第一章晶体的结构

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固体物理教程答案 1

第一章、晶体的结构

1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：

（1）简立方，

?6; （2）体心立方,

32?; （3）面心立方，?; 86（4）六角密积，[解答]

23?; （5）金刚石结构，?; 616设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，

4n?r33设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度?=

V（1）

子球将依次相切，因为

对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原

3a?4r,V?a3,

面1.2 简立方晶胞

433?(a)2晶胞内包含1个原子，所以 ?=

a3??6

（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为

3a?4r,V?a3,晶胞内包含2个原子，所以

2*43?(a33a34)?3? 8 图1.3 体心立方晶胞

（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为

2a?4r,V?a3，1个晶胞内包含4个原子，所以

2a34?

4*43?(a3)?2?6.

图1.4面心立方晶胞

固体物理教程答案 2

（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，

图 1.5 六角晶胞图 1.6 正四面体

晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高

23a?2?23r?c 2,一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=

a32*43?(2)3232晶胞体积 V= casin60?ca22ca2?2?6.

（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为

3a?8r,

晶胞体积 V?a3,

8*43?(33a)3?8?16a3? 图1.7金刚石结构

一个晶胞内包含8个原子，所以 ρ=.

2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122），和（210）晶面。 [解答]

图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。

固体物理教程答案 3

3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为

a1a2a3,,,在hkmC轴上的截距为

c l??m求出 O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5 和A1A3A5 四个面的面指数。

证明：h?k

[解答]

图1.9六角晶胞对称画法

设 d是晶面族（hkml）的面间距， n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在a上的截距分别为 a1/h,a21a2a3,c 轴

/k,a3/m,c/l 所以有

??(a2?a3), 所以 a3?n??(a2?a3)?n。

a1?n=hd, a2?n=kd, a3?n=md. 因为 a3由上式得到 md=?(hd?kd). 即m??(h?k),

??由图可得到： O'A1A3 晶面的面指数为(1121),A1A3B3B1面的面指数为(1120)

A2B2B5A5晶面的面指数为(1100),A1A3A5晶面的面指数为(0001)

4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 a1,a2,a3的末端分别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上，试用反证法证明：h1,h2,h3是互质的。 [解答]

设该晶面族的单位法量为 a1,a2,a3 由已知条件可得 a1?n假定h1,h2,h3 不是互质数，且公约数

??h1d,a2?n?h2d,a3?n?h3d,

p?1 即 h1?pk1,h2?pk2,h3?pk3

k1,k2,k3是互质的整数，则有 a1?n?pk1d,a2?n?pk2d,a3?n?pk3d

今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为r由于心定是整数，而且r?n?l1a1?l2a2?l3a3,

?d?l1a1?n?l2a2?n?l3a3?n

1 p于是得到

pk1l1?pk2l2?pk3l3?1 由上式可得k1l1?k2l2?k3l3?上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p为不等于1的整数的假定。也就是说，p只能等于1，即

h1,h2,h3 一定是互质数。

固体物理教程答案 4

5．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2)的夹角。

[解答]设d 是为晶面族（hkl）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl）将 a,b, c分别截为

h,k,l 等份，即 a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld

于是有 n=hdddi+kj+lk

aaa=

d(hi+kj+lk)a其,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶

列[hkl] 的方向矢量为 R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)

由（1），（2）两式得n=

dR 即n与R 平行，因此晶列[hkl2a]与晶面（hkl）正交。

=h1a+k1b+l1c

对于立方晶系，晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2) 的夹角，就是晶列 R1与晶列 R2=h2a+k2b+l2c 的夹角，设晶面 (h1k1l1)与晶面 (h2k2l1) 的夹角为 ? 由

R1?R2=

得 ?2222R1R2cos??h1?k12?l12h2?k2?l2acos? =h1h2a2?k1k2a2?l1l2a2

2?cos?1{h1h2?k1k2?l1l2(h?k?l)(h?k?l212121222222}

6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。（1）求 ABC 面的密勒指数；

（2）求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。

图1.10 面心立方晶胞

[解答] （1）

??BABC矢量与矢量的叉乘即是 ABC 面的法矢量

???11BA=OA?OB?(a?b)?(b?c)?(2a?b?c),

22???111BC?OC?OB?[c?(a?b)]?(b?c)?(a?c),

222?1?1a BA?BC?(2a?b?c)?(a?c)?(a?3b?c).

224因为对立方晶系，晶列[hkl]与晶面族（hkl）正交，所以ABC 面的密勒指数为(131).

????11AC?OC?OA?[c?(a?b)]?(a?b)??(a?b?2c).

22??可见 AC 与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[112].

（2）

由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系

a??a1?a2?a3, b?a1?a2?a3, c?a1?a2?a3

晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(a1?a2?2a3) 由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]

?7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

[解答] 设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为 a?a(j?k), a212a3a(k?j), 2a?(i?j).2?由倒格矢公式 b?2?[a2?a3],b?2?[a3?a1],b?2?[a1?a2],

123???固体物理教程答案 5

2?(?i?j?k),a可得其倒格矢为 2?b2?(i?j?k),a2?b3?(i?j?k).ab1?a(?i?j?k),2设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为

aa2?(i?j?k),2aa3?(i?j?k).2a1?以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式

b?2?[a2?a3],b?2?[a3?a1],b?2?[a1?a2].

