2017年江苏省扬州市仪征市南师大二附中中考数学一模试卷

2017年江苏省扬州市仪征市南师大二附中中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）A．整数

是（ ）

B．无理数 C．有理数 D．自然数

2．（3分）下列式子正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a5

C．a+2b=2ab

D．（﹣ab）2=a2b2

3．（3分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（ ） A．0.77×10﹣5m

B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m

4．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ）

A．80° B．50° C．40° D．20°

6．（3分）无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）

A．70° B．35° C．40° D．50°

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8．（3分）方程x2﹣

+1=﹣4x的正数根的取值范围是（ ）

A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4

二、填空题（每小题3分，共30分） 9．（3分）16的算术平方根是 ． 10．（3分）分解因式：2x2﹣8= ． 11．（3分）当x= 时，分式

无意义．

12．（3分）仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示： 年龄组 参赛人数 则全体参赛选手年龄的中位数是 岁．

13．（3分）若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b= ．

14．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为 ．

15．（3分）如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 ．

12岁 5 13岁 19 14岁 13 15岁 13

16．（3分）关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．

17．（3分）如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 ．

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18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为 ．

三、解答题（8′×4+10′×4+12′×2=96分） 19．（8分）（1）计算：﹣2﹣2+（2）解不等式组：

20．（8分）先化简，再求值：程m2﹣4m+3=0．

21．（8分）“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况： A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．

将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：

sin45°﹣|1﹣． ÷（1﹣

），其中m满足一元二次方|

根据图中的信息，解答下列问题： （1）本次活动共有 位市民参与调查； （2）补全条形统计图；

（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约

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有多少人？

22．（8分）我校“文化氧吧”有A、B、C、D四本书是小明想拜读的，但他现阶段只打算选读两本．

（1）若小明已选A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是 ； （2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．

23．（10分）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N． （1）求证：△ABM≌△CDN；

（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．

24．（10分）甲、乙两个公司为某敬老院各捐款300000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．则甲、乙两公司各有多少元？

25．（10分）在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． （Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．

26．（10分） 如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．

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（1）求点A到BM的距离；

（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号） ①AC=13；②tan∠ACB=

；③连接AC，△ABC的面积为126．

（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

27．（12分）阅读下面材料：

实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．

解决方案：

路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，

设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2； 路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．

设路线2的长度为l2：则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225． 为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”： ∵l12﹣l22=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22∴l1＞l2， 小明认为应选择路线2较短． （1）问题类比：

小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”．请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小： （2）问题拓展：

请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘

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【点评】本题考查了二次函数与反比例函数图象的交点问题，理解方程的解就是函数图象的交点的横坐标是关键．

二、填空题（每小题3分，共30分）

9．（3分）（2014?恩施州）16的算术平方根是 4 ． 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴

=4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

10．（3分）（2014?怀化）分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ． 【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案． 【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．

【点评】本题考查提公因式法分解因式，是基础题．

11．（3分）（2017?仪征市校级一模）当x= ﹣2 时，分式【分析】根据分式无意义的条件可得x+2=0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x+2=0， 解得：x=﹣2， 故答案为：﹣2．

【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分

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无意义．

母等于零．

12．（3分）（2017?仪征市校级一模）仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示： 年龄组 参赛人数 则全体参赛选手年龄的中位数是 14 岁．

【分析】首先确定本次跳绳比赛的参赛人数，根据人数的奇偶性确定中位数落在那个年龄段，写出这个年龄即可．

【解答】解：本次比赛一共有：5+19+13+13=50人， ∴中位数是第25和第26人的年龄的平均数， ∵第25人和第26人的年龄均为14岁， ∴全体参赛选手的年龄的中位数为14岁． 故答案为：14．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13．（3分）（2017?仪征市校级一模）若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b= ﹣1 ． 【分析】把a+b看作一个整体，代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵a+b=2， ∴3﹣2a﹣2b=3﹣2（a+b）， =3﹣2×2， =3﹣4， =﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

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12岁 5 13岁 19 14岁 13 15岁 13

14．（3分）（2016?江都区二模）一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为 2 ．

【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，根据母线长为3，利用勾股定理即可求得圆锥的高．

【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1， ∴该圆锥的高为：故答案为：2

．

=2

．

=2π，

【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．

15．（3分）（2017?仪征市校级一模）如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 9 ．

【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．

【解答】解：∵AlA∥BB1∥CC1， ∴

=

，

∵AB=8，BC=4，A1B1=6， ∴B1C1=3， ∴A1C1=6+3=9． 故答案为：9．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系是解决问题的关键．

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16．（3分）（2017?仪征市校级一模）关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．

【分析】根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，得出△≥0，根据k≠0从而得出k的取值范围．

【解答】解：∵关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根， ∴△=b2﹣4ac=1﹣4k≥0， 级的k≤， ∵k≠0，

