金融数学第一章练习题详解

金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量

1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。

600i?2?150?i?12.5 00(1?12.5%)3?2847.65

1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T。

1004vT/12?314v1/12?271v18/12其中vt?(1?i)?t?(1?5%)?t?1.05?t1.05?T/12?(314?1.05?1/12?271?1.05?18/12)/1004?0.562352

T两边取对数，?ln1.05?ln0.56235212T??ln0.562352/ln1.05?12?141.58

1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X，按利率 i（单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i。

iii1A的半年实际利率为，A:X((1?)16?(1?)15)B:2X?i??Xi2222iiX((1?)16?(1?)15)?Xi22iiiii?(1?)16?(1?)15?(1?)15?

2222i(1?)15?22两边取对数i?(21/15?1)?2?0.094588

1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n。

??ln?1?i?a(t)?(1?i)t?e?te27.72??2??ln2/27.72?0.025i0.5??（1?2?)n/2?7.04n?(ln7.04/ln1.05)?2?80

1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。

100(1?4?6%)?1/4?2?114.71

1.6 如果 i(m)= 0.1844144 ， dm?m(m)= 0.1802608 ，试确定 m。

?im??dm?1?i??1????1??mm?????im??dm??1????1???1m??m???im??dm??1????1???1mm????mm?1?d

im?dmim?dm1???1mm2im?dmmmi?d?mim?dm0.1844144?0.1802608m?m??8mi?d0.1844144?0.1802608

1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以?t= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。

t?1?12%/12?12tt/6dt2?0?e?et/12两边取对数，12tln1.01?t2/12

t?144?ln1.01?1.43

1.8 基金 A 以 ?t= a+bt 的利息力累积。基金 B 以?t= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n。

(at?bt(a?bt)dta(t)?e?0?e2(gt?ht(g?ht)dt?0b(t)?e?e2tt12)12)a(0)?b(0),a(n)?b(n)11?an?bn2?gn?hn2222(g?a)?n?b?h

1.9 在零时刻将 100

支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 ?t?为 260。求δ。

1的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值1?t?指前两年内的年名义贴现率100(1??/4)-4?2?e100(1??/4)-4?2?21?tdt51?260?260

??4?1??260/(100?2)?-1/8?0.1290

1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

??e(ln6?ln3)??A?12t,?B?t?11?t2

12t2令?A??B???t?2t?1?0?t?2?1?0.412t?11?t2。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的1?t

1.11 已知利息力为?t?现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X元的现值。求 X。

a(t)?e?01?tdtt2?e2ln(1?t)?(1?t)2?a?1(t)?(1?t)?2

300?a?1(3)?600?a?1(6)?200?a?1(2)?X?a?1(5)?X?(300?(1?3)?2?600?(1?6)?2-200?(1?2)-2)/((1?5)?2)?315.82

t3?11.12 已知利息力为?t?。请求a(3)。

100a?1(3)?e??0100dt3t3?e?1/400?(3?0)?e?81/400?e?0.2025?0.8167

4

1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

A:a(t)?(1?10%t)?1?0.1t??A?0.11?0.1t0.05

1?0.05tB:a?1(t)?(1?5%t)?1?0.05t?a(t)?(1?0.05t)?1??B?令?A??B?0.10.05??2-0.1t?1?0.1t?t?51?0.1t1?0.05t

1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定?0.5。

设累积函数为a(t)?at2?bt?ca(0)?c?1a(0.5)?0.25a?0.5b?c?1?5%/2a(1)?a?b?c?1?7%?a?0.04,b?0.03,c?1,a(t)?0.04t2?0.03t?10.08t?0.03?0.068290.04t2?0.03t?1t?0.5

?0.5?

1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X。此基金按利息力

t2?t?累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X，求 X。

100A(3)?100e?0100dt3t2?X?109.42?X?t2dt31006A(6)?(109.42?X)e?1.8776(109.42?X)

A(6)?A(3)?0.8776(109.42?X)?X?X?784.61

1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：

?0.02t,0?t?3 ?t??0.045,t?3?求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。

0.02tdt??0.045dt3a(4)?e?0?e0.09?0.045?1.144534设年名义利率为x,1000(1?x/4)4?4?1000?1.1445

1/16?x?4?(1.1445?1)?0.0339?3.39%

1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。

a(t)?(1?7.5%/2)2t?t?ln(1?7.5%/2)2?0.07363设名义贴现率为x,(1?x/4)?4t?(1?7.5%/2)2t ?x?4?(1-(1?7.5%/2)2?(?1/4))?0.07295?t?x?0.14658注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义

?kt,0?t?5?1.18 假设利息力为?t??12，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到

kt,5?t?10??252.7183。试求 k。

a(t)?e

?0ktdt??551012ktdt25?e251k?k(1000?125)275?e24.1667k?2.7183

?k?0.04141.19 已知利息力为?t?息是 8。试求 n。

1，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利2?ta(t)?e?02?tdtt1?eln(2?t)?ln2?1?a(n)?1?1?n?1?8?n?162t2

1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为 0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。

0.1(t?1)A?1000e?022dt?1000e0.06667?1068.94

1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n。

A:10(1?11%?10)?30(1?11%?5)?67.5B:10(1?9.15%)10?n?30(1?9.15%)10?2n?10(1?9.15%)10?n?30(1?9.15%)10?2n?67.5令t?1.0915?n,即n??lnt/ln1.0915101010?1.0915?t?30?1.0915?t2?67.5

1010210?10?1.0915?(10?1.0915)?4?30?1.0915?(?67.5)t??0.8017102?30?1.0915101.0915?2.40014n??ln0.8017/ln1.0915?2.5244注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果

1.22 已知利息力为?t?2，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相t?1应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。

a(n)?a(2)?e?2t?1dtn2?a(2)?(n?1)2

a(n)?a(n?1)(n?1)2?(n?2)2dn??a(n)(n?1)2(1?d(2)/2)?1?dn(n?2)2)?(n?1)(n?1)2d(2)?2?(1?(1?dn)1/2)?2?(1?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bdft.html