、【每日一题2】如图，直角三角形ABC中，两直角边长分别为7、24，三角形内一点P到各边的距离相等，则这个距离是_______。 【难度级别】★★★★☆

【解题思路】设P到各边的距离为X，则由连接的两条虚线的对称性得到,直接三角形的斜边为：(7-X)+(24-X)＝31-2X。

7+24＝49+576＝625＝25，所以斜

27-x7-xxxxx24-xx2224-x边边长为25。31-2X＝25，X＝3。 【答案】3。

16、【每日一题3】直角三角形一直角边为11，另两边均为自然数，则其周长为_______。

【难度级别】★★★★★

【解题思路】设斜边为c，另一直角边为a，则c-a＝11。

(c+a)(c-a)＝121，121只有两种分解：121×1、11×11，因c+a≠c-a，所222以只有：c+a＝121，c-a＝1，解得：c＝61，a＝60。 三角形周长为：11+60+61＝132。 【答案】132。

第二讲 完全平方数

判断方法：①尾数判断法，平方数的尾数只能是：0、1、4、5、6、9。 ②偶指奇约性。 ③不等式判断法。

例如：44=1936＜1976＜2025=45，所以1976不是完全平方数。 ④余数判断法

(1) A÷3余0、1 （由A÷3余0、1、2来证明） (2) A÷4余0、1 (3) A÷8余0、1、4 (4) A÷16余0、1、4、9

例如：P为大于3的质数，P÷24余多少？

24＝3×8。平方数÷3只能余0和1，而余0表示能整除3，P为大于3的质数，P不能整除3，所以P÷3余1。平方数÷8只能余0、1、4，P为大于3的质数，P是奇数，P也是奇数，奇数÷8只能余奇数，所以P÷8余1。1×1＝1，P÷24余1。 特别说明：判断一个数“是”完全平方数只有“偶指奇约性”这个方法（或者开方），其它方法（尾数判断法、不等式判断法、余数判断法）都是用来判断“不是”完全平方数的。

2222222222221、【一单元(例4)】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是五次方数。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】求最小，A至少有2、3、5三个质因数，设A＝235，则 2A＝2x?1xyz35，3A＝23yzxy?15，5A＝235

zxyz?1

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