∴k的取值范围是k≤且k≠0． 故答案为k≤且k≠0．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

17．（3分）（2017?仪征市校级一模）如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 7 ．

【分析】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到（n﹣2）?180°=（360°﹣2×108°）n，再解方程求出x即可． 【解答】解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个， 所以（n﹣2）?180°=（360°﹣2×108°）n，解得n=10，

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所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7． 故答案为7．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）；外角和为360°．

18．（3分）（2016?南通一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为

．

【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到

==，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线， ∴AB=2CM=6， ∴∠B=∠MCB， ∵AN⊥CM， ∴∠MCB=∠CAN， ∴∠B=∠CAN， ∴△CAN∽△CBA， ∴

==，

=．

∴tan∠CAN=

故答案为：．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，证得△CAN∽△ABC是解题的关键．

三、解答题（8′×4+10′×4+12′×2=96分）

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19．（8分）（2017?仪征市校级一模）（1）计算：﹣2﹣2+（2）解不等式组：

．

sin45°﹣|1﹣|

【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）原式=﹣+2=﹣+2﹣=

×﹣（﹣1）

+1

﹣；

（2）

∵解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≥0， ∴不等式组的解集为x＞3．

【点评】本题考查了负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，解一元一次不等式组等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．

20．（8分）（2016?江都区二模）先化简，再求值：中m满足一元二次方程m2﹣4m+3=0．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到m的值，代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=

÷

=

?

=

， ÷（1﹣

），其

由m2﹣4m+3=0，变形得：（m﹣1）（m﹣3）=0， 解得：m=1（不合题意，舍去）或m=3， 则当m=3时，原式=．

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【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）（2017?仪征市校级一模）“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：

A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．

将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：

根据图中的信息，解答下列问题：

（1）本次活动共有 200 位市民参与调查； （2）补全条形统计图；

（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？

【分析】（1）根据D类人数除以D所占的百分比，可得答案；

（2）根据抽测人数乘以B类所占的百分比，C类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案； （3）根据样本估计总体，可得答案．

【解答】解：（1）本次活动共参与的市民30÷15%=200人， 故答案为：200；

（2）B的人数有200×28%=56人， C的人数有200×52%=104人， A的人数有200﹣56﹣104﹣30=10人， 补全条形统计图如图：

第17页（共30页）

；

（3）26×（1﹣28%﹣52%﹣15%）=1.3（万人）， 答：每天都用公共自行车的市民约有1.3万人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（8分）（2017?仪征市校级一模）我校“文化氧吧”有A、B、C、D四本书是小明想拜读的，但他现阶段只打算选读两本．

（1）若小明已选A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是 ；

（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．

【分析】（1）由小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两本的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款， ∴恰好选中C的概率是：， 故答案为：； （2）画树状图得：

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∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（选中AC）=

=．

答：选中A、C两本的概率是．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．

23．（10分）（2015?秦淮区一模）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N． （1）求证：△ABM≌△CDN；

（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．

【分析】（1）利用矩形的性质结合平行四边形的判定于性质得出AM=CN，进而得出Rt△ABM≌Rt△CDN；

（2）利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AFN（ASA），进而得出四边形AMCN是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC， ∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AM=CN，

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在Rt△ABM和Rt△CDN中， ∵

，

∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）；

（2）解：当AB=AF时，四边形AMCN是菱形， 理由：∵四边形ABCD、AECF是矩形， ∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°，

∴∠BAD﹣∠NAM=∠EAF﹣∠NAM，即∠BAM=∠FAN， 在△ABM和△AFN中∠BAM=∠FAN，AB=AF，∠B=∠F ∵

，

∴△ABM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN，

由（1）知四边形AMCN是平行四边形， ∴平行四边形AMCN是菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键．

24．（10分）（2017?仪征市校级一模）甲、乙两个公司为某敬老院各捐款300000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．则甲、乙两公司各有多少元？

【分析】利用等量关系：甲公司的人数=乙公司的人数×（1+20%）．根据这个等量关系可得出方程求解．

【解答】解：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，

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根据题意得：

=

解得：x=100

经检验x=100是原方程的根， 故x+20=100+20=120．

答：甲公司人均捐款100元，乙公司人均捐款120元

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25．（10分）（2011?和平区一模）在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． （Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．

×（1+20%）

【分析】（Ⅰ）连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（Ⅱ）连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°．而AB=BC，则AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到AB?DH=AD?DB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH． 【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，如图， ∵AB=BC， ∴∠A=∠C． ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO．

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∴∠C=∠ADO． ∴OD∥BC． ∵DF⊥BC， ∴∠ODE=90°．

∴直线DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）解：连接DB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵AB=BC， ∴AD=DC． ∵AC=8， ∴AD=4．