123???2?(i?k),a则得其倒格子基矢为 2?b2?(k?j),a2?b3?(i?j).ab1?可见体心立方的倒格子是面心立方。

3aai?j,228．六角晶胞的基矢b??3ai?aj, 求其倒格基矢。

22C?cka?[解答]晶胞体积为 ??a?[b?c]

3a3aai?j)?[?(ai?j)?(ck)] 222232?ac.2?(其倒格矢为

2?[b?c]?3a?2?[(?ai?j)?(ck)]?22a??2?3(i?j).a32?[c?a]b???3a?2?[(ck)?(ai?j)]?22??23a2c23a2c2?3(?i?j).a32?[a?b]c???3a3a?2?[(ai?j)?(?ai?j)]?2222

2??kc9．证明以下结构晶面族的面间距：（1）立方晶系:dhkl23a2c

?a[h?k?l],

2212?2

固体物理教程答案 11

l列式的值均为整数，x,y,z为整数，因此 u,v,w可选作基矢的充分条件是

l'n'l\m\??1 n\mm'n15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为

?hkl?，求对应的原胞坐标中的面指数?h1h2h3? 若已知?h1h2h3?求对应的

密勒指数

?hkl?。

[解答]由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3 与晶胞坐标系中的倒2???i?j?k????a??b??c??,a???格基矢a,b,c的关系为

2?????i?j?k???a?b?c?,b2?a2??i?j?k???a??b??c??.b3?ab1?2?1i??b2?b3?,a2也即?2? 1b?j??b3?b1?,a22?1c??k??b1?b2?.a2a??与晶面族

?hkl???? 垂直的倒格矢Khkl?ha?kb?lc?1??k?l?b1??l?h?b2??h?k?b3? 2?11pKh1h2h3?p?h1b1?h2b2?h3b3?,22Kh1h2h3与晶面族 ?h1h2h3? 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl)则原胞坐标系中的面指数

?h1h2h3??1?(k?l)?l?h??h?k?? 其中 p是(k?l),?l?h?,?h?k?的公约数

p同样

Kh1h2h3?h1b1?h2b2?h3b3???h1?h2?h3?a???h1?h2?h3?b???h1?h2?h3?c??pKhkl?pha?kb?lc.''?????

Khkl与晶面族 (hkl) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ?h1h2h3? 则晶胞坐标系中的面指数

(hkl)?1p'其中

???h1?h2?h3??h1?h2?h3??h1?h2?h3??,

p' 是 ??h1?h2?h3?,?h1?h2?h3?,?h1?h2?h3? 的公约数。

16．证明不存在5度旋转对称轴。

[解答]如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点，

如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转? 角，则 A 格点转到 A 点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O点的转轴逆时针旋转? 角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转? 角，B 格点转到 B处，说明

''B' 处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由图１．１６可知，AB

''晶列与 AB 晶列平行．平

行的晶列具有相同的周期，若设该周期为a 则有

固体物理教程答案 12

图1.16 晶格的旋转对称性

A'B'?2acos??ma, 其中m为整数，由余弦的取值范围可得cos??;2于是可得m?1:???,2?,4?,5?;

3333m?2:???,2?.2m?0:??m?1. 2?3?,?2??，，,

3232??2?,n?1,2,3,4,6 所以晶格对称转动所允许的独立转角为2?,?,?,,. 上面的转角可统一写成

323n因为逆时针旋转

3?2，

4?5?,33分别等于顺时针旋转

称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有５度旋转对称轴．

??11?17．利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为??0???00?2200?0??. ?33???A'?A.

0??10?Ax??0?10????00?1???1???23Az????2?0???321?20?0??0?.?1????［解答］由《固体物理教程》（1。21）式可知，若 A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数? 满足 ?对六角晶系，绕 x（即 a）轴旋180 和绕z （即 c）轴旋 120都是对称操作，坐标变换矩阵分别为

??11?假设六角晶系的介电常数为???21????31??11?'则由??Ax?Ax. 得 ?21????31可见?12?12?13??22?31??. ?32?33????13??31??. ?33???12?13???11??12????22?31?? ??21?22?32?33??????31?320?0,?13?0,?31??11?0.即????0??00?22?320??31??。 ?33???33?11??224431?11??22441??322??3?23?2?1??23?

?2??33?????11?'将上式代入 ??Ax?Ax. 得0???0?22?32?13???22?110?44?33?31?????22???11?44?33???3???322??固体物理教程答案 13

由上式可得?23?0,?32?0,?11??22.

00?0??. ?33????11?于是得到六角晶系的介电常数 ??0???018．试证三角晶系的倒格子也属三角晶系，

?110[解答]对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等。且它们相互间的夹角也相等。即

a?a1?b?a2?c?a3?a,???????.

2?[a2?a3]2?a2sin?b1???b,??利用正倒格子的关系，得

2?[a3?a1]2?a2sin?b2???b,??2?[a1?a2]2?a2sin?b3???b.??b1?b2?b2cos?12?设b1 与 b2的交角为 ?12, b2与b3的交角为?23,b3与b1的交角为 ?31 则有

???4?2??a2?a3???a3?a1???2

4?2a1???a2?a3??a3??24?2?a1?a3??a2?a3???a1?a2?a22?4?2a4cos2??cos?.2?????由（1）和（2）式得cos?12cos2??cos?cos??1?cos???cos? 由 b2????221?cos?sin?1?cos??b3 和 b3?b1可得

?cos?cos?23?,1?cos??cos?cos?31?.1?cos?可见倒格基矢 b1 与b2 的交角，b2与b3的交角,b3与b1的交角都相等，这表明三个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系.

19．讨论六角密积结构，X光衍射消光的条件.

[解答]图1.17示出了六角密积结构的一个晶胞，一个晶胞包含两个原子，它们的位置矢量分别是

r1?0,211r2?a?b?c.332 图 1.17 六角密积晶胞

因为是密积结构，所以原子散射因子

2f1?f2?f.将上述结果代入几何因子

?211?i2n??h?k?l??332? Fhkl??fjej?1?i2n?huj?kvj?lwj??, 得Fhkl?f?fe.(hkl)晶面族引起的衍射光的总强度

?211??211??i2n??h?k?l????i2n??h?k?l???332??332?I?Fhkl?Fhkl??f?fe???f?fe???????????42 ???f2?f2?2f2cos?n??h?k?l??3????3???42????2f2?1?cos?n??h?k?l???.3?????3?

固体物理教程答案 14

由上式知，只有当n??4h?2k?l??奇数，时，才出现衍射消光.现将 h,k,l 的取值范围讨论如下：

??3?3?(a) 当 n为奇数时，若l 为偶数，则 nl也为偶数,为保证

22??4??4n??h?k?l?=奇数,成立，须有n??h?k??奇数，

33??3??3由此知2n?2h?k??3?奇数?奇数.但由于 h,k 为整数，上式左端是偶数，右端是奇数，显然是不成立的，矛盾的产生是l 为

32??4h?k??偶数 , 即 2h?k??整数?整

n3??3偶数的条件导致的，所以 l不能为偶数，而只能为奇数，因而n?? (b) 当n为偶数时，由n??4h?2k?l??奇数,得 n??3?3??4h?2k?3l??3?奇数?奇数

3?整数(=整数) n上式左端是偶数，右端是奇数，显然也不成立，矛盾的产生是n为偶数的条件导致的，所以 n不能为偶数，由上述讨论可知，衍射消光条件为 n??奇数, l?奇数,2h?k?20．用波长为 1.5405序号 1 19.611 ? 的X光对钽金属粉末作衍射分析，测得布拉格角大小为序的五条衍射线，见表1-1

2 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.769 ???? 已知钽金属为体心结构，求(1)衍射晶面族的晶面指数；(2)晶格常数a [解答]对于立方晶体，晶面族（hkl）的面间距dhkl?ah?k?l222,

布拉格反射公式 2dhklsin??n? , 相应化为sin???2a?nh?2??nk?2??nl?2.

可见 sin?与衍射面指数的平方和的开根成正比，由已知条件可知

sin19.611?: sin28.136?:sin35.156?:sin41.156?:sin47.769??1:1.405:1.7156:1.9608:2.2061.（200），（121），（220），（310），而

对于体心立方晶系，衍射面指数的和n（h+k+l）为偶数出现衍射极大，因此，对应衍射角由小到大排列的衍射晶面族是（110），

12?12?0:22?0?0:12?22?12:22?22?0:32?12?0

?1:4.414:1.732:2.00:2.236..从各衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的开根之比可以看出，二者比值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是测量误差所致，因此，对应布拉格角大小为序的五条衍射线的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。（2）将?代入sin??1.5405??,??19.611?,?nhnknl???110?

??2a??nh?2??nk???nl?22, 得到钽金属的晶格常数a?3.246?

? 21．铁在20?C 时，得到最小三个衍射角分别为 8?12',11?38',14?18';

? 当在 1000C 时，最小三个衍射角分别变成7（1）试分析在20（1）在 20?55',9?9',12?59'. 已知在上述温度范围，铁金属为立方结构。

?C和1000?C下，铁各属于何种立方结构？

C 下，铁的密度为7860kgm3求其晶格常数。

固体物理教程答案 15

[解答]（1）对于立方晶体，晶面族（hkl）的面间距为dhkl?ah?k?l222

布拉格反射公式 2dhklsin??n? 相应化为

sin??nh?2??nk???nl?22??2a.

可见 sin? 与

?nh?2??nk?2??nl?2 成正比

对于体心立方元素晶体，衍射面指数和 n（h+k+l）为奇数时，衍射消光；衍射面指数和 n（h+k+l）为偶数时，衍射极大，因此，对应最小的三个衍射面指数依次为（110），（200），（211）.这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为