在Rt△ADB中，BD=∵DG⊥AB于H，

由三角形面积公式，得AB?DH=AD?DB． ∴DH=

=

，

=

=3，

∵AB⊥DG， ∴DG=2DH=

．

【点评】本题考查了圆的切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．

26．（10分）（2017?仪征市校级一模） 如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．

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（1）求点A到BM的距离；

（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ②③ ；（填写所有符合条件的序号）

①AC=13；②tan∠ACB=

；③连接AC，△ABC的面积为126．

（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【分析】（1）作AD⊥BC，由AD=AB?sinB可得；

（2）根据AC的长大于点A到直线的距离可判断①，利用AAS可判断②，根据平行线间的距离可判断③；

（3）②：先求得BD=AB?cosB=16，再求得CD=AB，根据面积得出CE=12.6，由BC=

可得答案．

=5即可；③：作CE⊥

【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°， ∴AD=AB?sinB=12；

（2）①以点A为圆心、13为半径画圆，与BM有两个交点，不唯一； ②由tan∠ACB=

知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB、∠B及AB确定，

此时的三角形唯一；

③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AC的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的； 故答案为：②③；

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（3）方案一：选②，

由（1）得，AD=12，BD=AB?cosB=16， 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴CD==5，

∴BC=BD+CD=21． 方案二：选③，

作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°， 由S△ABC=AB?CE得CE=12.6， 在Rt△BEC中， ∵∠BEC=90°， ∴BC=

=21．

【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

27．（12分）（2017?仪征市校级一模）阅读下面材料：

实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．

解决方案：

路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，

设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2；

第24页（共30页）

路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．

设路线2的长度为l2：则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225． 为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”： ∵l12﹣l22=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22∴l1＞l2， 小明认为应选择路线2较短． （1）问题类比：

小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”．请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小： （2）问题拓展：

请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． （3）问题解决：

如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．

【分析】（1）由阅读材料，可知路线1：l12=AC2=AB2+BC2=高2+底面周长一半2；路线2：l22=（高线AB+底面直径BC）2；将数据代入即可求出l12、l22的值，再运用差比法即可得出l1＜l2；

（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示l12、l22，再由l12＞l22列出关于h、r的不等式，解不等式即可求解；

（3）先根据阅读材料将h=5代入，用含r的代数式分别表示l12、l22，再由l12=l22列出关于r的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）如图（2）．

∵圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米， ∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=25+π2；

路线2：l2=AB+BC=5+2=7，l22=（AB+BC）2=49． ∵l12﹣l22=25+π2﹣49=π2﹣24＜0， ∴l12＜l22，

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∴l1＜l2，

∴选择路线1较短；

（2）如图（2）．

∵圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米， ∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2=h2+π2r2， 路线2：l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，

∴l12﹣l22=h2+（πr）2﹣（h+2r）2=r（π2r﹣4r﹣4h）=r[（π2﹣4）r﹣4h]； ∵r恒大于0，

∴当（π2﹣4）r﹣4h＞0，即＞

时，l12＞l22，即此时选择的路2最短；

（3）如图（3），圆柱的高为5厘米． l12=AC2=AB2+BC2=25+（2πr）2， l22=（AB+BC）2=（5+4r）2，

由题意，得25+（2πr）2=（5+4r）2， 解得r=

．

厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点

即当圆柱的底面半径r为的两条线段相等．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，比较两个式子的大小，通常利用差比法，这里让这两个式子的平方相减．同时考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及分析问题解决问题的能力．

28．（12分）（2017?仪征市校级一模）先让我们一起来学习方程m2+1=解法：

解：令m2=a，则a+1=

的

，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3

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解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1 点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决． 不妨一试：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）； ②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想； （3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；

（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，于是可得到抛物线的解析式；

（2）①依据两点间的距离公式可求得PO与PH的长，然后可得到问题的答案；②设点P坐标（m，﹣ m2+1），然后用含m的式子表示出PH和PO的 长度，从而可得到问题的答案；

（3）依据等边三角形的性质可得到OP=OH，然后利用两点间的距离公式可得到关于m的方程，然后解得m的值即可；

（4）先依据两点间的距离公式可求得BC、AC、AB的值，然后依据相似三角形的性质可得到

=

，设点P（m，﹣ m2+1），然后列出关于m的比例式，从

而可求得m的值．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

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∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）． （2）①当P点运动到A点处时． ∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH． 故答案为：=．

②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1）， ∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1PO=∴PO=PH．

（3）∵△PHO为等边三角， ∴OP=OH．

由两点间的距离公式可知：OH=∴m2+1=∴P（2

，解得：m=±2

，

．

=m2+1，

，﹣2）、（﹣2

=

，﹣2）． ，AC=

=

，AB=

=4

．

（4）∵BC=∴BC=AC，

∵PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边， ∴

=

，设点P（m，﹣ m2+1），

∴=，解得m=±1．

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、等边三角形的性质、相似三角形的性质，依据题意列出关于m的方程是解题的关键．

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